Hauptachsentransformation |
| 17.12.2006, 12:44 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Hauptachsentransformation Nun soll ich eine orthogonale Matrix bestimmen, so dass eine Diagonalmatrix ist. Leider weiss ich bei dem Schritt nicht wirklich, was ich tun soll. Wäre schön, wenn mir jemand helfen würde. |
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| 17.12.2006, 13:00 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie rechnet man die Transformatiosnmatrizen auf Diagonalform aus? Richtig B besteht aus den Eigenvektoren zu den Eigenwerten. Willst Du jetzt die orthogonale Transformation haben musst Du die Eigenvektoren nochmal durch ihre länge Teilen, das reicht da bei symmetrischen Matrizen alle linear unabhängigen Eigenvektoren orthogonal sind. |
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| 17.12.2006, 13:16 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also die orthogonale Matrix B gebe ich an, indem ich die Eigenvektoren normiere und als Spaltenvektoren für B nutze. Nur hab ich da ein Problem. Ich habe ja drei Spaltenvektoren. In welcher Reihenfolge bilden sie die Spaltenvektoren der Matrix oder ist dies egal? Dann soll ja erfüllt sein, dass eine Diagonalmatrix ist. Soll ich dies ausmultiplizieren und woran erkenne ich, dass es eine Diagonalmatrix ist? 
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| 17.12.2006, 13:19 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist völlig egal. Das einzige was passiert ist das die Eigenwerte auf der diagonalen permutieren. Das heißt nimmst Du zum Beispiel den Eigenvektor zu 2 an erster Stelle steht 2 ganz oben, schreibst Du ihn ganz hinten dann steht die 2 ganz unten.
Ausmultipizieren 
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| 17.12.2006, 13:23 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich sehe grad ich hab ein kleines Problem. Eigenvektor 1 und 2, sowie 1 und 3 sind orthogonal. 2 und 3 sind leider nicht ortogonal. Spielt es für den Rechenweg eine Rolle oder reicht es,dass zwei orthogonal sind und ich dann normiere? |
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| 17.12.2006, 13:49 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind auf jeden Fall orthogonal. Solltest Du jedoch 2 Eigenvektoren zu einem Eigenwert haben kann es passieren das Du die erst orthonormieren musst, etwa mit Gram-Schmidt oder scharf hinsehen
. Die Eigenschaft von orthogonalen Matrizen ist nämlich das alle Spaltenvektoren paarweise orthogonal sind. |
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| 17.12.2006, 15:23 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Ausmultiplizieren dürfte ja auch nicht so schwer sein, da ist, wobei E die Einheitsmatrix ist. Nur am Ende kommt ja dann wieder A raus, weil A*E=A ist... wie zeige ich aber, die Diagonalmatrix? |
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| 17.12.2006, 15:39 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist dann ist |
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| 17.12.2006, 15:54 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso... also hab ich das jetzt richtig verstanden, dass A damit meine Diagonalmatrix ist? |
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| 17.12.2006, 16:08 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein A ist die gegebene Matrix und D die Diagonalgestallt. |
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| 17.12.2006, 20:21 | ALL-IN | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich wette der Threaderöffner studiert in Bochum und macht grad Zettel 7 
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| 17.12.2006, 20:40 | ALL-IN | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich will nochmals auf das Problem des Eröffners eingehen, da ich sicher bin dass wir am selben Problem hängen. Man bekommt zu einer Matrix A genau 3 Eigenwerte heraus. Zu jedem Eigenwert bekommt man genau einen Eigenvektor. Diese sind jedoch ALLE paarweise orthogonal! Hast dich vielleicht verrechnet ?? EVs lauten (als Zeilenvektoren): (1; -1; 0) ( 1,366; 1,366; 1) (0,366, 0.366, -1) Diese jetzt einfach nur normieren und als Spaltenvektoren in einer 3x3 Matrix, genannt B, auffassen? dann dazu die inverse Matrix bestimmen, das ganze nach B(Invers) *A * B ausmultiplizieren und ich habe die gesuchte Diagonalmatrix ?? |
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| 17.12.2006, 21:11 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Korrekt. |
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