Konvergenz von Potenzreihe (Konvergenzradius)

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cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Potenzreihe (Konvergenzradius)
Meine Frage:
Hallo,

ich bin neu im Themengebiet Potenzreihen. Im Internet hab ich mich so gut es geht schlau gemacht. Aber ich hänge bei einer Aufgabe. Kann mir evtl. jemand weiterhelfen und erklären wie man an so eine Aufgabe rangeht?

Gegeben ist die (Potenz-)reihe


a) Bestimmen Sie alle , für die diese Reihe konvergiert.

b) Bestimmen Sie die rationale Funktion, die durch diese Potenzreihe auf ihrem Konvergenzbereich dargestellt wird.

Meine Ideen:
zu a)

Hier hätte ich erstmal versucht den Konvergenzradius wie folgt auszurechnen:

Wurzelkriterium:

mit







=

Nun würde ich sagen, dass bei

die Reihe konvergiert und bei
die Reihe divergiert

Stimmt das soweit? Und wenn ja, wie bekomme ich hier mein x raus?
Vielen Dank schonmal für jede Hilfe!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Potenzreihe (Konvergenzradius)
Zitat:
Original von cybersepp
=

Hier solltest du dich bemühen, mathematische Formeln für den geneigten Leser etwas lesbarer zu gestalten. smile

Zitat:
Original von cybersepp
Nun würde ich sagen, dass bei

die Reihe konvergiert und bei
die Reihe divergiert

Die Schlußfolgerung ist falsch, denn beispielsweise divergiert die Reihe für x=0. Augenzwinkern
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

hast Recht, die angesprochene mathematische Formel ist mir nicht gut gelungen.


komm ich mit dieser Schlussfolgerung weiter?

= Reihe konvergiert
= Reihe divergiert
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Den noch verbleibenden Fall musst du aber auch noch einordnen, sonst ist a) nicht vollständig gelöst.
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

für den noch verbleibenden Fall muss ich doch den Konvergenzradius in die ausgangs Reihe für x einsetzten und dann schauen was für eine Reihe ich rausbekomme?

Mein Problem nun, wie löse ich nach 1 auf?

Meine Idee:





sieht mir aber etwas skurril aus?

Das dann eingesetzt in die ausgangs Reihe:


Hilft mir das weiter? Kann ich dadurch sagen. Ich würde meinen in dem Punkt divergiert die Reihe (oder rede ich nun völligen blödsinn, wie gesagt, dass Thema in der Praxis ist neu für mich, deswegen bin ich mir noch recht unschlüssig)
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mein Konvergenzradius überhaupt:

?
 
 
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die geometrische Reihe divergiert am Rand des Konvergenzintervalls, und zwar an beiden Randpunkten (den zweiten hast du unachtsamerweise bei nachlässigen Umformungen verloren).

Zitat:
Original von cybersepp
Ist mein Konvergenzradius überhaupt:

?

Nein: Dieser Wert ist der rechte Randpunkt des Konvergenzintervalls, das ist inhaltlich was völlig anderes als der Begriff Konvergenzradius.


EDIT: Sorry, hab nicht gesehen, dass klarsoweit wieder da ist - dann ziehe ich mich zurück.
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

wenn der rechte Randpunkt des Konvergenzintervalls ist, dann ist doch der linke Randpunkt des Konvergenzintervalls. Verstehe ich das soweit richtig?
Ist denn der ""Spiegelpunkt"" immer bei 0 ? (siehe Anhang)


Um zu beweisen, dass die geometrische Reihe am Rand des Konvergenzintervalls, und zwar an beiden Randpunkten divergiert, muss ich also noch

in die ausgangs Reihe einsetzten!?



Wie genau erkennt man nun, dass es an den Punkten divergiert?

Und wie errechne ich den Konvergenzradius? (durch: )?


Zitat:
EDIT: Sorry, hab nicht gesehen, dass klarsoweit wieder da ist - dann ziehe ich mich zurück.

wie gesagt, ich bin für jede Hilfe dankbar Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cybersepp
wenn der rechte Randpunkt des Konvergenzintervalls ist, dann ist doch der linke Randpunkt des Konvergenzintervalls. Verstehe ich das soweit richtig?

Nein.

Zitat:
Original von cybersepp
Ist denn der ""Spiegelpunkt"" immer bei 0 ? (siehe Anhang)

Nein.

Zitat:
Original von cybersepp
Um zu beweisen, dass die geometrische Reihe am Rand des Konvergenzintervalls, und zwar an beiden Randpunkten divergiert, muss ich also noch

in die ausgangs Reihe einsetzten!?

Wenn, dann x = ... einsetzen, aber nicht diesen Wert, da das nicht der linke Randpunkt ist.

Du hast offensichtlich nicht verstanden, wie man die Ungleichung nach x auflöst.
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

dann probier ich es mal Schritt für Schritt:

nach x auflösen:



-> muss werden? Wie löse ich das denn geschickt auf?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cybersepp
-> muss werden?

Nun ja, eigentlich < 1/3 .

Schreibe nun . Dann kannst du die 3. Wurzel ziehen.
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich die 3. Wurzel ziehe aus



dann komm ich doch wieder auf






ODER:

muss ich erst die 3. Wurzel ziehen, dann durch 3 teilen und dann minus 1 rechnen?


klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cybersepp
wenn ich die 3. Wurzel ziehe aus



dann komm ich doch wieder auf





Du läßt da in unerlaubter Weise die Betragsstriche weg.

Von kommst du auf und das führt zu



Man muß eben mit Beträgen rechnen können. smile
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

ach daher weht der Wind Hammer

Also habe ich



Also heißen meine beiden Randpunkte:




Wie finde ich nun mein Konvergenzradius?
ist es ja nicht?!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder nimmst du die halbe Intervalllänge oder du schaust, was bei auf der rechten Seite steht. Augenzwinkern

EDIT: ich meinte natürlich geschockt
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

dann spielt es für den Konvergenzradius also keine Rolle ob da noch eine "-1" steht:



ich dachte, man muss erst die linke Seite nach auflösen.

Für a) komme ich also zu folgendem Ergebnis:

ist die Reihe konvergent
ist die Reihe divergent

...oder muss ich das erst in Betrag setzen?




Dann ist noch zu früfen wie es auf den Intervallgrenzen aussieht:

also für und

Diese Werte setzte ich in die Ausgangsreihe ein, folgt:

und


Wie genau erkennt man nun, dass es an den Punkten divergiert?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cybersepp
dann spielt es für den Konvergenzradius also keine Rolle ob da noch eine "-1" steht:

Richtig.

Zitat:
Original von cybersepp
Für a) komme ich also zu folgendem Ergebnis:

ist die Reihe konvergent
ist die Reihe divergent

Meine Güte, was machst du da wieder? verwirrt Siehe:
Zitat:
Original von cybersepp
Also heißen meine beiden Randpunkte:



Da hattest du doch das Konvergenz-Intervall hingeschrieben. Und fertig.

Zitat:
Original von cybersepp
Wie genau erkennt man nun, dass es an den Punkten divergiert?

Forme den Term in der Summe um. Dann sollte was zu sehen sein.
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nicht genau wie ich das umformen soll, weil mir (noch) nicht klar ist, auf was ich das umformen möchte.

Evtl. das "-" aus der Summe ziehen:



Aber wie man hier auf den korrekten Lösungsweg kommt, ist mir nicht ganz klar. Diese vielen Reihen (geometrische etc.) und wann welche wie verläuft sind mir noch etwas schleierhaft.
Meine Begründung würde so ausfallen:

Hier sind beide Summen Teile einer geometrischen Reihe (wegen ihrer Potenz)

ist nun

kann nicht gegen 0 verlaufen, sondern verläuft gegen unendlich -> divergent (weil ebenfalls gegen unendlich verläuft.
Komm ich mit der Begründung weiter?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Bekanntermaßen gilt im Konvergenzfall für den Wert der geometrischen Reihe

.

Im vorliegenden Fall musst du nur dein Reihenglied ein wenig mit den Potenzgesetzen bearbeiten, um das herauszubekommen. Was nebenbei bemerkt auch gleich zu Beginn der Aufgabenlösung eine gute Idee gewesen wäre, denn dann hätte man mit Kenntnis der Eigenschaften der geometrischen Reihe alles in wenigen Zeilen abhandeln können. Augenzwinkern

Zitat:
Original von cybersepp
Evtl. das "-" aus der Summe ziehen:


Nein: Dass nur für ungerade richtig, für gerade hingegen falsch ist, solltest du nun wirklich selbst erkennen. unglücklich

Wenn man das Minuszeichen herausziehen will (was im vorliegenden Fall übrigens keine Vereinfachung bringt), dann doch bitte streng nach Potenzgesetzen:

.
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Im vorliegenden Fall musst du nur dein Reihenglied ein wenig mit den Potenzgesetzen bearbeiten, um das herauszubekommen.


ist damit das "gliedweise differenzeren", bzw."gliedweise integrieren" gemeint?

nehmen wir an, ich komme damit auf
Was sagt mir das Ergebnis dann?

Ich glaub daran haperts noch bei mir.

Also das Konvergenzintervall sagt mir aus, in welchem Bereich die Reihe konvergiert und ab wo nicht mehr (die Konvergenzgrenzen müssen dann noch einmal explizit betrachtet werden)!?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, was das soll: Fragen wie Konvergenzbereich usw. sind doch nun alle geklärt, oder. Ich dachte, es geht jetzt ganz konkret um b), und darauf bezog sich mein letzter Beitrag.


Also gut, ich forme mal um, vielleicht klingelt es dann:

.
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Fehler, ich wusste nicht das sich dein Beitrag schon auf Aufgabe b) bezieht.

Zu a) hab ich nur eine letzte Frage, wie erkenne ich, bzw. wie begründe ich, dass die Reihe an den beiden Randpunkten divergent ist?

Wenn ich das noch irgendwie in meinen Schädel rein bekomme, starte ich mit der b) durch, dazu hilft mir deine Umformung denke ich ziemlich weiter!! Danke!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cybersepp
Zu a) hab ich nur eine letzte Frage, wie erkenne ich, bzw. wie begründe ich, dass die Reihe an den beiden Randpunkten divergent ist?

Das kommt auf die konkret vorliegende Potenzreihe an. Bei der geometrischen Reihe liegt an den Randpunkten q=1 und q=-1 schon allein deswegen keine Konvergenz vor, weil da die Reihenglieder gar keine Nullfolge bilden!

Zitat:
Original von cybersepp
Wenn ich das noch irgendwie in meinen Schädel rein bekomme, starte ich mit der b) durch,

Ja, wenn man sich viel Arbeit machen will, dann geht man in der Reihenfolge vor. Augenzwinkern
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

vielen lieben Dank an euch beide für eure Hilfe!!

Hab die Aufgabe nun denke ich mal komplett gelöst und soweit verstanden.

meine Lösung für b) lautet:



kann mir das jemand bestätigen, bzw. kann man das noch irgendwie vereinfachen?


(bei Interesse: Meinen Rechenweg für die komplette Aufgabe gibt's im Anhang)
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cybersepp
meine Lösung für b) lautet:



kann mir das jemand bestätigen, bzw. kann man das noch irgendwie vereinfachen?

Naja vielleicht dadurch, dass man gar nicht erst ausmultipliziert, d.h. das Ergebnis



stehen lässt, das ist auch in dieser Form als rationale Funktion in erkennbar. Augenzwinkern
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