Lagrange Interpolation

15.07.2011, 19:05

CN123

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Lagrange Interpolation

Wenn einige Werte einer monoton zunehmenden oder abnehmenden Funktion f(x) gegeben sind, könnte man
auch daran intereessiert sein, den Wert der Umkehrfunktion an einer Zwischenstelle zu bestimmen. Dann kann
man einfach statt der Daten (xi,yi =f(xi)) die Daten (yi,xi = f(^-1) (yi)) interpolieren. Damit könnte man zum
Beispiel leicht eine Näherung einer Nullstelle bestimmen.

Seien folgende Werte gegeben:

x0= -114 ; x1= -54 ; x2= 6 ; x3= 3/8
y0= -2 ; y1= -1 ; y2= 2 ; y3= 3/2

a)Interpolieren Sie die Daten (xi,yi) z.B. mit Lagrange_interpolation. Versuchen sie nicht den Ausdruck zu vereinfachen.
Bemerkung: Stellen Sie sich vor, Sie müssten von diesem Polynom jetzt eine Nullstelle Bestimmen. Stattdessen gehen wir wie folgt vor:

b)Interpolieren sie die Daten (yi,x,). Verwenden Sie die oben angegebene Reihenfolge der Stützstellen. Wieso ist dies sinnvoll und richtig?
Bestimmen Sie jetzt mit Hilfe dieses Polynoms eine Näherung für die Nullstelle der Funktion f(x).

Mein Problem ist das aufstellen der L0, L1 , L2 und L3 Gleichungen ich habe bisher nur bis L2 Aufgaben gelöst...komme aber an diesem Punkt nicht mehr weiter.

Bei mir ist:

$\begin{eqnarray*} L0= \frac{(x-x1)(x-x2)}{(x0-x1)(x0-x2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L1= \frac{(x-x0)(x-x2)}{(x1-x0)(x1-x2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L2= \frac{(x-x1)(x-x3)}{(x2-x1)(x2-x3)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L3= \frac{(x-x2)(x-x3)}{(x3-x2)(x3-x3)} \end{eqnarray*}$

bei L0 glaub ich noch das das richtig ist aber mit dem Rest da habe ich meine zweifel, glaube nicht das ich die Formel richtig gelesen habe wie man sie erstellt...finde Sie aber auch verwirrend....kann mir einer weiterhelfen?

15.07.2011, 19:09

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation
Nein, das stimmt so nicht. Man läßt ja immer nur einen Faktor weg, sonst würde man durch 0 teilen, so als Merkregel.

$\begin{eqnarray*} L_0(x)= \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} \end{eqnarray*}$

15.07.2011, 19:20

CN123

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RE: Lagrange Interpolation
Aso ja hab ich mir schon gedacht das meine nicht stimmen...kannst du mir hierzu die allgemeine Formel sagen wie man die ganzen L ausrechnet....ich verstehe nicht wie man die lesen soll wie in meinem Fall bei n=3...also wie sieht L1 aus? du meintest ein Faktor fällt weg????

15.07.2011, 19:21

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation
Steht alles in dem Workshop zum Thema. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.07.2011, 19:26

CN123

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RE: Lagrange Interpolation
Aaah ok kannst du mir sagen wo genau das steht?

15.07.2011, 19:29

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation
Leiste Rechts: Workshops
[WS] Polynominterpolation - Theorie

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15.07.2011, 19:38

CN123

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RE: Lagrange Interpolation
ok ich habe das hier gefunden: [WS] Polynominterpolation - Theorie

aber genau diese Formel macht mich stutzig ich weiss nicht wie ich das lesen soll. wegen den ganzen k n i j usw.

Also ich hab mal probiert L1 zu machen das kommt dabei raus...wobei ich nicht glaube das ich es diesem mal richtig gemacht habe:

$\begin{eqnarray*} L1= \frac{(x-x0)(x-x1)}{(x0-x1)(x0-x2)} \end{eqnarray*}$

und??

15.07.2011, 19:42

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation
Nein, was liest du da denn...

$\begin{eqnarray*} p_n(x)=\sum_{j=0}^n~l_j(x)\cdot y_j \quad \text{ mit } l_j(x) := \prod_{ \begin{matrix}k=0 \\ k \neq j \end{matrix}}^n \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)} \end{eqnarray*}$

Bei dir ist n=3 und wir wollten L0 bestimmen, also j=0. Dann darf der Index k also alles sein, außer 0, sonst steht im Nenner ja x0-x0=0. das meinte ich als Merkregel. Von den vier Faktoren (x-x0),...,(x-x3) kommen immer nur 3 in Frage.

$\begin{eqnarray*} l_0(x) := \prod_{ \begin{matrix}k=0 \\ k \neq 0 \end{matrix}}^3 \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)} =\frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)}\frac{(x-x_2)}{(x_0-x_2)}\frac{(x-x_3)}{(x_0-x_3)} \end{eqnarray*}$

15.07.2011, 19:46

Zitrone21

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Du hast 4 Punkte gegeben. Das heißt ein Lagrangepolynom besteht aus jeweils 3 Faktoren.

$\begin{eqnarray*} l_0 \end{eqnarray*}$ hat Tigerbine dir schon gepostet
Bei dir sieht es für das 1te Polynom so aus:

$\begin{eqnarray*} l_1(x) = \prod_{ \begin{matrix}k=0 \\ k \neq 1 \end{matrix}}^n \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)} = \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \end{eqnarray*}$

eingesetzt dann so:

$\begin{eqnarray*} = \frac{(x-(-114))(x-6)(x-(\frac{3}{8})))}{((-54)-(-114))((-54)-6)((-54)-(\frac{3}{8})))} \end{eqnarray*}$

15.07.2011, 19:57

CN123

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RE: Lagrange Interpolation
ok jetzt gaube hab ichs verstanden....

$\begin{eqnarray*} L1= \frac{(x-x0)(x-x2)(x-x3)}{(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L2= \frac{(x-x0)(x-x1)(x-x3)}{(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L3= \frac{(x-x0)(x-x1)(x-x2)}{(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)} \end{eqnarray*}$

und nun kann ich p(X) austellen mit der FORMEL:

p(x)=x0*L=+x1*L1+x2*L2+x3*L3

damit müsste dann doch Aufgabenteil a) erledigt sein???

15.07.2011, 19:59

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation
Bitte setzt die Zahlen doch in den Index. Aber nicht mal x, sondern mal den Funktionswert y.

15.07.2011, 20:05

CN123

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RE: Lagrange Interpolation
Oooh ja stimmt y nicht x hab mich da verschrieben....da steht nun nicht vereinfachen dann bekomme ich einen großen Haufen als Gleichung...

15.07.2011, 20:09

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation

Zitat:

)Interpolieren Sie die Daten (xi,yi) z.B. mit Lagrange_interpolation. Versuchen sie nicht den Ausdruck zu vereinfachen.
Bemerkung: Stellen Sie sich vor, Sie müssten von diesem Polynom jetzt eine Nullstelle Bestimmen. Stattdessen gehen wir wie folgt vor:

Du hast nicht geschrieben, was stattdessen ist. Ansonsten ist (a) fertig.

15.07.2011, 20:23

CN123

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RE: Lagrange Interpolation
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{(x+114)(x+54)(x-\frac{33}{8}) }{6720} -\frac{(x+114)(x-6)(x-\frac{33}{8}) }{209250} -\frac{(x+54)(x-6)(x-\frac{33}{8}) }{850500} -\frac{(x+114)(x+54)(x-6)}{27304,21867} \end{eqnarray*}$

Das habe ich nun als Ergebniss für Aufgabenteil a) raus...denke müsste so stimmen??!

15.07.2011, 20:38

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

)Interpolieren Sie die Daten (xi,yi) z.B. mit Lagrange_interpolation. Versuchen sie nicht den Ausdruck zu vereinfachen.
Bemerkung: Stellen Sie sich vor, Sie müssten von diesem Polynom jetzt eine Nullstelle Bestimmen. Stattdessen gehen wir wie folgt vor:

Du hast nicht geschrieben, was stattdessen ist. Ansonsten ist (a) fertig.

15.07.2011, 20:40

CN123

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RE: Lagrange Interpolation
Sehe ich vor lauter Bäumen den wald nicht?? Also was meinst du mit was stattdessen ist genau?

15.07.2011, 20:49

CN123

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RE: Lagrange Interpolation
Asooo...ok ansonsten ist der Aufgabenteil b)....ist es nicht gemeint das man bei a) nur mit den Variabeln ohne einsetzten die Formel hinschreiben muss und bei b) einfach nur die Zahlen einsetzt in die Formel und dann ausrechnet?? So ganz hab ich teil b) nicht verstanden ich glaube ich bin auch überdurchschnittlich heute verwirrt :-( LOL Hammer

LOL Hammer

LOL Hammer

LOL Hammer

LOL Hammer

15.07.2011, 20:51

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation

Zitat:

b)Interpolieren sie die Daten (yi,x,). Verwenden Sie die oben angegebene Reihenfolge der Stützstellen. Wieso ist dies sinnvoll und richtig?
Bestimmen Sie jetzt mit Hilfe dieses Polynoms eine Näherung für die Nullstelle der Funktion f(x).

15.07.2011, 20:57

CN123

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RE: Lagrange Interpolation
Kannst du mir einen Tipp geben wie man mit Hilfe dieses Polynoms eine Näherung für die Nullstelle der Funktion f(x) berechnet...

Ich habe ja schon vorhin meine Lösung der Funktion f(x) gepostet...aber wie geht es jetzt weiter..alles auf einen Nenner bringen und dann...hmm....

15.07.2011, 21:42

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation
Nein, das will ich nun nicht machen. Da schläfst du mal eine Nacht drüber und überlegst selbst, wie das zusammenhängt. Was ist eine Nullstelle denn überhaupt? Was ist gegeben und was ist gesucht...

15.07.2011, 22:00

CN123

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RE: Lagrange Interpolation
Alles klar trotzdem DANKE

15.07.2011, 22:03

tigerbine

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RE: Lagrange Interpolation
Die Fragen sind aber schon ernst gemeint. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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