[WS] Folgen

16.07.2011, 15:06

Iorek

[WS] Folgen

In diesem Workshop werden wir den Begriff der (reellen) Folge und der Folgenkonvergenz motivieren. Weiter werden wir wichtige Eigenschaften von konvergenten Folgen betrachten und Methoden zur Grenzwertbestimmung lernen. Der Workshop ist angelehnt an das Skript zur Analysis I von Prof. Dr. Aloys Krieg, RWTH Aachen, soll dieses aber natürlich nicht ersetzen und auch nicht als Ersatz angesehen werden.

In den Beweisen verwenden wir häufig die [Artikel] Dreiecksungleichung, es ist also von Vorteil, diese zu kennen.

Übersicht:

16.07.2011, 16:06

Iorek

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Motivation
Motivation

Ein sehr bekanntes Paradoxon, welches auf den griechischen Philosophen Zenon von Elea (490-430 v.Chr.) zurückgeht:

Der griechische Held Achilles läuft mit einer Schildkröte um die Wette. Damit das Rennen ein wenig fairer wird, gewährt Achilles der Schildkröte einen Vorsprung. Zenon behauptet nun, dass Achilles die Schildkröte nie einholen kann mit folgender Argumentation:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er erst den gewährten Vorsprung aufholen. Während er dies tut, wird allerdings auch die Schildkröte laufen und so erneut einen Vorsprung gegenüber Achilles aufbauen. Dieser ist zwar kleiner, erfüllt aber denselben Zweck wie der Anfangsvorsprung; bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er diesen neuen Vorsprung aufholen. Während der Zeit, die Achilles dafür braucht, wird die Schildkröte erneut einen noch kleineren Vorsprung aufbauen, den Achilles erst wieder einholen muss...der Vorsprung der Schildkröte wird zwar immer kleiner, dennoch wird Achilles sie nie überholen können sondern sich ihr höchstens annähern.

Natürlich ist jedem klar, dass Achilles die Schildkröte irgendwann überholen muss, dennoch ist das Paradoxon nicht so einfach aus der Welt zu schaffen. Auch eine mathematische Formulierung des Problems löst dieses nicht ohne weiteres:

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass Achilles zehnmal so schnell laufe wie die Schildkröte und die Schildkröte einen Vorsprung von 90 Metern erhalte. Wir bezeichnen mit $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ die von Achilles und mit $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ die von der Schildkröte zurückgelegten Strecke in Metern (gemessen von Achilles Startpunkt), wir starten also mit:

$\begin{eqnarray*} A_0=0,~S_0=90 \end{eqnarray*}$

Wir betrachten den Zeitpunkt, zu dem Achilles die Ausgangsposition der Schildkröte erreicht hat. Achilles hat also 90 Meter zurückgelegt, die Schildkröte ist demnach 9 Meter weiter und wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} A_1=90,~S_1=90+90\cdot \frac 1{10}=99 \end{eqnarray*}$

Wir wiederholen den Prozess und betrachten den Zeitpunkt, zu dem Achilles diese Position erreicht hat; er läuft also weitere 9 Meter.

$\begin{eqnarray*} A_2=99,~S_2=99+9\cdot \frac 1{10}=99{,}9 \end{eqnarray*}$

Wiederholen wir den Prozess erneut, so ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} A_3=99{,}9,~S_3=99{,}9+0{,}9\cdot \frac 1{10}=99{,}99 \end{eqnarray*}$

Betrachten wir den Prozess nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Schritten, erhalten wir mit Hilfe der geometrischen Summenformel:

$\begin{eqnarray*} A_n=S_{n-1},~S_n=90\cdot\sum\limits_{k=0}^n \left(\frac 1{10}\right)^k=90\cdot \frac{1-\left(\frac 1{10}\right)^{n+1}}{1-\frac 1{10}}=100\cdot\left(1-\left(\frac 1{10}\right)^{n+1}\right) \end{eqnarray*}$

Da sämtliche Summanden der Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \left(\frac 1{10}\right)^k \end{eqnarray*}$ positiv sind, ist offenbar $\begin{eqnarray*} S_{n-1}<S_n \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} A_n<S_n \end{eqnarray*}$ . Das Paradoxon, dass Achilles die Schildkröte nie erreicht bleibt also bestehen.

Erst mit der Einführung des Grenzwerts $\begin{eqnarray*} n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ erhält man die (auch intuitiv) korrekte Antwort, dass Achilles nach 100 Metern die Schildkröte eingeholt hat. Der Begriff des Grenzwerts bzw. der Folgenkonvergenz stand in der Antike noch nicht zur Verfügung, weshalb das Problem nicht zufriedenstellend gelöst werden konnte. Wir wollen dies nun mathematisch präzisieren.

16.07.2011, 16:55

Iorek

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Definition einer Folge

Zitat:

Definition:
Eine (reelle) Folge ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb N\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Statt $\begin{eqnarray*} \mathbb N\rightarrow\mathbb R,~n\mapsto a_n \end{eqnarray*}$ schreiben wir für die Folge kurz $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Die Wertemenge dieser Abbildung $\begin{eqnarray*} W:=W_a:=\{a_n~|~n\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ nennt man auch die Wertemenge der Folge. Für eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} W\subseteq M \end{eqnarray*}$ für eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ spricht man auch von einer Folge in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Diese Definition lässt sich noch etwas verallgemeinern. Für $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ spricht man auch im Fall einer Abbildung $\begin{eqnarray*} \{n\in\mathbb Z~|~n\geq n_0\}\rightarrow\mathbb R,~n\mapsto a_n \end{eqnarray*}$ von einer Folge und schreibt $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\geq n_0} \end{eqnarray*}$

Beispiele

Sei $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine konstante Folge mit Wertemenge $\begin{eqnarray*} W=\{1\} \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}=\left(\left(-1\right)^n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine alternierende Folge mit Wertemenge $\begin{eqnarray*} W=\{-1,1\} \end{eqnarray*}$ . Man spricht von einer alternierenden Folge, wenn sich mit jedem neuen Folgenglied das Vorzeichen ändert.
Da $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist, existiert eine surjektive Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb N\rightarrow \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , diese Abbildung ist also eine reelle Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit Wertemenge $\begin{eqnarray*} W=\mathbb Q \end{eqnarray*}$
Durch $\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases} \frac n2 & n~\text{gerade} \\ -\frac{n-1}2 & n~\text{ungerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ist eine Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit Wertemenge $\begin{eqnarray*} W=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ definiert.
Für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} u,v\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist die Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} a_n:=u+n\cdot v \end{eqnarray*}$ eine arithmetische Folge. Arithmetische Folgen sind dadurch gekennzeichnet, dass die Differenz aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant ist: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n=v \end{eqnarray*}$
Seien $\begin{eqnarray*} u,q\in\mathbb R^* \end{eqnarray*}$ . Die Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}:=\left(u\cdot q^n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist eine geometrische Folge. Für eine geometrische Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgenden Folgenglieder konstant: $\begin{eqnarray*} \frac {a_{n+1}}{a_n}=q \end{eqnarray*}$

Zur Gleichheit von Folgen:

Nach der Definition für Folgen sind zwei Folgen $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N},~\left(b_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ genau dann gleich, wenn $\begin{eqnarray*} a_n=b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Aus der Gleichheit der Wertemengen kann man demnach nicht auf die Gleichheit der Folgen schließen.

Die Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=\left(\left(-1\right)^n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb N}=\left(\left(-1\right)^{n+1}\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ erfüllen $\begin{eqnarray*} W_a=W_b=\{-1,1\} \end{eqnarray*}$ , allerdings ist $\begin{eqnarray*} a_n\neq b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Da es sich bei Folgen also um Abbildungen handelt, erhalten wir sofort einige Eigenschaften, aus dem (reellen) Funktionsbegriff:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: D\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D\subseteq\mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt monoton wachsend (bzw. fallend), wenn für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\leq y \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} f(x)\leq f(y) \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} f(x)\geq f(y) \end{eqnarray*}$ ) gilt. Gemäß dieser Definition ist eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ monoton wachsend, wenn $\begin{eqnarray*} a_m\leq a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\leq n \end{eqnarray*}$ gilt. Mit Hilfe einer Induktion zeigt man nun, dass die Bedingung äquivalent zu der Aussage $\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist (im Induktionsschritt verwende man, dass $\begin{eqnarray*} a_m\leq a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n\leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a_m\leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ impliziert).
Eine Folge ist beschränkt, wenn ihre Wertemenge beschränkt ist, d.h. es existieren $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\leq a_n\leq y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall existiert auch ein $\begin{eqnarray*} M>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n|\leq M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ (wähle etwa $\begin{eqnarray*} M=\max\{|x|,|y|\} \end{eqnarray*}$

16.07.2011, 18:41

Iorek

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Folgenkonvergenz und bestimmte Divergenz
Wir führen den Begriff der Folgenkonvergenz ein.

Zitat:

Definition:
Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge. $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ heißt konvergent, wenn eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert, so dass zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0=n_0(\varepsilon)\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert mit der Eigenschaft: $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Im Fall der Existenz nennen wir $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ den Limes oder Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und schreiben $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=a \end{eqnarray*}$ . Man sagt auch, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert. Eine Folge mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ heißt Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergent

Anschaulich besagt die Konvergenzbedingung, dass fast alle Glieder der Folge, d.h. alle bis auf endlich viele, höchstens den Abstand $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ vom Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ haben.

Wir betrachten dazu einige Beispiele:

Jede konstante Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist konvergent mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ lässt sich ein beliebiges $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ wählen. Damit gilt dann:
$\begin{eqnarray*} |a_n-c|=|c-c|=0<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .
Wir betrachten die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=\left(\frac 1n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac 1n=0 \end{eqnarray*}$ , denn:
Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ wählen wir ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n_0>\frac 1\varepsilon \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} |a_n-0|=|\frac 1n-0|=\frac 1n\leq \frac 1{n_0}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge.
Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=(n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich divergent. Sei $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac 12 >0 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |n-a|>|n|=n\geq1>\frac 12=\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} a\geq 0 \end{eqnarray*}$ wähle $\begin{eqnarray*} n_0>1+a \end{eqnarray*}$ , damit gilt: $\begin{eqnarray*} |n-a|>|n_0-a|>|1+a-a|=1>\frac 12=\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=\left(\frac 1{\sqrt{n+1}}\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n =0 \end{eqnarray*}$ . Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ wählt man ein $\begin{eqnarray*} n_0>\frac 1{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{\sqrt{n+1}}-0\right|=\frac 1{\sqrt{n+1}}\leq \frac 1{\sqrt{n_0} }<\sqrt{\varepsilon ^2}=\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$
Die Folge $\begin{eqnarray*} \left(\left(-1\right)^n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist divergent. Zu $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac 12 \end{eqnarray*}$ existieren unendlich viele $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |\left(-1\right)^n-a|>\frac 12 \end{eqnarray*}$

Zur Wahl des $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ :
Oftmals scheint dieses regelrecht vom Himmel zu fallen, ohne Begründung warum man es gerade so wählt (bzw. alternativ mit der Begründung "Damit funktionierts!"). Normalerweise geht man bei dieser Art des Konvergenbeweises wie folgt vor:
Üblicherweise hat man eine Ahnung, wie der Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aussehen könnte, (ausrechnen einiger Folgenglieder, Folge sieht ähnlich wie eine bereits bekannte Folge aus), dann wähle zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ beliebig ein $\begin{eqnarray*} n_0=\dots \end{eqnarray*}$ , sprich: man lässt die Wahl des $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ erst einmal offen. Anschließend betrachtet man $\begin{eqnarray*} |a_n-a|=\dots \end{eqnarray*}$ und schätzt dieses so weit nach oben ab, bis man etwa wie beim zweiten oben genannten Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac 1{n_0} \end{eqnarray*}$ erreicht hat. Nun kann man eine Aussage treffen, wie das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gewählt werden muss, damit $\begin{eqnarray*} \frac 1{n_0}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt. Diese Wahl von $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ trägt man dann oben ein und der Beweis ist fertig.

Wir unterscheiden nun die bestimmte und die unbestimmte Divergenz.

Zitat:

Definition:
Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine divergente Folge. Man nennt $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ bestimmt divergent gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und schreibt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=\infty \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} M\in\mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} a_n>M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Analog definiert man eine Folge als bestimmt divergent gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} M\in\mathbb R_- \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} a_n<M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Eine divergente Folge, die nicht bestimmt divergiert, heißt unbestimmt divergent.

Beispiele:

Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=(n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ divergiert bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Zu $\begin{eqnarray*} M\in\mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ wähle $\begin{eqnarray*} n_0>M \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} a_n=n\geq n_0>M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .
Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=\left(\left(-1)\right)^n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist unbestimmt divergent. Für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -2<\left(-1\right)^n<2 \end{eqnarray*}$ , die Folge ist also beschränkt.

17.07.2011, 11:39

Iorek

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Eindeutigkeit des Grenzwerts und Grenzwertsätze
Wir formulieren nun zwei wichtige Aussagen für konvergente Folgen:

Zitat:

Satz:

Eine Folge besitzt höchstens einen Grenzwert, d.h. für eine konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=a,~a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt.
Eine konvergente Folge ist beschränkt. Die Umkehrung gilt i.A. nicht.

Beweis

Seien $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde a \end{eqnarray*}$ Grenzwerte von $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ wählt man $\begin{eqnarray*} n_0,~n_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |a_n-\tilde a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_1 \end{eqnarray*}$ . Sei nun $\begin{eqnarray*} m\geq \max\{n_0,n_1\} \end{eqnarray*}$ , dann gilt mit der Dreiecksungleichung:

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*}|a-\tilde a| & =|a-a_m+a_m-\tilde a| \\ & \leq |a-a_m|+|a_m-\tilde a|<\varepsilon + \varepsilon=2\varepsilon\end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt war, folgt nun $\begin{eqnarray*} a=\tilde a \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=a \end{eqnarray*}$ . Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ existiert dann ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n|-|a|\leq |a_n-a|<\varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ unter Verwendung der Dreiecksungleichung. Es gilt also: $\begin{eqnarray*} |a_n|<|a|+1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .
Wähle nun $\begin{eqnarray*} M:=\max\{|a|+1,|a_1|,|a_2|,\dots,|a_{n_0}|\} \end{eqnarray*}$ . Damit gilt $\begin{eqnarray*} |a_n|\leq M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Zur Umkehrung betrachte $\begin{eqnarray*} \left(\left(-1)\right)^n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Dies ist eine beschränkte Folge, die nicht konvergiert.

Für konvergente Folgen existieren die Grenzwertsätze, welche bei der Grenzwertbestimmung häufig verwendet werden:

Zitat:

Satz:
Seien $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N},(b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=a,~\lim\limits_{n\to\infty} b_n=b,~a,b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (a_n+b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (a_n+b_n)=a+b \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} (ca_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (ca_n)=ca \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a_n\cdot b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n)=a\cdot b \end{eqnarray*}$
Gilt $\begin{eqnarray*} b\neq 0,b_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so konvergiert $\begin{eqnarray*} \left(\frac {a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac {a_n}{b_n} = \frac ab \end{eqnarray*}$

Um die Grenzwertsätze anwenden zu können, ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} b_n=b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ unabdingbar, wie wir später noch sehen werden.

Beweis:

Nach Voraussetzung existieren zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} n_1,n_2\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\frac \varepsilon2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b_n-b|<\frac \varepsilon 2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_2 \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} n_0=\max\{n_1,n_2\} \end{eqnarray*}$ , dann gilt mit der Dreiecksungleichung:
$\begin{eqnarray*} |(a_n+b_n)-(a+b)|=|(a_n-a)+(b_n-b)|\leq |a_n-a|+|b_n-b|<\frac \varepsilon 2 + \frac \varepsilon 2=\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .
Für den Fall $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} ca_n=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (ca_n)=0=ca \end{eqnarray*}$ . Sei also $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Es existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\frac \varepsilon{|c|} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ , damit gilt:
$\begin{eqnarray*} |ca_n-ca|=|c|\cdot |a_n-a|<|c|\cdot \frac \varepsilon{|c|}=\varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N},~(b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen sind, sind sie insbesondere beschränkt, es existiert also ein $\begin{eqnarray*} M>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n|<M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b_n|<M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |b|<M \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Zu $\begin{eqnarray*} n_1,n_2\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\frac \varepsilon{2M} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b_n-b|<\frac \varepsilon{2M} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_2 \end{eqnarray*}$ , wählen wir $\begin{eqnarray*} n_0=\max\{n_1,n_2\} \end{eqnarray*}$ . Mit der Dreiecksungleichung folgt nun für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \begin{align*}|a_nb_n-ab| & =|a_nb_n-a_nb+a_nb-ab| \leq |a_nb_n-a_nb|+|a_nb-ab| \\ & =|a_n|\cdot |b_n-b|+|b|\cdot |a_n-a| <M\cdot \frac \varepsilon{2M}+M\cdot \frac \varepsilon{2M}=\varepsilon\end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$
Es genügt, die Aussage für die konstante Folge $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen, dann folgt die Behauptung mit iii).
Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ , also existiert ein $\begin{eqnarray*} n_1\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |b_n-b|<\frac 12|b| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_1 \end{eqnarray*}$ . Mit der Dreiecksungleichung erhält man:
$\begin{eqnarray*} |b|-|b_n|\leq |b-b_n|<\frac 12|b| \end{eqnarray*}$ und weiter $\begin{eqnarray*} \frac 12|b|<|b_n| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_1 \end{eqnarray*}$ . Sei nun $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} n_2\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |b_n-b|<\frac 12|b|^2\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_2 \end{eqnarray*}$ . Wir wählen $\begin{eqnarray*} n_0=\max\{n_1,n_2\} \end{eqnarray*}$ , dann folgt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left|\frac 1{b_n}-\frac 1b\right| = \left|\frac {b-b_n}{b_nb}\right|=\frac 1{|b_n|}\cdot \frac 1{|b|}\cdot |b_n-b|<\frac 2{|b|}\cdot \frac 1{|b|}\cdot \frac {|b|^2}2\varepsilon=\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Bei der Überprüfung einer gegebenen Folge auf Konvergenz, werden die Grenzwertsätze oft verwendet um die Folge zu "zerlegen", und somit den Grenzwert einfacher bestimmen zu können. Dabei ist wichtig, dass die Grenzwertsätze jeweils nur für endlich viele Summanden bzw. Faktoren definiert sind, für unendlich viele sind die Grenzwertsätze nicht mehr anwendbar.

Einige Beispiele zur Anwendung der Grenzwertsätze:

Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac 1n=0 \end{eqnarray*}$ , eine Induktion nach $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ liefert dann für $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac 1{n^k}=0 \end{eqnarray*}$
Wir betrachten $\begin{eqnarray*} a_n=\frac {4n^2-3n-15}{3n^2+n+7}=\frac{4-\frac 3n-\frac {15}{n^2}}{3+\frac 1n+\frac 7{n^2}} \end{eqnarray*}$ . Mit den Grenzwertsätzen ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (4-\frac 3n-\frac {15}{n^2})=\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty} 4}_{=4}-\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty} \frac 3n}_{=0}-\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty} \frac {15}{n^2}}_{=0}=4 \end{eqnarray*}$ und analog $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (3+\frac 1n+\frac 7{n^2})=3 \end{eqnarray*}$ . Ingesamt erhalten wir: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=\frac 43 \end{eqnarray*}$ .
Auf $\begin{eqnarray*} a_n=\frac 1n+\frac 1{n+1}+\frac 1{n+2}+\dots +\frac 1{n^2} \end{eqnarray*}$ können die Grenzwertsätze nicht angewendet werden. Man mag vielleicht argumentieren, diese Folge konvergiere gegen 0, da jeder Summand gegen 0 konvergiert, allerdings haben wir es hier für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ nicht mehr mit endlich vielen Summanden zu tun, weshalb die Grenzwertsätze nicht greifen.

17.07.2011, 15:25

Iorek

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Das Sandwich-Lemma
Die folgende Aussage ist sehr nützlich bei der Grenzwertbestimmung einer Folge.

Zitat:

Das Sandwich-Lemma:
Gegeben seien reelle Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N},(b_n)_{n\in\mathbb N},(c_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} c_n=A,~A\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n\leq c_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ , so ist auch $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergent mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} b_n=A \end{eqnarray*}$

Diese Aussage wird oft auch als Einschnürungssatz oder Einschließungssatz benannt. Anschaulich wird die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ von den anderen beiden Folgen ab einem bestimmten Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ wie in einem Sandwich eingezwängt oder eingeschnürt.

Beweis:
Für $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt nach Voraussetzung:
$\begin{eqnarray*} b_n-A\leq c_n-A,~A-b_n\leq A-a_n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |b_n-A|\leq \max\{|a_n-A|,|c_n-A|\} \end{eqnarray*}$ .

Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ wählen wir ein $\begin{eqnarray*} n_1\geq n_0 \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} |a_n-A|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |c_n-A|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_1 \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} |b_n-A|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_1 \end{eqnarray*}$ .

Wir verwenden das Sandwich-Lemma um drei wichtige Grenzwerte zu bestimmen:

Für $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb R,~|q|<1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \left(q^n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge.

Für $\begin{eqnarray*} q=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to \infty} q^n=0 \end{eqnarray*}$ klar, sei also $\begin{eqnarray*} q\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} \frac 1{|q|}=1+h \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ . Eine Anwendung der Bernoullischen Ungleichung ergibt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left|\frac 1{q^n}\right|=\left(\frac 1{|q|}\right)^n\geq 1+nh=1+n\left(\frac 1{|q|-1}\right)>n\frac{1-|q|}{|q} \end{eqnarray*}$ .

Nun folgt: $\begin{eqnarray*} 0\leq |q^n|<\frac {|q|}{1-|q|}\cdot \frac 1n \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac {|q|}{1-|q|}\cdot \frac 1n =0 \end{eqnarray*}$ und dem Sandwich-Lemma ist dann auch $\begin{eqnarray*} \left(q^n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge.
Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]n=1 \end{eqnarray*}$ .

Es gilt $\begin{eqnarray*} 1\leq \sqrt[n] n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Wir verwenden die binomische Formel und erhalten für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} n=\left(\sqrt[n] n\right)^n=[1+\left(\sqrt[n]n-1\right)]^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk \left(\sqrt[n]n-1\right)^k\geq \binom n2 \left(\sqrt[n]n-1\right)^2 \end{eqnarray*}$

Damit gilt: $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt[n]n-1)\right)^2\leq \frac n{\binom n2}=\frac 2{n-1} \end{eqnarray*}$ . Da beide Seiten der Ungleichung strikt positiv sind, dürfen wir die Wurzel ziehen und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]n-1\leq \sqrt {\frac 2{n-1}} \Rightarrow \sqrt[n]n\leq 1+\sqrt{\frac 2{n-1}} \end{eqnarray*}$

Insgesamt erhalten wir nun: $\begin{eqnarray*} 1\leq \sqrt[n]n\leq 1+\sqrt{\frac 2{n-1}} \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} 1+\sqrt{\frac 2{n-1}}=1 \end{eqnarray*}$ und dem Sandwich-Lemma folgt nun die Behauptung.
Für alle $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb R_+^* \end{eqnarray*}$ konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt[n]q\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen 1.

Gilt $\begin{eqnarray*} q\geq 1 \end{eqnarray*}$ , so hat man $\begin{eqnarray*} 1\leq q\leq n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0=[q]+1 \end{eqnarray*}$ . Mit der Monotonie der Wurzel folgt nun:
$\begin{eqnarray*} 1\leq \sqrt[n]q\leq\sqrt[n]n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ , aus $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]n=1 \end{eqnarray*}$ folgt nun mit dem Sandwich-Lemma die Behauptung.

Sei nun $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac 1q}=1 \end{eqnarray*}$ nach dem ersten Fall (da $\begin{eqnarray*} \frac 1q>1 \end{eqnarray*}$ ). Mit den Grenzwertsätzen folgt nun die Behauptung für alle $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ .

17.07.2011, 21:22

Iorek

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Teilfolgen und Häufungspunkte
Wir führen den Begriff der Teilfolge ein.

Zitat:

Definition:
Eine Folge $\begin{eqnarray*} (\tilde a_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ heißt Teilfolge einer Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , wenn es eine streng monoton wachsende Folge $\begin{eqnarray*} (n_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \tilde a_k=a_{n_k} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Anschaulich entsteht eine Teilfolge aus der ursprünglichen Folge durch das "Streichen" von Folgegliedern. Häufig verwendete Teilfolgen sind z.B. $\begin{eqnarray*} (a_{2k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_{2k-1})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ; die Folge $\begin{eqnarray*} (a_{2k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ besteht aus dem zweiten, dem vierten, dem sechsten... Glied der Folge $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , also den geraden Gliedern (wobei sich "gerade" auf den Index bezieht). Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_{2k-1})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ besteht demnach aus den ungeraden Gliedern der Ursprungsfolge.

Aus der Definition von Teilfolgen folgert man mit der strengen Monotonie der Folge $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ direkt: $\begin{eqnarray*} n_k\geq k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Diese Folgerung verwenden wir für die nächste Aussage.

Zitat:

Lemma:
Sei $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Limes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert auch jede Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} (a_{n_k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert, existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} n_k\geq k \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} n_k\geq n_0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq n_0 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} |a_{n_k}-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq n \end{eqnarray*}$ . Damit folgt die Behauptung.

Die Konvergenz einer Folge überträgt sich also auf ihre Teilfolgen. Umgekehrt gilt dies nicht, was wir mit dem Konzept der Häufungspunkte näher beschreiben wollen.

Zitat:

Definition:
Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge. Eine Zahl $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n_k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ existiert, die gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Beispiel:

Wir betrachten die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=\left(\left(-1\right)^n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und die Teilfolgen $\begin{eqnarray*} (\tilde a_n)_{n\in\mathbb N}=(a_{2n})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (\hat a_n)_{n\in\mathbb N}=(a_{2n-1})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \tilde a_n=1,~\hat a_n=-1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \tilde a_n=1,~\lim\limits_{n\to\infty} \hat a_n=-1 \end{eqnarray*}$ . Somit sind $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ Häufungspunkte der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .

17.07.2011, 22:33

Iorek

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Satz von Bolzano-Weierstraß
Wir erhalten eine weitere Möglichkeit, eine Folge auf Konvergenz zu überprüfen.

Zitat:

Satz:
Jede monotone, beschränkte Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist konvergent. Sei $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ die Wertemenge der Folge, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=\begin{cases} \sup W, & (a_n)_{n\in\mathbb N} ~\text{monoton wachsend} \\ \inf W, & (a_n)_{n\in\mathbb N} ~\text{monoton fallend} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Diese Aussage ermöglicht es, eine Folge auf Konvergenz zu überprüfen ohne den Grenzwert explizit zu berechnen. Dies ist vor allem bei rekursiv definierten Folgen von Interesse, wie wir später noch sehen werden.

Beweis:
Wir können annehmen, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist, da wir sonst $\begin{eqnarray*} (-a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ betrachten. Sei $\begin{eqnarray*} a=\sup W \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Offensichtlich ist dann $\begin{eqnarray*} a-\varepsilon \end{eqnarray*}$ keine obere Schranke von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ , also exstiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n_0}>a-\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als Supremum auch eine obere Schranke von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist, folgt nun mit der Monotonie von $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} a-\varepsilon<a_{n_0}\leq a_n\leq a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n = a \end{eqnarray*}$

Wir kommen nun zu einer wichtigen Aussage, die u.A. in der Topologie eine große Rolle spielt.

Zitat:

Satz von Bolzano-Weierstraß:
Jede beschränkte (reelle) Folge hat mindestens einen Häufungspunkt

Beweis:
Nach dem oben formulierten Konvergenzkriterium, genügt es folgende Aussage zu zeigen:
Jede reelle Folge besitzt eine monotone Teilfolge.

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine reelle Folge. Einen Index $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k\geq a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq k \end{eqnarray*}$ nennen wir (als Abkürzung) eine Spitze. Wir unterscheiden die beiden Fälle:

1. Fall: Es gibt unendliche viele solcher Spitzen. Diese bilden dann eine streng monoton wachsende Teilfolge $\begin{eqnarray*} (n_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Aus der Definition der Spitze und $\begin{eqnarray*} n_{k+1}>n_k \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a_{n_k}\geq a_{n_{k+1}} \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} (a_{n_k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .
2. Fall: Es gibt nur endlich viele Spitzen. Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass kein $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ eine Spitze ist. Sei $\begin{eqnarray*} n_1=N \end{eqnarray*}$ . Sind $\begin{eqnarray*} n_1<\dots <n_k \end{eqnarray*}$ bereits konstruiert, so wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ keine Spitze ist. Also existiert ein $\begin{eqnarray*} n_{k+1}>n_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n_k}<a_{n_{k+1}} \end{eqnarray*}$ . Damit erhalten wir eine streng monoton wachsende Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n_k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt nun die Behauptung.

Der Satz von Bolzano-Weierstraß sagt uns, dass jede beschränkte Folge mindestens einen Häufungspunkt, also mindestens eine konvergente Teilfolge besitzt. Dies sollte aber nicht so verstanden werden, dass nur beschränkte Folgen Häufungspunkte besitzen.

Wir betrachten die durch $\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases} n, & n~\text{gerade} \\ 0, & n~\text{ungerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$ definierte Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ unbeschränkt, besitzt aber eine konvergente Teilfolge. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}{a_{2n-1}} =0 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ein Häufungspunkt der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .

Wir betrachten weitere Beispiele:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=\left(1+\frac 1n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend, denn: für $\begin{eqnarray*} n<n+1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac 1n > \frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$ , damit ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=1+\frac 1{n+1}<1+\frac 1n = a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Weiter ist $\begin{eqnarray*} 0<\frac 1n\leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 0<a_n\leq 2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Nun folgt:
$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend und beschränkt, also konvergent. Mit den Grenzwertsätzen ergibt sich noch: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=1 \end{eqnarray*}$ .
Es bezeichne $\begin{eqnarray*} \pi_n \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Primzahlen $\begin{eqnarray*} p\leq n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \pi_1=0,~\pi_2=1,~\pi=3=\pi_4=2,~\pi_5=\pi_6=3,\dots \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Folge $\begin{eqnarray*} (\pi_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ monoton wachsend, aber unbeschränkt, da es unendlich viele Primzahlen gibt. Die Folge $\begin{eqnarray*} (\pi_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist also nicht konvergent. $\begin{eqnarray*} \left(\frac {\pi_n}n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist dagegen eine Nullfolge. Der Primzahlsatz aus der Zahlentheorie sagt, dass die Folge $\begin{eqnarray*} \left(\pi_n\cdot \frac{\ln(n)}n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert.

18.07.2011, 10:32

Iorek

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Die eulersche Zahl als Folgengrenzwert
Wir betrachten nun einen sehr bedeutenden Grenzwert, diesen formulieren wir als

Zitat:

Satz:
Die Folge $\begin{eqnarray*} \left(\left(1+\frac 1n\right)^n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist monoton wachsend und beschränkt mit $\begin{eqnarray*} 2\leq \left(1+\frac 1n\right)^n<3 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Es existiert: $\begin{eqnarray*} e:=\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n (=2{,}7182818284590\dots) \end{eqnarray*}$

Beweis:
Wird noch nachgetragen.

18.07.2011, 11:02

Iorek

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Das Cauchy-Kriterium
Wir führen eine neue Klasse von Folgen ein:

Zitat:

Definition:
Eine reelle Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N=N(\varepsilon)\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert, sodass gilt:
$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m,n\geq N \end{eqnarray*}$

Der Begriff der Cauchy-Folge liefert uns ein neues Konvergenzkriterium:

Zitat:

Satz: Cauchy-Kriterium
Für eine reelle Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ sind äquivalent:

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist konvergent.
$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist eine Cauchy-Folge

Beweis:

$\begin{eqnarray*} i. \Rightarrow ii. \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} a=\lim\limits_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ , dann existiert zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\frac \varepsilon2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ . Eine Anwendung der Dreiecksungleichung liefert dann für alle $\begin{eqnarray*} m,n\geq N \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|=|a_m-a+a-a_n|\leq |a_m-a|+|a-a_n|<\frac \varepsilon 2+\frac \varepsilon 2 = \varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Somit ist $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge.

$\begin{eqnarray*} ii. \Rightarrow i. \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge. Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a_N|<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} |a_n|<|a_N|+1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N,~n\geq N \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ beschränkt und besitzt nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß einen Häufungspunkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , d.h. es existiert eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n_k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ die gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Sei nun $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} k_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_{n_k}-a|<\frac \varepsilon 2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$ sowie ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|<\frac \varepsilon 2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} N=\max\{n_0,k_0\} \end{eqnarray*}$ , dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} k\geq N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n_k\geq k \geq N \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} |a_k-a|=|a_k-a_{n_k}+a_{n_k}-a|\leq |a_k-a_{n_k}|+|a_{n_k}-a|<\frac \varepsilon 2 +\frac \varepsilon 2 = \varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Somit folgt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=a \end{eqnarray*}$ .

Ein großer Vorteil des Cauchy-Kriteriums liegt darin, dass man die Konvergenz einer Folge nachweisen kann, ohne den Limes explizit berechnen zu müssen. Wir werden dieses sowohl bei rekursiv definierten Folgen als auch später noch bei Reihen häufig verwenden.

18.07.2011, 11:32

Iorek

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Rekursiv definierte Folgen
Der folgende Abschnitt wurde im Wesentlichen von Cel verfasst und wird hier mit kleinen Änderungen bzgl. Notation und einigen Zusätzen zitiert.

Zitat:

Definition:
Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ heißt rekursiv definiert, wenn es ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und eine (stetige) Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=f(a_n,a_{n-1},\dots,a_{n-k+1}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq k \end{eqnarray*}$ gilt.

Bei einer rekursiv definierten Folge ergibt sich das $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ te Folgenglied also durch Verknüpfung der vorherigen Glieder, wobei die ersten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Glieder der Folge vorgegeben sind.

Beispiele:

Eine arithmetische Folge $\begin{eqnarray*} (u+vn)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ kann rekursiv definiert werden durch:
$\begin{eqnarray*} a_1=u+v,~a_{n+1}=a_n+v,~n\geq 1 \end{eqnarray*}$
Eine geometrische Folge $\begin{eqnarray*} \left(u\cdot q^n\right) \end{eqnarray*}$ kann rekursiv definiert werden durch:
$\begin{eqnarray*} a_1=u\cdot q,~b_{n+1}=b_n\cdot q,~q\geq 1 \end{eqnarray*}$
Eine sehr bekannte, rekursiv definierte Folge ist die Fibonacci-Folge welche durch
$\begin{eqnarray*} a_0=0,~a_1=1,~a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} \end{eqnarray*}$
gegeben ist.

Hier soll nun eine Vorgehensweise erläutert werden, wie man die Konvergenz von rekursiven Folgen (erster Ordnung), also Folgen der Form

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = f(a_{n}), \; n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit Startwert $\begin{eqnarray*} a_1 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und einer beliebigen (stetigen) Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

nachweisen kann. Nach der Definition einer Folge, können natürlich auch andere Startwerte in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ in Betracht gezogen werden.

Bekanntlich konvergiert eine Folge, wenn sie monoton und beschränkt ist, diese Eigenschaft machen wir uns jetzt zu Nutze.

Für diese Methode benutzen wir die Vollständige Induktion.

Hierzu sei folgendes Beispiel gegeben:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2, \; a_1 = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

(i) Zeige: Die Folge ist nach unten durch 1 beschränkt.

I.A. $\begin{eqnarray*} n = 1:~ a_1 = \frac{3}{2} \geq 1\; \checkmark \end{eqnarray*}$
I.S. $\begin{eqnarray*} n \to n+1:\; a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2 = (a_n - 1)^2 + 1 \geq 1\; \checkmark \end{eqnarray*}$

(ii) Zeige: Die Folge ist nach oben durch 2 beschränkt.

I.A. $\begin{eqnarray*} n = 1:~ a_1 = \frac{3}{2} \leq 2\; \checkmark \end{eqnarray*}$
I.S. $\begin{eqnarray*} n \to n+1:\; a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2 = (a_n - 1)^2 + 1 \leq 2, \end{eqnarray*}$ da nach I.V. $\begin{eqnarray*} |a_n - 1| \leq 1 \Rightarrow (a_n - 1)^2 \leq 1\; \checkmark \end{eqnarray*}$

Die Folge ist also beschränkt.

(iii) Zeige: $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend, also $\begin{eqnarray*} a_n - a_{n+1} \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rl}a_n - a_{n+1} = &a_n - (a_n -1)^2 - 1 = (a_n - 1) - (a_n - 1)^2\\ =& (a_n - 1) - (a_n - 1)(a_n - 1) = (a_n - 1)(1 - (a_n - 1))\\ =& (\underbrace{a_n - 1}_{\geq 0})(\underbrace{2 - a_n}_{\geq 0}) \geq 0\end{array} \checkmark \end{eqnarray*}$

(iv) Grenzwert.

Falls eine rekursive Folge gegen einen Grenzwert a konvergiert (was sie hier tut), kann man versuchen, diesen durch Limesbildung auf beiden Seiten zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{a_{n+1}}_{\to\; a} = \underbrace{f(a_n)}_{\to\; f(a)} \end{eqnarray*}$

(Hier geht die Stetigkeit von f ein, die wir voraussetzen.)

Wir berechnen also die Limiten beider Seiten:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2 \Rightarrow a = a^2 - 2a +2 \Leftrightarrow a-1 = (a-1)^2 \Rightarrow a = 1\; \lor \; a = 2 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert muss also gleich 1 sein, da bereits der Startwert kleiner als 2 ist und die Folge monoton fällt. Als Ergebnis erhalten wir also $\begin{eqnarray*} a_n \downarrow 1 (n \to \infty) \end{eqnarray*}$ .

Eine zweite Möglichkeit besteht darin, zunächst eine explizite Form der Folge zu finden, was mitunter schwierig sein kann. Entweder kann diese durch "scharfes Hinsehen" oder mittels der Diskreten Mathematik gefunden werden. Ist f eine nicht-lineare Funktion (wie in unserem Beispiel) erhöht sich die Schwierigkeit dieser Methode enorm.

Ebenso funktionieren beide Vorgehensweisen für rekursive Folgen höherer Ordnung.

Ein weiteres Beispiel, bei dem das Cauchy-Kriterium zum Einsatz kommt:

Wir betrachten die rekursiv definierte Folge zweiter Ordnung:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{5}{4}a_n - \frac{1}{4}a_{n-1} + \frac{(-1)^n}{4^n}, \; a_0 = 0, \; a_1 = 1 \end{eqnarray*}$

Zunächst untersuchen wir den Abstand zweier direkt aufeinander folgender Folgenglieder:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{|a_{n+1} - a_n|}_{=: \;d_{n+1}} = \left|\frac{1}{4}(a_n - a_{n-1}) + \frac{(-1)^n}{4^n}\right| \leq \frac{1}{4}\underbrace{|a_n - a_{n-1}|}_{=: \;d_n} + \frac{1}{4^n} \end{eqnarray*}$

Das letzte Ungleichheitszeichen resultiert aus der Dreiecksungleichung.
Also ergibt sich folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} d_{n+1} \leq \frac{1}{4}d_n + \frac{1}{4^n}\; (*) \end{eqnarray*}$

Wir vemuten (begründet, wie sich später herausstellt): $\begin{eqnarray*} d_n \leq 2^{-n+1} \end{eqnarray*}$ . Dies beweisen wir mit vollständiger Induktion.

I.A. n=1: $\begin{eqnarray*} d_1 = |a_1 - a_0| = 1 \leq 1 = 2^0\; \checkmark \end{eqnarray*}$

I.S. $\begin{eqnarray*} n \to n+1: \;d_{n+1} \stackrel{(*)}{\leq} \frac{1}{4}d_n + \frac{1}{4^n} \stackrel{I.V.}{\leq} \frac{1}{4}2^{-n+1} + \frac{1}{4^n} = \frac{1}{4} (2^{-n+1} + 4^{-n+1}) \leq \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2^{-n+1} = 2^{-1} \cdot 2^{-n+1} = 2^{-(n+1)+1}\; \checkmark \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung nutzen wir nun aus, um nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist:

$\begin{eqnarray*} |a_n - a_m| = |a_n - a_{n-1} + a_{n-1} - a_{n-2} + \dots + a_{m+1} - a_m| \leq 2^{-n+1} + 2^{-(n-1)+1} + \dots + 2^{-(m+1)+1} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k = m}^{n-1}2^{-k} = 2^{-m}\sum\limits_{j = 0}^{n-1-m}2^{-j} = 2^{-m}\frac{1 -2^{m-n}}{1- 2^{-1}} < 2^{-m+1} < \varepsilon \; (m \geq n_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist also eine Cauchy-Folge und konvergiert. Beachte: Den Grenzwert kann man hier nicht wie im obigen Beispiel errechnen. Der Versuch endet bei einer wahren Aussage "0 = 0", ohne Informationen über den Grenzwert zu liefern.

Zum Abschluss noch ein Kommentar des Gastusers Kühlkiste:

Zitat:

Original von Kühlkiste
Inzwischen wurde Cel's Beitrag ja in den Workshop-Bereich verschoben, daher zitiere ich hier eine von ihm genannte Folge:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac 54 a_n-\frac 14 a_{n-1}+\left(-\frac 14\right)^n,~a_0:=0,~a1:=1 \end{eqnarray*}$

und schließe die Lücke hinsichtlich der Frage nach dem Grenzwert.

Offensichtlich Augenzwinkern

hat diese Folge die explizite Darstellung:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{16}{15}\left(1-\left(\frac 14\right)^n\right)+\frac 25\left(\left(\frac 14\right)^n-\left(-\frac 14\right)^n\right) \end{eqnarray*}$

welche nun neben der Konvergenz auch den Grenzwert offenbart.

Mein eigentliches Anliegen ist es aber darauf hinzuweisen, dass höchstens für rekursive Folgen bestimmter Bauart (und daraus resultierenden bestimmten Eigenschaften), allgemeine Verfahren zur Konvergenzuntersuchung angegeben werden können.

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