Vollständige Induktion

11.07.2011, 17:21

chillerStudent

Vollständige Induktion

Guten Tag,

Sei a,b,c $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq1 \end{eqnarray*}$ .Wir betrachten die rekursiv de nierte Folge $\begin{eqnarray*} (xn)_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n=ax_{n-1}+b \end{eqnarray*}$ für n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1 und $\begin{eqnarray*} x_0 = c \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass

$\begin{eqnarray*} x_n=ca^n+b\frac{a^n-1}{a-1} \end{eqnarray*}$ für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Idee:
Induktionsanfang: n=1
$\begin{eqnarray*} x_1=ac+b \end{eqnarray*}$

Induktionsvorraussetzung:
$\begin{eqnarray*} x_n=ax_{n-1}+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0=c \end{eqnarray*}$ ???

Induktionsschritt:
zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=ca^{n+1}+b\frac{a^{n+1}-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierhin richtig? Nun komme ich nicht weiter. Danke für eure Hilfe!!

11.07.2011, 17:50

riwe

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RE: Vollständige Induktion
setze doch einfach für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ein in

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=c\cdot x_n+... \end{eqnarray*}$

11.07.2011, 18:04

chillerStudent

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von riwe
setze doch einfach für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ein in

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=c\cdot x_n+... \end{eqnarray*}$

Was ist denn dein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ??

$\begin{eqnarray*} x_n=ax_{n-1}+b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_n=ca^n+b\frac{a^n-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

11.07.2011, 18:26

riwe

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von chillerStudent

Zitat:

Original von riwe
setze doch einfach für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ein in

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=c\cdot x_n+... \end{eqnarray*}$

Was ist denn dein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ??

$\begin{eqnarray*} x_n=ax_{n-1}+b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_n=ca^n+b\frac{a^n-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

nicht mein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und selbstverständlich letzteres Augenzwinkern

11.07.2011, 18:30

chillerStudent

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mhh...

versteh ich nicht richtig.
Wie ist denn

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=ca^{n+1}+b\frac{a^{n+1}-1}{a-1} = c*x_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist doch nicht $\begin{eqnarray*} a^{n+1}+b\frac{a^{n+1}-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

11.07.2011, 20:40

riwe

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Zitat:

Original von chillerStudent
mhh...

versteh ich nicht richtig.
Wie ist denn

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=ca^{n+1}+b\frac{a^{n+1}-1}{a-1} = c*x_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist doch nicht $\begin{eqnarray*} a^{n+1}+b\frac{a^{n+1}-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=ax_n+b = \text{ lt.IV }=a(ca^n+b\frac{a^n-1}{a-1})+b \end{eqnarray*}$

11.07.2011, 20:50

chillerStudent

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asoo... so ist das also gemeint.

was mach ich jetzt mit diesem b??

$\begin{eqnarray*} ca^{n+1}+b\frac{a^n-1}{a-1}+b \end{eqnarray*}$

11.07.2011, 23:29

riwe

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Zitat:

Original von chillerStudent
asoo... so ist das also gemeint.

was mach ich jetzt mit diesem b??

$\begin{eqnarray*} ca^{n+1}+b\frac{a^n-1}{a-1}+b \end{eqnarray*}$

was zum teufel studierst du denn Augenzwinkern

das heißt am anfang:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=.... \end{eqnarray*}$

was wird man denn da tun: auf GEMEINSAMEN nenner bringen und schon bist du fertig unglücklich

natürlich nur, wenn man die regeln der multiplikation beherzigt.
richtig ist

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=....+ab\cdot... \end{eqnarray*}$

12.07.2011, 18:22

testgast19

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Huhu,

da sich der Threadsteller nicht mehr dafür zu interessieren scheint, schreibe ich hier mal weil ich die gleiche Aufgabe lösen muss.

Vorneweg eine Frage, ich verstehe nicht ganz den Schritt warum ich bei $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = ax_n+b \end{eqnarray*}$ man für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} ca^n+b\frac{a^n-1}{a-1} \end{eqnarray*}$ einsetzen darf?

Aber ich hab dann mal weiter gerechnet:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}= ax_n+b = a(ca^n+b\frac{a^n-1}{a-1})+b \end{eqnarray*}$ daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}= ca^{n+1}+ab\frac{a^n-1}{a-1}+b \end{eqnarray*}$ und wenn ich b auf den gleichen nenner bringen will auf:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}= ca^{n+1}+ab\frac{a^n-1}{a-1}+\frac{ab-b}{a-1} \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}= ca^{n+1}+ab\frac{a^n-1}{a-1}+\frac{ab-b}{a-1} \end{eqnarray*}$

was mich nach weiteren Umformungsschritten auf

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}= ca^{n+1}+b\frac{a^{n+1}-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

bringt?

LG

12.07.2011, 18:33

riwe

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weil das ja nach induktionsvoraussetzung für n gelten soll.

da du es nun für n+1 zeigst, hast du es geschafft.
etwas leger formuliert Augenzwinkern

12.07.2011, 20:01

testgast19

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Okay danke smile

12.07.2011, 22:47

xvzwx

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hey also ich hätte das folgendermaßen gelöst:

Ind. Anfang:
n=1
$\begin{eqnarray*} x_{1}=ac+b \end{eqnarray*}$

Ind. Schritt:
n+1
$\begin{eqnarray*} x_ {n+1}=ax_{n}+b \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} a(ca^n+b\frac{a^n-1}{a-1})+b \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} \frac{ba^{n+1}-ca^{n+1}+ca^{n+2}-b}{a-1} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} \frac{b(a^{n+1}-1)+(a-1)ca^{n+1}}{a-1} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} \frac{b(a^{n+1}-1)}{a-1}+ca^{n+1} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} ca^{n+1}+b\frac{a^{n+1}-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

13.07.2011, 03:20

testgast19

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Die Aufgabe geht jetzt mehr oder weniger weiter.

Auf einem (zunächst leeren) Bankkonto werden am Anfang eines jeden Monats 500
Euro einbezahlt. Am Ende eines jeden Monats wird der Betrag auf dem Konto mit einem Prozent
verzinst. Wie lange dauert es, bis der Besitzer des Kontos Millionär ist? (Hinweis: Stellen Sie eine
Rekursion für den Kontostand xn nach n Monaten auf und lösen Sie diese mit Hilfe von Aufgabe
2.)

Hab leider gar keine Idee... kann mir wer auf die Sprünge helfen?

Grüße

13.07.2011, 08:46

klarsoweit

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Auch wenn es 3 Uhr morgens ist, solltest du in der Lage sein, eine Formel anzugeben, mit der man aus dem Kontostand x_n für den n-ten Monat den Kontostand x_(n+1) für den nächsten Monat ausrechnen kann.

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