Diskrete/Stetige Verteilung

14.07.2011, 09:26

Nick B.

Diskrete/Stetige Verteilung

Meine Frage:
Die Aufgabe um die es geht findet ihr im Anhang. Ich bin hier etwas verwirrt hinsichtlich der beiden Teilaufgaben. Liege ich richtig, dass man hier nur eine der beiden Teilaufgaben lösen kann? Also entweder ist die Verteilung diskret oder stetig.

Meine Ideen:
Eine diskrete Verteilung bedeutete ja, dass es eine endliche Anzahl von Werten gibt, welche ihre Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Also beispielsweise der Würfel. Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsverteilung wird wenn ich mich nicht irre als Summenzeichen geschrieben.
Da der Erwartungswert hier jedoch als Integral berechnet wird würde ich sagen, dass es sich hier um eine stetige Verteilung handelt.

War das jetzt alles was man zeigen musste oder muss man hier irgendeinen Beweis führen?

14.07.2011, 09:49

René Gruber

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Die Formel

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int\limits_0^{\infty} \left( 1-F_X(t)\right) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

gilt für beliebige (!) nichtnegative Zufallsgrößen, insbesondere also auch für diskrete oder aber auch stetige Zufallsgrößen, ganz so wie es laut Aufgabenstellung zu beweisen ist! Da ist also kein Schreibfehler.

Es ist eben nur so, dass im Falle einer diskreten Zufallsgröße die Verteilungsfunktion Treppengestalt hat, d.h. der Integrand $\begin{eqnarray*} \left( 1-F_X(t)\right) \end{eqnarray*}$ stückweise konstant ist. Das Integral über eine (auf einem Intervall) konstanten Funktion solltest du doch berechnen können, oder? Augenzwinkern

14.07.2011, 10:17

Nick B.

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sprich, ich soll mir jetzt Funktionen ausdenken,für die die Verteilung diskret bzw. stetig ist? ich habe da Probleme mit dem Verständnis der Aufgabenstellung, da diese ja sehr allgemein gefasst ist.

14.07.2011, 10:18

René Gruber

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Nein, nicht "ausdenken". Du sollst es für alle beweisen!

14.07.2011, 14:17

Nick B.

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Zumindest ist mir jetzt die Fragestellung klar geworden.
Also ich soll zeigen, dass die Formel für den Erwartungswert sowohl für diskrete Verteilungen als auch für stetige Verteilungen gilt.

Man berechnet die diskrete Verteilung ja normalerweise über die Summenfunktion. Da bei der diskreten Veteilung die Verteilungsfunktion als Treppenfunktion dargestellt wird, sollte die Berechnung über das Integral ohne Probleme funktionieren.

Bei der stetigen Verteilung steht diese Formel für den Erwartungswert nichtnegativer Zufallsvariablen so in meinem Skript, jedoch ohne Erklärung.

Ich weiß daher nicht wie ich für die beiden Fälle den Beweis führen soll, da mir die Formel plausibel erscheint und meiner Meinung nach keiner weiteren Erklärung bedarf.

Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir schnellstmöglich zu dieser Aufgabe noch helfen könntet, da ich zu morgen die Hausaufgabe abgeben muss.

MfG Nick

14.07.2011, 17:35

René Gruber

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Im stetigen Fall könnte dir der Hinweis helfen.

Im diskreten Fall läuft es auch so ähnlich ab, nur dort mit Vertauschung von Summe und Integral. Dazu musst du jedoch zunächst mal die diskrete Verteilungsfunktion in geeigneter Form als Summe darstellen.

18.07.2011, 03:15

Deka

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Ich hoffe das ist nicht Offtopic:
Was ist eigendlich die Definition von einer nichtnegativen ZV?
Wenn ein ZV definiert ist durch $\begin{eqnarray*} X: \Omega \rightarrow \Omega_X \end{eqnarray*}$ ist.
Heißt das das für alle Elemten in $\begin{eqnarray*} \Omega_X \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} x \geq 0 : \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?
Oder schlicht weg das $\begin{eqnarray*} P(X = x) \geq 0 : \forall x \in \Omega_X \end{eqnarray*}$ gilt ?

MFG
Deka

18.07.2011, 09:13

HAL 9000

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Die Bezeichnung "nichtnegative Zufallsgröße" entspricht der Forderung $\begin{eqnarray*} P(X\geq 0)=1 \end{eqnarray*}$ , mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} X(\omega)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ .

18.07.2011, 12:56

Math1986

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Zitat:

Original von Deka
Oder schlicht weg das $\begin{eqnarray*} P(X = x) \geq 0 : \forall x \in \Omega_X \end{eqnarray*}$ gilt ?

Diese Bedingung ist nach der Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes immer erfüllt

18.07.2011, 14:08

Deka

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Hm Ok gilt dann
$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_0^\infty \! (1-F_X(t)) \, dt \end{eqnarray*}$ für nichtnegative/positive diskrete ZV.
Dann hab ich Verständnisproblem:
Allgemein gilt ja
$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_0^\infty \! (1-F_X(t)) \, dt-\int_0^\infty \! F_X(-t) \, dt \end{eqnarray*}$

Daher müssten wir zeigen das für alle nichtnegativen diskreten ZV gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! F_X(-t) \, dt=0 \end{eqnarray*}$
Das ganze aufgedröselt:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! F_X(-t) \, dt=0 \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! (\sum\limits_{x \in \Omega_X,\atop x \leq -t} f_X(x)) \, dt=0 \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! (\sum\limits_{x \in \Omega_X,\atop x \leq -t} P(X=x)) \, dt=0 \end{eqnarray*}$

Hier ist mein Problem:
Da auf dem Integrationsintervall $\begin{eqnarray*} -t \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist und ZV X nichtnegativ diskret ist, gilt doch $\begin{eqnarray*} P(X=x)=0 \end{eqnarray*}$ auf alle t auf dem Integrationsintervall ?
Dann bleibt noch der Sonderfall $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten bzw da im Script immer von "Riemann-integrierbar" gesprochen wird bleibt ein zu betrachtende "Stufe" übrig über die aufsummiert wird oder ?
Sollte dann nicht das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! F_X(-t) \, dt \end{eqnarray*}$ für diskrete nichtnegative ZV größer Null sein können?
Beispielweise ein diskrete Bernoulli ZV mit p < 1.
Oder ist mein Ansatz schlichtweg falsch ?

MFG
Deka

18.07.2011, 16:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Deka
Allgemein gilt ja
$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_0^\infty \! (1-F_X(t)) \, dt-\int_0^\infty \! F_X(-t) \, dt \end{eqnarray*}$

Wenn du das bereits verwenden darfst dann bist du doch schon fertig! Finger1

Denn obiges $\begin{eqnarray*} P(X\geq 0)=1 \end{eqnarray*}$ der Nichtnegativität kann man in die Verteilungsfunktionswerte $\begin{eqnarray*} F_X(u)=P(X\leq u) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle negativen Argumente $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ übersetzen! Damit ist dann natürlich auch

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty F_X(-t) ~ \dd t = \int_0^\infty 0 ~ \dd t = 0 \end{eqnarray*}$

sofort klar.

Zitat:

Original von Deka
Sollte dann nicht das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! F_X(-t) \, dt \end{eqnarray*}$ für diskrete nichtnegative ZV größer Null sein können?

Wieso das denn? Selbst wenn im Punkt 0 eine positive Wkt-masse liegt, also $\begin{eqnarray*} P(X=0)>0 \end{eqnarray*}$ , so ist zwar $\begin{eqnarray*} F_X(0)>0 \end{eqnarray*}$ , aber doch trotzdem $\begin{eqnarray*} F_X(-\varepsilon)=0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 0} F_X(x) = 0 \end{eqnarray*}$ . Was vollkommen ausreichend ist für

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty F_X(-t) ~ \dd t = 0 \end{eqnarray*}$ ,

auch im Fall $\begin{eqnarray*} F_X(0)>0 \end{eqnarray*}$ .

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