Innerer maximaler Abstand zweier aufeinander gedrehter Rechtecke

12.07.2011, 12:08	Mistl	Auf diesen Beitrag antworten »
Innerer maximaler Abstand zweier aufeinander gedrehter Rechtecke Meine Frage: Hallo an alle, ich habe 2 Rechtecke. Von diesen beiden rechtecken besitze ich nur Informationen über deren Kanten, dass heißt ich weiß von den Rechtecken jeweils wo links, rechts, oben und unten ist. Eines der Rechtecke wird jetzt um den Mittelpunkt beider gedreht (sie liegen am Anfang direkt übereinander und sind gleich groß). Was ich suche ist der Maximale abstand zwischen Ecke und Kante in dem nicht gemeinsamen Bereich der Dreicke. Auf dem Bild ist die Schwarze linie gemeint. [attach]20527[/attach] Meine Ideen: Ich bin soweit das ich mir die Eckpunkte der Rechtecke wärend der Drehung berechnen kann und den Winkel um wieviel die Rechtecke auseinandergedreht sind. Bei der Drehung bildet sich ja auch ein Dreieck und da ich von diesem ja dann die höhe berechnen möchte, dachte ich das es mir hilft den Abstand zwischen zwei punkten von den rechtecken zu berechnen und dann über Dreiecksgesetze irgendwie auf werte zu kommen die ich zur berechung der Höhe brauche. Irgendwie steck ich jetzt aber fest. Vielen Dank schon einmal für helfende Hinweise!
12.07.2011, 16:10	https://mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die schwarze Linie ist immer orthogonal zur Kante des blauen Rechtecks, und du willst die maximale Länge von ihr wissen, solange noch 4 orangene Dreiecke zu sehen sind?
12.07.2011, 17:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich stört der Ausdruck "Kante". Körper haben Kanten (Schnitt von Ebenen), ein Rechteck hat allerhöchstens Seiten. mY+
12.07.2011, 20:11	https://mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
dies ist so nicht korrekt...................... http://de.wikipedia.org/wiki/Viereck
14.07.2011, 11:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es seien $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \geq b > 0 \end{eqnarray}$ die Längen der Rechteckseiten. Du kannst das Rechteck so in ein Koordinatensystem legen, daß seine Ecken $\begin{eqnarray} A,B,C,D \end{eqnarray}$ die Koordinaten $\begin{eqnarray} A = \left( - \frac{a}{2} , - \frac{b}{2} \right) \, , \ B = \left( \frac{a}{2} , - \frac{b}{2} \right) \, , \ C = \left( \frac{a}{2} , \frac{b}{2} \right) \, , \ D = \left( - \frac{a}{2} , \frac{b}{2} \right) \end{eqnarray}$ bekommen. Dann ist nämlich der Ursprung des Koordinatensystems das Drehzentrum. Wenn du jetzt um den Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ gegen den Uhrzeigersinn drehst, dreht sich die ganze Rechteckseite $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ um diesen Winkel. Es ist $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Normaleneinheitsvektor der Geraden $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ . Drehen wir den auch um $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ , so bekommen wir $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} - \sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wir ändern die Richtung, damit der Vektor in die Halbebene zeigt, in der $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ liegt, nehmen also $\begin{eqnarray} \vec{n}' = \begin{pmatrix} \sin \varphi \\ - \cos \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Normaleneinheitsvektor der gedrehten Strecke $\begin{eqnarray} A'B' \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} y = \vec{n}' \cdot \left( \vec{b} - \vec{b}' \right) = \frac{1}{2} \left( a \sin \varphi + b \cos \varphi - b \right) \, , \ \ \varphi \in \left[ 0 , \frac{\pi}{2} \right] \end{eqnarray}$ der gesuchte Abstand. $\begin{eqnarray} \vec{b}, \vec{b}' \end{eqnarray}$ sind die Ortsvektoren der Punkte $\begin{eqnarray} B,B' \end{eqnarray}$ . Der Malpunkt bezeichnet das Standardskalarprodukt. Das Ganze ist also eine Anwendung der Hesseschen Normalform einer Geraden. Rechne nach und führe die Rechnung zu Ende. Du kannst dir auch eine elementargeometrische Lösung zurechtlegen. Betrachte die Situation, wo die gedrehte Strecke $\begin{eqnarray} A'B' \end{eqnarray}$ senkrecht auf der Diagonalen $\begin{eqnarray} BD \end{eqnarray}$ steht.

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