Eigenwert & Eigenvektor einer 3x3 Matrix, Gleichungssystem

15.07.2011, 04:25

Mullug

Eigenwert & Eigenvektor einer 3x3 Matrix, Gleichungssystem

Meine Frage:
Hi,
Ich soll Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3x3-Matrix berechnen.
Die Matrix lautet:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte zu auszurechnen habe ich noch hinbekommen , heraus kam 0, 1 und -2.

So jetz soll ich Eigenvektoren ausrechnen und dabei komme ich nicht weiter.

ich möchte jetzt den Eigenvektor zum Eigenwert 0 berechnen. Dazu nehme ich die Formel

$\begin{eqnarray*} \left(A-\lambda E\right) x = 0 \end{eqnarray*}$

also für $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(A-0E\right) x=0 \Rightarrow Ax=0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= 0 \end{eqnarray*}$

Das multipliziere ich aus und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x_1 & -3x_2 & +x_3 \\ 3x_1 & +x_2 & +3x_3 \\ 5x_1 & +2x_2 & -4x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt das Riesenproblem:
Wie löse ich dieses Gleichungssystem?

Meine Ideen:
Ich habe versucht 2 Gleichungen nach jeweils einer Variable aufzulösen und dann einzusetzen, aber dann bekomme ich sowas wie
$\begin{eqnarray*} -8 x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ raus, das macht aber irgendwie keinen Sinn...

Ich komme irgendwie nicht klar damit, dass auf der rechten Seite Nullen stehen.

Stehe total aufm Schlauch und hoffe jemand kann mir helfen

gruß

Mullug

15.07.2011, 08:45

Mazze

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Zitat:

Wie löse ich dieses Gleichungssystem?

Gaußalgorithmus. Wenn ihr beim Thema Eigenwerte seit, müsstet ihr den ja schon x-mal benutzt haben.

p.s.: Laut meinem Programm sind deine Eigenwerte falsch. Aber das muss nichts heissen. Zeig mal deine Berechnungen dazu!

15.07.2011, 08:58

klarsoweit

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RE: Eigenwert & Eigenvektor einer 3x3 Matrix, Gleichungssystem

Zitat:

Original von Mullug
Meine Ideen:
Ich habe versucht 2 Gleichungen nach jeweils einer Variable aufzulösen und dann einzusetzen, aber dann bekomme ich sowas wie
$\begin{eqnarray*} -8 x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ raus, das macht aber irgendwie keinen Sinn...

Abgesehen davon, daß die Eigenwerte nicht stimmen (Mazze sagte es schon, vermutlich ist die Matrix falsch) könnte das x_1 durchaus Null sein. Ein Problem hast du nur, wenn dann auch die beiden anderen Komponenten Null sein müßten. Das ist dann ein deutlicher Hinweis darauf, daß du dich verrechnet hast.

15.07.2011, 15:21

Mullug

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Hi,
ich habe ein Vorzeichen bei der Matrix vergessen.
Die Matrix sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ -5 & 2 & -4 \end{pmatrix} det\left(A-\lambda E\right) = 0 det\left(A-\lambda E\right) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & -3 & 1 \\ 3 & 1-\lambda & 3 \\ -5 & 2 & -4-\lambda \end{vmatrix} = 0 (2-\lambda )*(1-\lambda )*(-4-\lambda )+(-3)*3*(-5) +1*3*2-(-5)*(1-\lambda )*1-2*3*(2-\lambda )-(-4-\lambda )*3*(-3)=0 (2-\lambda -2\lambda +\lambda ^{2} )*(-4-\lambda )+45+6+5*(1-\lambda ) -6*(2-\lambda )+9*(-4-\lambda ) = 0 -8+12\lambda -4\lambda ^2-2\lambda +3\lambda ^2-\lambda ^3+8-8\lambda = 0 -\lambda ^3-\lambda ^2+2\lambda =0 -\lambda (\lambda ^2+\lambda -2)=0 -\lambda (\lambda -1)(\lambda +2)=0 Daraus folgt: \lambda _1=0, \lambda _2=1, \lambda _3=-2 \end{eqnarray*}$
War schon spät gestern smile

gruß

Mullug

15.07.2011, 17:59

Mullug

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Ich habe gelesen, um das Gleichungssystem zu lösen, kann man z.B. $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ beliebig wählen und dann so die restlichen Gleichungen lösen.

Wenn das stimmt, war das der Denkfehler der mich blockiert hat.

Kann das jmd. bestätigen?

18.07.2011, 08:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mullug
Ich habe gelesen, um das Gleichungssystem zu lösen, kann man z.B. $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ beliebig wählen und dann so die restlichen Gleichungen lösen.

Das hängt entscheidend davon ab, welche Gestalt deine Matrix nach Anwendung des Gauß-Verfahrens hat. Wenn sich die Matrix in Zeilenstufenform bedindet, dann bestimmt man die frei wählbaren bzw. die nicht frei wählbaren Variablen wie folgt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null.
Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.

Aber wie Mazze schon sagte: da ihr beim Thema Eigenwerte seid, müßtest ihr eigentlich das Thema "Gleichungssystem lösen" bis zum Erbrechen durchgekaut haben. smile

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