Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss

13.07.2011, 08:48

robbyk

Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe der Vollständigen Induktion und weiß nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} 1²+3²+...+(2n-1)²=\frac{n*(2n-1)(2n+1)}{3} \end{eqnarray*}$

Ich habe im Induktionsschluss die Aufgabe soweit vereinfacht, dass da steht:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+(2n-1)(2n+1)+3(2b+1)²}{3}=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3} \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich das hin, dass die linke Seite=rechte Seite ist

Meine Ideen:
weiß nicht weiter...

13.07.2011, 08:53

klarsoweit

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RE: Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss

Zitat:

Original von robbyk
Ich habe im Induktionsschluss die Aufgabe soweit vereinfacht, dass da steht:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+(2n-1)(2n+1)+3(2b+1)²}{3}=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3} \end{eqnarray*}$

Das sollte wohl heißen: $\begin{eqnarray*} \frac{n \cdot (2n-1)(2n+1) + 3(2n+1)^2}{3} = \frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3} \end{eqnarray*}$

Im Zähler würde ich erstmal (2n+1) ausklammern.

13.07.2011, 10:19

robbyk

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RE: Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss
Ja vielen dank,

dann steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac{n*((2n+1)((2n-1)+3(2n+1)))}{3}=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3} \end{eqnarray*}$

???

Und wie geht es dann weiter?

13.07.2011, 10:35

lenzilenz

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Du hast eine Klammer falsch gesetzt!
Dann kannst du durch $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{3} \end{eqnarray*}$ teilen und ausmultiplizieren, dann müsste auf beiden Seiten das gleiche stehen.

13.07.2011, 10:57

klarsoweit

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RE: Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss

Zitat:

Original von robbyk
dann steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac{n*((2n+1)((2n-1)+3(2n+1)))}{3}=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3} \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt nicht, wie du auf die linke Seite gekommen bist. Ein Ausklammern von (2n+1) - wie ich sagte - hast du da jedenfalls nicht gemacht.

13.07.2011, 11:26

robbyk

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RE: Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss
ich habe habe (2n+1) aus den Summand (2n-1)(2n+1) und dem Summand 3x(2n+1)²
ausgeklammert oder nicht?

13.07.2011, 11:44

klarsoweit

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RE: Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss
Also jetzt betrachten wir den Zähler $\begin{eqnarray*} n \cdot (2n-1)(2n+1) + 3(2n+1)^2 \end{eqnarray*}$ und dann klammerst du ganz langsam das (2n+1) aus. Was muß dann vor die Klammer und was in die Klammer?

13.07.2011, 12:04

robbyk

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RE: Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss
Vor der Klammer muss der gemeinsame Faktor stehen also (2n-1) und in der Klammer bleibt der rest stehen!

ich habe doch da 2 Summanden stehen:

1.n(2n-1)(2n+1)
2. 3*(2n+1)²=3*(2n+1)(2n+1)

Jetzt will ich aus der großen Klammer (2n+1) aus den beiden Summanden vor die Klammer bringen:

ok dann steht da:

$\begin{eqnarray*} (2n+1)((n*(2n-1)+3*(2n+1)) \end{eqnarray*}$

13.07.2011, 12:15

klarsoweit

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RE: Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss
Na also, es geht doch. Jetzt fasse mal den Krempel in der 2. Klammer zusammen.

13.07.2011, 12:27

robbyk

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RE: Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss
dann müsste da stehen:

$\begin{eqnarray*} (2n+1)(2n²-n+6n+3)=(2n+1)(2²+5n+3) \end{eqnarray*}$

13.07.2011, 12:51

klarsoweit

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RE: Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss
Richtig. Und jetzt zerlege $\begin{eqnarray*} 2n^2+5n+3 \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren.

13.07.2011, 13:07

robbyk

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RE: Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss
$\begin{eqnarray*} n(2n+5+3)=n(2n+8) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

13.07.2011, 13:13

klarsoweit

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RE: Aufgabe Vollständige Induktion Induktionsschluss
Nein, wie du leicht nachrechnen kannst. Du brauchst ja nur mal n=0 einsetzen.

Linearfaktorzerlegung von Polynomen macht man mittels seiner Nullstellen.

Alternativ, wenn du auf $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3} \end{eqnarray*}$ schaust, kannst du dir überlegen, daß ja wohl irgendwie (n+1)*(2n+3) rauskommen muß. Augenzwinkern

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