lineare abbildungen (transformation) [ehem. what the ...] |
| 25.06.2004, 23:52 | acky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
| lineare abbildungen (transformation) [ehem. what the ...] kann mir jemand - und als herausforderung für mich verständlich - sagen, was eine "lineare abbildungen (transformation)" ist, was rein geht, was raus kommt, was das bild ist, was die abbildung - und wo der sinn ist?! vielleicht mit beispiel? danke, acky \\EDIT by sommer87: Bitte aussagekräftigere Titel verwenden. 
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| 26.06.2004, 00:07 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
also was eine lineare abbildung ist kann ich dir sagen, unter dem begriff transformation versteh ich nichts. eine Abbildung allgemein ist eine relation zwischen zwei mengen. So zum beispiel ist x² eine abbildung die von den reellen Zahlen (1. Menge) in die reellen zahlen (2. menge) abbildet. Zum beispiel bildet sie die 2 auf die 4 ab. f(2) = 2² = 4 Ein bild ist das Element auf das von der Urbild menge aus abgebildet wird. Bei dem x² beispiel wäre 4 das bild und 2 das Urbild. Eine lineare abbildung ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen. Und das ist sie auschliesslich, man kann eine lineare Abbildung mit hilfe einer Matrix beschreiben. die spur einer MAtrix wäre eine solche Abbildung (summe der Diagonalelemente) folgende Eigenschaften muss die Abbildung erfüllen damit sie als linear gilt f(x) + f(y) = f(x+y) Das heißt es ist egal ob ich im Urbildraum oder im Bildraum addiere das ergebnis ist gleich f(a*x) = a*f(x) wobei a ein reeller Faktor ist Erfüllt eine Abbildung (funktion) diese eigenschaften wird sie als lineare Abbildung bezeichnet. Eine Abbildung ist in etwa das was du unter dem funktionsbegriff verstehst, du gibst etwas rein (aus der Urbildmenge) und bekommst etwas raus (das Bild). Urbild ist immer das Argument der Funktion und das Bild ist das ergebniss der Funktion, |
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| 26.06.2004, 11:14 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Transformation bedeutet eigentlich auch Abbildung. Das Wort wird mit Vorliebe bei höher-abstrakten Abbildungen verwendet. |
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| 26.06.2004, 11:15 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Sorry, Mazze, ich muss dich in einigen Punkten verbessern.
Transformationen sind auch bloß Abbildungen.
Richtig.
Ja: 4 ist das Bild von 2, und 2 ist ein Urbild von 4.
Eine spezielle Abbildung zwischen Vektorräumen, nämlich eine "lineare", d.h. additiv und homogen.
Nicht jede lineare Abbildung lässt sich mit einer Matrix beschreiben (Stichwort: Unendlichdimensionale Räume). Immerhin gilt das aber für endlichdimensionale Räume.
Ja, die Spur ist linear von R^{n,n} nach R.
Ja, das ist die Definition einer linearen Abbildung.
Das hängt sehr davon ab, was acky unter dem Funktionsbegriff versteht *g* "Abbildung" und "Funktion" sind heute Synonyme, bedeuten also exakt dasselbe.
Fast richtig. Das was man reinsteckt ist immer ein Urbild des Bildes. Bei f(x) = x^2 ist neben 2 auch noch -2 ein Urbild der 4. Lineare Abbildungen sind deshalb so weit verbreitet, weil sie mit die einfachsten Funktionen sind. |
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| 26.06.2004, 11:35 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Linkstotalität ist allgemeinhin kein Kriterium für eine Abbildung. zum Beispiel ist die Abbildung sicher nicht linkstotal (kein bild für die 0) und damit auch nur eine partielle Abbildung. ln(x) wäre auch eine nicht linkstotale Abbildung da sie für alle x <= 0 kein Bild hat. Wenn man jetzt natürlich die Urbildmengen einschränkt kommt wieder ne linkstotale raus. Frage dazu, schränkt man bei ln(x) die Mengen ein oder sagt man trotzdem R -> R? (was ja für die linkstotalität wichitg ist) Auch wenn abbildungen sehr spezielle relationen sind, sind es nur relationen. Eine Abbildung allgemein als relation zu bezeichnen ist nicht falsch, eher unvollständig. |
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| 26.06.2004, 17:58 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Eine "partielle Funktion" halte ich nicht für eine Funktion, sondern für eine Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs. Wenn ich sage "Sei f: A -> B eine Funktion", dann ist A der Definitionsbereich und B der Wertebereich. Das impliziert, dass f in ihrem Definitionsbereich definiert ist und nur Bilder im Wertebereich hat. inv: R\{0} -> R, x -> 1/x ist eine Funktion, ebenso wie ln: (0,oo) -> R, x -> ln(x). Dagegen ist "inv: R -> R, x -> 1/x" keine Funktion, da für 0 nicht definiert. Die Erklärung "eine Abbildung allgemein ist eine relation zwischen zwei mengen." ist in der Tat unvollständig. Ebenso wie es z.B. nicht ausreicht, nur zu sagen, "eine in x0 stetige Funktion ist in x0 definiert", wenn man sagen will, was eine in x0 stetige Funktion ist. Gruss, SirJective |
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