Galoisgruppe und alle Zwischenkörper bestimmen

15.07.2011, 19:39

arattilien

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Galoisgruppe und alle Zwischenkörper bestimmen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich sitze gerade an einer Algebraaufgabe und finde einfach keinen guten Ansatz.. ich hoffe ihr könnt mir da irgendwie auf die Sprünge helfen!

Die Aufgabe lautet:

Sei L der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4+x^3+x^2+1 \in \mathbb{Q}[x]. \end{eqnarray*}$ Bestimmen Sie die Galoisgruppe Gal(L/K) und alle Zwischenkörper von L/K.

Meine Ideen:
Ich kenne den Hauptsatz der Galois-Theorie und habe mir überlegt, dass ich ja zuerst einmal die Nullstellen brauche. Aber leider scheitere ich schon daran.. Gibt es noch eine andere Möglichkeit? Oder kann mir jemand beim Finden der Nullstellen helfen?

Vielen Dank schonmal!
arattilien

15.07.2011, 20:12

kiste

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Beachte x^5-1 = f(x)(x-1)

15.07.2011, 20:28

arattilien

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aber fehlt mir dazu nicht ein x? Ich komme auf $\begin{eqnarray*} f(x)(x-1)=x^5-x^2+x-1 \end{eqnarray*}$ ich habe mir auch erst überlegt ob es ein Kreisteilungspolynom ist... aber das x fehlt... unglücklich

unglücklich

15.07.2011, 20:43

kiste

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Oops, ich bin schon so gewöhnt das dieses Polynom als Übungsaufgabe kommt. Da hab ich wohl das fehlende x einfach übersehen.

Die Nullstellen des Polynoms sind aber "hinreichend" kompliziert. Ich glaube nicht, dass man auf diese Weise arbeiten sollte. Was habt ihr denn an Theorie gehabt für das Berechnen der Galoisgruppe?

15.07.2011, 21:42

arattilien

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also wir haben folgende Definition bekommen:

Eine Körpererweiterung L/K heißt Galoiserweiterung oder galoissche Erweiterung,
wenn L/K normal und separabel ist.
Die Gruppe AutK(L) heißt dann Galoisgruppe von L/K und wird mit Gal(L/K)
oder G(L/K) bezeichnet.

Das Beispiel dazu kam dann aber auch wieder über die Nullstellen.. ich muss aber auch zugeben, dass ich mich auch so schon schwer mit dem Thema tue.. Ich habe glaube ich den Sinn hinter der Galois-Theorie noch nicht verstanden.

15.07.2011, 22:04

juffo-wup

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Ein guter Anfang wäre es zu zeigen, dass das Polynom irreduzibel ist. Dazu könntest du, um Nullstellen in Q auszuschließen, benutzen, dass Nullstellen in Q auch in Z liegen müssten und den konstanten Koeffizienten, also 1, teilen. Um zu zeigen, dass das Polynom sich nicht als Produkt von 2 Polynomen (in Z[X]) vom Grad 2 schreiben lässt, führt ein direkter Ansatz mit Koeffizientenvergleich leicht zum Ziel, da die Koeffizienten ja alle 0 oder 1 sind.

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15.07.2011, 22:23

arattilien

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kann ich das nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ betrachten?

in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} x^4+x^3+x^2+1=0 \end{eqnarray*}$
dann haben wir die Nullstellenmöglichkeiten: $\begin{eqnarray*} x_1=1: 4 \neq 0 \wedge x_2=-1: 2 \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ keine NS in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

ich hoffe ich liege damit jetzt nicht völlig daneben...
also wenn ich das dann irgendwie gezeigt habe, dann bin ich doch wieder an der Stelle mit den Nullstellen unglücklich

unglücklich

gibt es denn eine andere Möglichkeit die untergruppen und Zwischenkörper zu bestimmen? Habe auch im Internet und in meinen schlauen Büchern nur den Weg über die Nullstellen gesehen...

15.07.2011, 22:32

juffo-wup

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Modulo 2 gibt es doch die Nullstelle 1. 4=0 mod 2.

Hattet ihr denn die Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad 4? Kubische Resolvente? Diskriminante?
Es gibt schon andere Möglichkeiten, die Galoisgruppe zu bestimmen, aber die Frage ist ja, was ihr in der Vorlesung hattet und benutzen könnt/sollt.

15.07.2011, 23:10

arattilien

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ah stimmt.. ups das hab ich grad total übersehen.. aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ funktioniert es.

wir hatten noch keine Lösungsformel für Gleichungen 4. Grades... ich habe in meinen Büchern allerdings auch schon von Resolventen und Diskriminanten gelesen, fand es aber schwer es auf meine Aufgabe anzuwenden. Allerdings wird einem in der Vorlesung ja nicht immer alles auf dem goldenen Tablett serviert, ich denke also es ist durchaus möglich, dass wir uns das selbstständig ansehen sollen oder es kommt noch kurzfristig vor der Abgabe...

16.07.2011, 00:21

juffo-wup

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Modulo 3 funktioniert auch, ja.
Naja, die Herleitung für die kubische Resolvente ist nicht schwierig, aber rechenaufwändig. Wenn man das Ergebnis schon kennt, ist es etwas einfacher:

Seien $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3,x_4 \end{eqnarray*}$ die Nullstellen von f. Definiere dann
$\begin{eqnarray*} \Theta_1=(x_1+x_2)(x_3+x_4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Theta_2=(x_1+x_3)(x_2+x_4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Theta_3=(x_1+x_4)(x_2+x_3) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} g(x)=(x-\Theta_1)(x-\Theta_2)(x-\Theta_3)=x^3-s_1x^2+s_2x-s_3 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} s_1=\Theta_1+\Theta_2+\Theta_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_2=\Theta_1\Theta_2+\Theta_1\Theta_3+\Theta_2\Theta_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_3=\Theta_1\Theta_2\Theta_3. \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) \end{eqnarray*}$ sodass gilt:
$\begin{eqnarray*} \sigma_1:=x_1+x_2+x_3+x_4=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma_2:=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma_3:=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma_4:=x_1x_2x_3x_4=1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt der aufwändige Teil. Man sieht man durch Ausmultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} s_1=2(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4) =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_2=\sum_{i,j} x_i^2x_j^2+3\sum_{i,j,k} x_i^2 x_jx_k +6x_1x_2x_3x_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_3=\sum_{i,j,k} x_i^3x_j^2x_k+2\sum_{i,j,k,l} x_i^3x_jx_kx_l+2\sum_{i,j,k} x_i^2x_j^2x_k^2+4\sum_{i,j,k,l} x_i^2x_j^2x_kx_l \end{eqnarray*}$

Ausmultiplizieren von $\begin{eqnarray*} \sigma_2^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_1 \sigma_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -4\sigma_4 \end{eqnarray*}$ und Benutzen der bekannten Werte liefert $\begin{eqnarray*} s_2=\sigma_2^2+\sigma_1\sigma_3-4\sigma_4=1+0-4=-3 \end{eqnarray*}$

Genauso findet man $\begin{eqnarray*} s_3=\sigma_1\sigma_2\sigma_3-\sigma_1^2\sigma_4-\sigma_3^2=-1 \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3-2x^2-3x+1 \end{eqnarray*}$
Dieses Polynom heißt kubische Resolvente von f. Wenn dir dieser Ansatz zusagt und du alles nachvollzogen hast, könnte ich dir sagen, wie du damit die Galoisgruppe von f bestimmen kannst.

16.07.2011, 09:18

arattilien

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vielen Dank schonmal für die ausführliche Antwort. Ich habe den Weg nachgerechnet und soweit auch verstanden, allerdings wollte ich dazu noch fragen, ob das jetzt nur für diese eine Gleichung so funktioniert oder ob ich das bei Gleichungen 4. Grades immer so anwenden darf. Wie bist du denn auf die $\begin{eqnarray*} \theta \wedge \sigma \end{eqnarray*}$ gekommen?

Kann ich dann anhand der Resolvente die Nullstellen für meine Gleichung bestimmen?

16.07.2011, 10:40

juffo-wup

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Der Weg funktioniert für beliebige irreduzible separable (normierte) Polynome vom Grad 4. Man muss nur am Ende für die $\begin{eqnarray*} \sigma_i \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten des Polynoms einsetzen (bzw. für $\begin{eqnarray*} \sigma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ das Negative des entsprechenden Koeffizienten). Es wurden ja bei der Rechnung keine spezielle Eigenschaften von f benutzt.

Die $\begin{eqnarray*} \sigma_i \end{eqnarray*}$ sind ja einfach das, was man erhält, wenn man f in faktorisierter Form ausmulitpliziert, also die Koeffizienten von f mittels der Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ausdrückt. Ein Name für die $\begin{eqnarray*} \sigma_i \end{eqnarray*}$ ist auch "elementarsymmetrische Funktionen" in den $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ .

Die $\begin{eqnarray*} \Theta_i \end{eqnarray*}$ sind so definiert, dass die Permutationen der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ , die alle drei $\begin{eqnarray*} \Theta_i \end{eqnarray*}$ festlassen, gerade die Elemente der Kleinschen Vierergruppe $\begin{eqnarray*} V=\{ id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} \end{eqnarray*}$ sind. Das kann man einfach durch Ausprobieren feststellen. Jede Permutation aus $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ überführt jedes der $\begin{eqnarray*} \Theta_i \end{eqnarray*}$ in ein $\begin{eqnarray*} \Theta_j \end{eqnarray*}$ und diejenigen Permutationen, die $\begin{eqnarray*} \Theta_1 \end{eqnarray*}$ in sich überführen, sind neben den Elementen von V noch die Permutationen $\begin{eqnarray*} (12),(34),(1324),(1423) \end{eqnarray*}$ . Analoge Aussagen gelten für $\begin{eqnarray*} \Theta_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Theta_3 \end{eqnarray*}$ sodass nur die Elemente von V alle $\begin{eqnarray*} \Theta_i \end{eqnarray*}$ festlassen. (*)

Dass sich überhaupt die Koeffizienten von g mit Hilfe der Koeffizienten von f berechnen lassen, folgt daraus, dass g als Polynom in den $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist. Nach einem Satz lassen sich die Koeffizienten von g dann schon als Polynome in den elementarsymmetrischen Funktionen der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ also in den Koeffizienten von f schreiben. Es gibt auch Algorithmen, um für ein symmetrisches Polnom in n Variablen die Darstellung als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen zu ermitteln. Den konkreten Rechenansatz hier habe ich aber einfach aus einem Buch abgeschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es stellt sich heraus, dass man aufgrund dieser Eigenschaft mit Hilfe von g und der Galoisgruppe von g, die ja wesentlich leichter zu bestimmen ist als die von f, auf die Galoisgruppe von f rückschließen kann. Man kann auch eine Darstellung der Nullstellen von f als gewisse Summen von Quadratwurzeln der Nullstellen von g (also der $\begin{eqnarray*} \Theta_i \end{eqnarray*}$ ) herleiten. Die Nullstellen von g kann man zuvor mit Hilfe der Lösungsformel für Polynome vom Grad 3 ermitteln. Aber da wir hier ja nur an der Galoisgruppe interessiert sind, ist das nicht nötig.

Wie es jetzt weitergeht: Es müsste gezeigt werden, dass g irreduzibel ist (das ist nicht für jedes Polynom f so, aber hier). Dann ist die Galoisgruppe von g als Permutationsgruppe der $\begin{eqnarray*} \Theta_i \end{eqnarray*}$ entweder $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ . Welcher Fall eintritt, kann man z.B. mit Hilfe der Diskriminante von g feststellen. (siehe z.B. in diesem Artikel unter "Die Diskriminante")

Sei dann $\begin{eqnarray*} E=\mathbb{Q}(\Theta_1,\Theta_2,\Theta_3). \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} E/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist galoissch, da E der Zerfällungskörper von g ist. Jetzt kann man mit Anwendung des Gradsatzes weiterkommen: Da g irreduzibel ist, wird der Grad $\begin{eqnarray*} [E:\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ von 3 geteilt (warum?). Damit teilt 3 auch den Grad $\begin{eqnarray*} [L:\mathbb{Q}]. \end{eqnarray*}$ Außerdem gilt $\begin{eqnarray*} 4\mid [L:\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ wegen f irreduzibel. Also teilt sogar 12 den Grad. Die Galoisgruppe von f ist isomorph einer Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ mit der Ordnung $\begin{eqnarray*} [L:\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ sodass nur noch $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ in Frage kommen.

Damit ist aber auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} V\subset Gal(L/K) \end{eqnarray*}$ . Mache dir klar, dass nun wegen (*) gilt : $\begin{eqnarray*} Gal(L/E)=V \end{eqnarray*}$ . Wenn man jetzt weiß, ob $\begin{eqnarray*} Gal(E/\mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ ist, kann man schon aufgrund der Ordnungen sagen, was $\begin{eqnarray*} Gal(L/\mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ sein muss.

16.07.2011, 12:57

arattilien

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wow, ich bin dir wirklich sehr sehr dankbar für deine ausführlichen Antworten!!!

Die Diskriminante habe ich berechnet und komme dabei auf 257, was kein Quadrat in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist, also schließe ich daraus, dass $\begin{eqnarray*} Gal(E/\mathbb{Q})=S_3 \end{eqnarray*}$ ist. Dementsprechend müsste dann $\begin{eqnarray*} Gal(L/\mathbb{Q})=S_4 \end{eqnarray*}$ sein, wenn ich das richtig verstanden habe.

Ah noch kurz, $\begin{eqnarray*} \left[ E : \mathbb{Q} \right] =3 \end{eqnarray*}$ , da g das Minimalpolynom des Zerfällungskörpers E ist, oder?

Bedeutet das dann also, dass $\begin{eqnarray*} Gal(L/\mathbb{Q})=S_4 \end{eqnarray*}$ meine Galoisgruppe ist und die Zwischenkörper Gal(L/E) und $\begin{eqnarray*} Gal(E/ \mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ ?

16.07.2011, 19:17

juffo-wup

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Zitat:

Original von arattilien
Die Diskriminante habe ich berechnet und komme dabei auf 257, was kein Quadrat in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist, also schließe ich daraus, dass $\begin{eqnarray*} Gal(E/\mathbb{Q})=S_3 \end{eqnarray*}$ ist. Dementsprechend müsste dann $\begin{eqnarray*} Gal(L/\mathbb{Q})=S_4 \end{eqnarray*}$ sein, wenn ich das richtig verstanden habe.

Ja.

Freude

Zitat:

Ah noch kurz, $\begin{eqnarray*} \left[ E : \mathbb{Q} \right] =3 \end{eqnarray*}$ , da g das Minimalpolynom des Zerfällungskörpers E ist, oder?

Körper haben kein Minimalpolynom, nur Elemente. Wähle dir zum Beweis der Aussage eine Nullstelle a von g im Zerfällungskörper und betrachte die Kette von Erweiterungen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(a)\subset E \end{eqnarray*}$

Zitat:

Bedeutet das dann also, dass $\begin{eqnarray*} Gal(L/\mathbb{Q})=S_4 \end{eqnarray*}$ meine Galoisgruppe ist und die Zwischenkörper Gal(L/E) und $\begin{eqnarray*} Gal(E/ \mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ ?

Ist das dein Ernst? Dann musst du dir den Hauptsatz der Galoistheorie nochmal gründlich ansehen. $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ hat ein bisschen mehr Untergruppen..
Wahrscheinlich hast du dich außerdem verschrieben? Gal(L/E) und Gal(E/Q) sind doch keine Körper.

17.07.2011, 09:33

arattilien

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oh huch.. da hab ich wohl nicht mehr nachgedacht.. Hammer

Hammer

gut aber die Untergruppen von $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ bekomm ich dann noch hin.

Ich danke dir VIELMALS für deine Unterstützung und große Hilfe!!! Hätte ich alleine nicht geschafft.. unglücklich

unglücklich

Danke!!!

17.07.2011, 17:34

juffo-wup

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Gern geschehen. Wenn noch Probleme bei der Ermittlung der Zwischenkörper auftreten, frag ruhig nach.

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