Eigenwerte

11.07.2011, 22:31	Ceva	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} Q \in GL(m, p) \end{eqnarray}$ . Dann sind $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda ^p \end{eqnarray}$ , .., $\begin{eqnarray} \lambda^{p^m} \end{eqnarray}$ Eigenwerte von Q für ein $\begin{eqnarray} \lambda \in GF(p) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe die ganze Theorie mit dem Minimalpolynom und der rationalen Normalform nochmal durchgenommen und sehe aus lauter Bäume keinen Wald mehr.
12.07.2011, 06:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwas kann da nicht stimmen. 1. In GF(p) gilt sowieso $\begin{eqnarray} \lambda = \lambda^{(p^k)} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \lambda \in GF(p) \end{eqnarray}$ und alle natürlichen k. Die Aussage wäre also äquivalent dazu, dass es überhaupt einen Eigenwert gibt. 2. Wählt man z.b. $\begin{eqnarray} Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in GF(2), so gibt es aber keinen Eigenwert.
12.07.2011, 10:42	Cevas	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry!! Ja das stimmt es sollte heißen $\begin{eqnarray} GF(p^{m}) \end{eqnarray}$
12.07.2011, 20:33	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst solltest Du Dir natürlich überlegen, dass es überhaupt so einen Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda\in GF(p^m) \end{eqnarray}$ gibt. Zeige dazu, dass das char. Polynom von $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} GF(p^m) \end{eqnarray}$ eine Nullstelle haben muss. Danach ist es relativ leicht zu sehen, dass für jede Nullstelle $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eines Polynoms aus $\begin{eqnarray} GF(p)[x] \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \lambda^p \end{eqnarray}$ wieder eine Nullstelle ist. Gruß, Reksilat.
12.07.2011, 22:56	Cevas	Auf diesen Beitrag antworten »
Dank sehr, es war gerade eben ein guter Tip. Cevas

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