Gauss-Legendre-Formel, Frage zur Intervalltransformation

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
Gauss-Legendre-Formel, Frage zur Intervalltransformation
Hallo alle zusammen,
ich muss mit Matlab die Gauss-Legendre-Formeln programmieren. Ich wollte erstmal fragen, ob meine vorgehensweiße bisher stimmt, weil ich das noch nicht 100%ig verstanden habe.

Also, Schritt für Schritt macht mein Programm für die m-te Formel folgendes:

1. wobei

2. Eigenwerte und Eigenvektoren mit dem Matlab Befehl eig berechnen lassen

3. Gewichtevektor anlegen mit wobei den ersten Eintrag des Eigenvektors zum i-ten Eigenwert bezeichnet und den kompletten Vektor.

4. Formel berechnen: wobei die den i-ten Eigenwert bezeichnet.

So, ich hoffe, dass das so stimmt. Ich habe mal ein paar Funktionen eingegeben und das Integral stimmt, also auf dem Intervall .

Jetzt muss das aber für alle Intervalle funktionieren. Dazu hab ich eine weiter Function geschrieben, die obiges Verfahren auf anwendet und das Ergebnis noch mit multpliziert. Da kommt auch das richtige Ergebnis raus, aber ich frage mich, was mit den Gewichten ist. bleiben die gleich? Wenn nicht, wie mache ich das richtig???

Brauche dringend eine Antwort ^^ Geht nämlich um meine Klausurzulassung -.-

LG
Hamsterchen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauss-Legendre-Formel, Frage zur Intervalltransformation
1. Der Grundtyp ist Summe aus gewichteten Funktionswerten

Zitat:
och mit multpliziert. Da kommt auch das richtige Ergebnis raus, aber ich frage mich, was mit den Gewichten ist. bleiben die gleich? Wenn nicht, wie mache ich das richtig???


So, die Funktionswerte hast du angepasst. Woher kommt der Faktor 0.5(b-a) und wie begründest du, dass in dieser Formel die Gewichte unverändert sind?
 
 
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hallo tigerbine,
also ich muss ehrlich sein, ich hab mir nicht so viele gedanken gemacht woher die formeln kommen weil es mir gerade mehr darum geht, dass es einfach nur stimmt. wie gesagt, es geht um die zulassung...

also der faktor (b-a)/2 hab ich halt aus einer formel von wikipedia. ich hab das ja so gemacht, dass die eine function das integral von -1 bis 1 berechnet und ich nehme dann diese gewichte, die dabei rauskommen. am ende tu ich dann einfach diese formel für das andere intervall anwenden, aber den w-vektor lasse ich ja unverändert.

auf dem aufgabenblatt haben wir noch den hinweis: .

könntest du mir sagen, was genau ich mit dem w-vektor machen muss???
und stimmt der rest, den ich gemacht habe?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also ich muss ehrlich sein, ich hab mir nicht so viele gedanken gemacht woher die formeln kommen


Tja, das ist aber dann grob fahrlässig. Ist alles was du geschrieben hast nur aus Wikipadia?

[WS] Orthogonale Polynome

Tabellierte Gewichte gehören immer zu einem Grundintervall. Daher kann es von Buch zu Buch abweichen. Nun muss man die Formeln einer Koordinatentransformation unterziehen. Das ist bei jeder Formel so. Daher hier ein durchgerechnetes Beispiel:

[WS] Numerische Integration - Theorie

Daher stammt das (b-a) in entsprechender Form. Nun sollte dir aber klar sein, dass damit die Gewichte umgerechnet werden. Du musst dir hier
[WS] Numerische Integration - Theorie

also eine entsprechende Funktion bauen und dann erklärt sich auch (b-a)/w und nichts ist mehr zu tun.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi tigerbine,
nein ich habe nur die intervall formel aus wikipedia. alles andere habe ich mir in einem numerik buch durchgelesen und auch alles auf ein paar seiten zusammen gefasst. ist ja nicht so, dass ich gaaar keine ahnung habe, ich hab mir die sachen nur nicht so detailliert angeschaut.

ich werde mir dann jetzt mal deine links durchlesen und mich dann nochmal melde. danke schön
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nur die Erfahrung die sagt, dass man gerade bei diesen Formeln sehr ins Kleingedruckte schauen muss. Unterschiedliche Bücher, unterschiedliche Grundintervalle, andere Gewichte. Alles richtig, aber nicht beliebig austauschbar.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi tigerbine,
numerik ist voll dein ding, oder? so viele workshops und auf jede frage hast du ne antwort parat, nicht schlecht =) find ich voll gut, dass du dir so viel mühe gibst Freude

wieder zum thema: also ich muss ja so eine transformationsfunktion finden, die das ganze dann wieder auf das grundintervall von -1 bis 1 zurückführt.
in deinem thread steht ja , wenn man 0 einsetzt kommt a raus und bei 1 kommt b raus, klingt also sehr logisch ^^ aber ich sehe noch nicht so ganz, wie das mit meiner formel aus wikipedia zusammenhängt.

mal kurz zum verständnis: meine knoten für die integralapproximation sind die nullstellen der legendrepolynome, die man als eigenwerte der genannten jacobimatrix erhält. das gilt aber nur für das grundintervall. um das ganze auf allgemeint intervalle auszudehnen, benötigt man eine transformation, richtig?
dabei müssen die knoten sowie die gewichte verändert werden. soweit ich das verstanden habe, werden die knoten so verändert: ,oder?

kann ich das so schreiben:

und damit muss ich jedes einfach nur mit multiplizieren?


edit: die formel aus wikipedia ist ja eigentlich wie deine formel, nur dass ich die intervallgrenzen -1 bis 1 und nicht 0 bis 1 habe, das heißt, bei mir muss und sein. daher kommt die formel, oder?

nochmal edit: jetzt weiß ich auch, woher der vorfaktor kommt, das ist einfach phi abgeleitet xD
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
in deinem thread steht ja , wenn man 0 einsetzt kommt a raus und bei 1 kommt b raus, klingt also sehr logisch ^^


Das klingt nicht nur logisch, das ist logisch. Was war das Grundintervall, dass ich auf [a,b] transformiert habe?

Wie muss man sich die Funktion anpassen, damit eben gilt ?

Zitat:



Warum sollte das gelten? Die Rechnung bist du schuldig geblieben.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

tigerbine,
ließ bitte meine edits oben, stimmt das?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

erfüllt die Bedingung.






Und wir erhalten schließlich, da auch hier nur ein konkstanter Faktor:



edit:

Deine Gleichung stimmt aber nicht. Denn du wechselst einfach mit "=" zwischen exaktem Integral und Näherungsformel.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi tigerbine,
dein phi ist doch genau das selbe phi wie in wikipedia, nur anders aufgeschrieben, also hab ichs doch eigentlich kapiert, oder?
meine frage wäre jetzt nur noch, ob ich meine gewichte w einfach nur mit multiplizieren kann. also ob das dann auch stimmt. oder muss ich das phi auch auf die gewichte anwenden? mit meiner gleichunskette oben hab ich ja dann , das heißt doch dann eigentlich, dass meine neuen einfach sind, oder?

hätte noch eine kleine frage: ich würde das ganze gerne plotten, so als zusatz. dachte mir, dass man irgendwie 2 plots macht, einmal mit der funktion auf dem intervall [a,b] und die knoten einzeichnen und dann einen plot, der das ganze auf das intervall [-1,1] einzeichnet. was hälst du davon? hättest du noch andere ideen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Warum haben wir die Umrechnung gemacht?



Links suchst du, rechts hast du. Damit ist doch eigentlich alles gesagt? wie bekommen wir also eine Näherungsformel für die linke Seite?



mit und t_j als Nullstellen des LG-Polynoms <=> Eigenwerte der Matrix (nach Golub&Welsh) Wenn man wieder nur eine typische Summe sehen will, substituiert man halt noch, indem man den Faktor in die Summe zieht.



Ist ein plot verlangt? Wenn nicht, ist es Spielerei und steht dir frei. Vielleicht sollte man die Zeit aber auch sinnvoller investieren. Und was willst du PLotten? Die Lage der Nullstellen für ein bestimmes n?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

deine gleichung verstehe ich ja, ich möchte doch blos von dir wissen, ob meine überlegung stimmt, dass ich meine neuen gewichte durch multiplikation mit (b-a)/2 bekomme. weil wir die gewichte ja ausgeben müssen, und ich würde da schon gerne die richtigen haben.
ich hab das grad mal in matlab so eingegeben und meine neuen gewichte sind in der summe genau der abstand der intervallgrenzen, so soll es ja auch sein. und das integral stimmt auch. ich hätte nur gerne von dir noch eine bestätigung.

ein plot ist nicht verlangt, aber ich dachte mir, es wäre ja nicht schlecht. da du so viel erfahrung mit numerik und matlab hast, dachte ich, du hast vielleicht noch eine gute idee wie man das schön plotten kann. was hälst du für am sinnvollsten?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sagte doch, dass man den Faktor in die Summe zieht. Und dann wird jedes Gewicht mit 0.5(b-a) multipliziert.

Zitat:

ein plot ist nicht verlangt, aber ich dachte mir, es wäre ja nicht schlecht. da du so viel erfahrung mit numerik und matlab hast, dachte ich, du hast vielleicht noch eine gute idee wie man das schön plotten kann. was hälst du für am sinnvollsten?


Ich habe aber auch noch andere Dinge zu tun. Und das ist Spielerei. Augenzwinkern Du kannst sie dir auf dem Zahlenstrahl mit markiert ausgeben lassen. Z.B. mit nem bunten Kreis drum. Muss halt groß genug von der Auflösung der, damit man sie auch separiert erkennt für größere n.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ich will nicht, dass du mir erklärst, wie ich das plotten soll ^^ ich wollte nur wissen, WAS am sinnvollsten wäre. Also ob du es gut findest, 2 Plots, einmal mit intervall ab und einmal mit -1 1. aber da du nix dagegen gesagt hast, kann es ja keine so schlechte idee sein ^^
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst plotten was du magst. Wenn es nicht verlangt ist, wird es in die Bewertung der Aufgabe nicht eingehen. Wenn du Zeit dafür hast, mach es, wenn es dir Spass macht. Oder wäre es sinnvoller, für die Klausur zu lernen. Das meinte ich damit. Augenzwinkern

Wink
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja das mit der klausur stimmt schon, aber heute abend noch anfangen? bin ja grad so gut dabei in matlab ^^ aber ich muss erstmal die fehler noch plotten, weiß leider grad net, mit welchem plot man am meisten erkennt. weißt du das zufällig? ^^ geht um mittelpunkt, trapez, simpson und gauss-legendre verfahren, absoluter fehler für m=1:100 für die funktion e^{-x^2} von 0 bis 1.

danke übrigens für deine hilfe. hast mir mal wieder sehr geholfen, vor allem fürs verständnis.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Frage verstehe ich nicht. Der Fehler ist eine konkrete Zahl, was willst du da plotten?

Ich klinke mich nun aber auch aus, da ich wie angekündigt noch anderes zu tun habe und wir den Zulassungsteil erledigt haben. Wink
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja kein problem. um deine frage noch zu beantworten:
wir habe oben erwähnte funktion und das integral von 0 bis 1 wird mit den 4 verschiedenen verfahren angenähert.
bei jedem verfahren gibt man ja die anzahl der stützstellen ein und für jede zahl ist das ergebnis ja etwas anders. und dann schaut man sich die differenz zum richtigen ergebnis an und plottet dann das ganze für jede anzahl an stützstellen. joa, nur bei mir fängt der plot auf der y-achse bei 0,7 an und die linke untere ecke, die ja wichtig ist, ist total klein. dann sieht man gar nix...
aber das schaff ich schon irgendwie ^^ gute nacht und danke nochmal

lg
hamsterchen
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