Kettenregel zur Bildung der 1. Ableitung

17.07.2011, 07:39

Meisel

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Kettenregel zur Bildung der 1. Ableitung

Meine Frage:
Hallihallo! Big Laugh

Big Laugh

Muss wirklich mal nebenbei erwähnen, dass ich Ableitung gar nicht mag... besonders diejenigen mit integrierter Wurzel...

Also:

f(x) = x²-1/Wurzel x²+1

Meine Ideen:
f(x) = x²-1/Wurzel x²+1

u = x²-1
u'= 2x
v = Wurzel x²+1

Frage: Was ist bei der Wurzel die innere bzw. die äußere Ableitung??

Ohne die Info bleib ich hier regelrecht hängen...

17.07.2011, 07:52

tyger

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Kettenregel
Hallo,

wie schon an anderer Stelle gesagt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+1}= (x^{2}+1)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
Was glaubst du kann innere und was äußere Ableitung sein?

19.07.2011, 17:35

Meisel

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RE: Kettenregel
f(x) = x²-1/Wurzel x²+1

u = x²-1
u'= 2x
v = Wurzel x²+1
v'=(x²+1)^1/2

f'(x) = (x²-1) * 2x - (x²+1)^1/2 / (x²-1)²

f'(x) = 2x³-2x - (x²+1)^1/2 / (x²-1)²

Könnte das richtig sein?

19.07.2011, 18:54

Meisel

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Hier habe ich noch eine Lösungsmöglichkeit ausprobiert:

f(x) = x²-1/Wurzel x²+1

u = x²-1
u'= 2x
v = Wurzel x²+1
v'=1/2*2x(x²+1)^-1/2

f'(x) = 2x *(x²-1) - (x²-1)*1/2*2x(x²+1)^-1/2 / (x²-1)²

f'(x) = 2x³-2x - (x²-1)*x(x²+1)^-1/2 / (x²-1)

19.07.2011, 19:00

tyger

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kettenregel
Wenn ich das richtig verstehe,sind alle angegebenen Lösungen falsch.
Sag mir doch mal welche Regel du warum anwendest?

19.07.2011, 19:13

Meisel

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RE: kettenregel
Für mich sieht die Funktion auf den ersten Blick nach einer Quotientenregel aus, die besagt, dass

f(x) = u(x)/v(x)
f'(x) = u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x) / [v(x)]²

sein soll.

Genau diese Regel wollte ich anwenden indem:

f(x) = x²-1/Wurzel x²+1

u = x²-1
u'= 2x
v = Wurzel x²+1
v'= (x²+1)^1/2 --> kettenregel: 1/2*2x*(x²+1)^-1/2

Danach einsetzen:

f'(x) = (x²-1)*(2x) -- ??? hier weiß ich nicht mehr weiter unglücklich

unglücklich

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19.07.2011, 19:24

tyger

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kettenregel
Wenn ich das richtig sehe,beschäftigst du dich mit mehreren Aufgaben quasi
gleichzeitig.Vielleicht sollten wir eine nach der anderen besprechen?

19.07.2011, 19:37

Meisel

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RE: kettenregel
jap, bin etwas in Zeitdruck, da die Ferien hier in RLP bald zu Ende sind... muss viel Stoff nachholen... unglücklich

unglücklich

Dann bleib ich erst mal bei dieser Aufgabe, es sieht so aus, als ob ich an dieser am meisten zu Beißen habe :-/

19.07.2011, 19:52

tyger

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kettenregel
Ich habe das Gefühl , dass bei dieser Aufgabe die Anwendung der Quotientenregel Brüche erzeugt,die sehr schwer zu handhaben sind.Lass es uns doch mal mit der Produktregel
versuchen.
u=x^2-1
v=1/((x^2+1)^1/2)...

19.07.2011, 19:57

tyger

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kettenregel
verbessern:
v= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x^2+1} } \end{eqnarray*}$

20.07.2011, 08:01

Meisel

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RE: kettenregel
Langsam Big Laugh

Big Laugh

Also:

u = x²-1
v= 1/Wurzel x²+1
u'= 2x
v' =2x/Wurzel x²+1

Produktregel:

u(x)*v'(x) + u'(x)*v(x)

(x²-1)*(2x/Wurzel x²+1) + 2x*(1/Wurzel x²+1)

20.07.2011, 08:21

Meisel

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Ooh =.= hab bemerkt, dass ich bei der Ableitung einen Fehler gemacht habe

u = x²-1
v= 1/Wurzel x²+1
u'= 2x
v' =2x * 1 /2 Wurzel x²+1 = 2x/2 Wurzel x²+1 --> die 2 wegstreichen
x/Wurzel x²+1

(x²-1)*x/Wurzel x²+1 + 2x*1/Wurzel x²+1

20.07.2011, 08:23

klarsoweit

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RE: kettenregel

Zitat:

Original von Meisel
Für mich sieht die Funktion auf den ersten Blick nach einer Quotientenregel aus, die besagt, dass

f(x) = u(x)/v(x)
f'(x) = u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x) / [v(x)]²

sein soll.

Genau diese Regel wollte ich anwenden indem:

f(x) = x²-1/Wurzel x²+1

u = x²-1
u'= 2x
v = Wurzel x²+1

Du gehst ziemlich chaotisch vor. Für mich war dies noch am richtigsten, wobei man noch ordentlich Klammern setzen müßte. Also:

f'(x) = (u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)) / [v(x)]²

f(x) = (x²-1) / Wurzel(x²+1) bzw. $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt bestimme mal von $\begin{eqnarray*} v(x) = \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ die Ableitung.

20.07.2011, 10:47

Meisel

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Jaja... die chaotische Vorgehensweise hat mir mein letzter Mathelehrer beigebracht... Big Laugh

Big Laugh

... bin ja dabei mich zu verbessern :P

u = x²-1
u' = 2x

v = Wurzel x²+1

v' = (x²+1)
=1*(x²+1)*2x
=2x*1/Wurzel x²+1
=2x/2 wurzel x²+1

v' =x/ Wurzel x²+1

verwirrt

verwirrt

20.07.2011, 11:19

klarsoweit

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Das Ergebnis ist zwar richtig, aber dieses:

Zitat:

Original von Meisel
v' = (x²+1)
=1*(x²+1)*2x
=2x*1/Wurzel x²+1
=2x/2 wurzel x²+1

ist einfach nur Humbug.

21.07.2011, 07:09

Meisel

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joa... Humbug Big Laugh

Big Laugh

Hauptache ich bin auf das korrekte Ergebnis gekommen smile

smile

Nun ja, das waren meine Zwischenschritte Big Laugh

Big Laugh

Aber bin trotzdem froh, dass das Ergebnis richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun haben wir:

u = x²-1
u' = 2x
v = Wurzel x²+1
v'=x/ Wurzel x²+1

So, welche Regel muss ich jetzt verwenden?? Quotientenregel oder Produktregel?? Wie gesagt, für mich sieht die Aufgabenstellung nach einer Quotientenregel aus...

f'(x) = (u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)) / [v(x)]²

((x²-1)*(x/Wurzel x²+1) - (2x)*(Wurzel x²+1)) / [(Wurzel x²+1)]²

21.07.2011, 08:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Meisel
So, welche Regel muss ich jetzt verwenden?? Quotientenregel oder Produktregel?? Wie gesagt, für mich sieht die Aufgabenstellung nach einer Quotientenregel aus...

In der Tat. Bei einem Quotienten nimmt man ... ja was wohl? Ja logisch, die Quotientenregel, was sonst?

Zitat:

Original von Meisel
f'(x) = (u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)) / [v(x)]²

((x²-1)*(x/Wurzel x²+1) - (2x)*(Wurzel x²+1)) / [(Wurzel x²+1)]²

Die Regel also solche hast du richtig hingeschrieben, aber beim Einsetzen der Funktionen hast du keine glückliche Hand. unglücklich

unglücklich

21.07.2011, 18:40

Meisel

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Das war heute Morgen als ich den Beitrag geschrieben habe... also etwas Nachsicht smile

smile

Habe die Fehler nämlich entdeckt... hoffe ich zumindest :P

u = x²-1
u' = 2x
v = Wurzel x²+1
v'=x/ Wurzel x²+1

f'(x) = (u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)) / [v(x)]²

((2x)*(Wurzel x²+1) - (x²-1*x/Wurzel x²+1)) / [(Wurzel x²+1)]²

21.07.2011, 22:07

Meisel

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och neee

unglücklich

das war ja das gleiche wie oben, nur anders rum geschrieben unglücklich

unglücklich

ich weiß wirklich nicht was ich beim einsetzen falsch mache unglücklich

unglücklich

22.07.2011, 08:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Meisel
ich weiß wirklich nicht was ich beim einsetzen falsch mache unglücklich

unglücklich

Gar nichts, denn diesmal ist es richtig. Es ist nun mal ein Unterschied, ob man 5 - 3 schreibt oder 3 - 5.

Trotzdem kann eine konsequente Klammersetzung nicht schaden:
((2x)*(Wurzel x²+1) - ((x²-1)*x/Wurzel x²+1)) / [(Wurzel x²+1)]²

oder noch besser: $\begin{eqnarray*} \frac{2x \cdot \sqrt{x^2+1} - (x^2-1) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{(\sqrt{x^2+1})^2} \end{eqnarray*}$

Womit wir wieder beim Thema Latex sind. smile

smile

22.07.2011, 12:00

Meisel

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Ja stimmt... ist tatsächlich ein Unterschied, ob man will oder nicht... wäre mir in dem Fall aber nicht aufgefallen, zum Glück achte ich jetzt besser drauf smile

smile

wenn Du mir verrätst wie ich das mit Latex genau und konsequent hinkriege ohne Zeit zu verschwenden... weil ich mich, wie erwähnt, in Zeitdruck befinde smile

smile

Das ich auf den Formaleditor muss, weiß ich, aber wie funktioniert das mit der Klammer usw. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bis dahin bleib ich besser bei der Normalform...

((2x)*(Wurzel x²+1) - ((x²-1)*x/Wurzel x²+1)) / [(Wurzel x²+1)]²

Nur noch zusammenfassen:

((2x)*(Wurzel x²+1) - ((x³-x)/Wurzel x²+1)) / [(Wurzel x²+1)]²

Wusste nicht wie ich 2x*Wurzel x²+1 multiplizieren sollte verwirrt

verwirrt

22.07.2011, 12:10

Meisel

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Um nochmal zu Latex zurück zu kommen, wenn ich z.B. die Aufgabe so eingebe:

$\begin{eqnarray*} ((2x)*(\sqrt x²+1) - ((x²-1)*x/\sqrt x²+1)) / [(\sqrt x²+1)]² \end{eqnarray*}$

kommt Krütze raus... das sieht nämlich nicht so präzise aus, wie bei dir... oder liegt's an der Klammersetzung??

22.07.2011, 12:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Meisel
Wusste nicht wie ich 2x*Wurzel x²+1 multiplizieren sollte verwirrt

verwirrt

Das würde ich auch so stehen lassen. Den Nenner kannst du noch vereinfachen: Wurzel(...) zum Quadrat ergibt?

Zitat:

Original von Meisel
wenn Du mir verrätst wie ich das mit Latex genau und konsequent hinkriege ohne Zeit zu verschwenden.

Klicke bei meinem Beitrag auf "Zitat" und du bekommst den Code. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.07.2011, 12:18

Meisel

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Neee Latex ist mir zu kompliziert Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x²+1})² = \sqrt{x²+1} + \sqrt{x²+1} \end{eqnarray*}$

In dem Fall könnte ich doch eigentlich den Nenner von x³-x streichen, oder?

verwirrt

verwirrt

22.07.2011, 12:37

Meisel

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$\begin{eqnarray*} (2x)*(\sqrt{x²+1}) - (x³-x) / (\sqrt{x²+1})² \end{eqnarray*}$

22.07.2011, 13:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Meisel
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x²+1})² = \sqrt{x²+1} + \sqrt{x²+1} \end{eqnarray*}$

Räusper. Ist 3² = 3 + 3 oder = 3 * 3 ?

Zitat:

Original von Meisel
In dem Fall könnte ich doch eigentlich den Nenner von x³-x streichen, oder?

Wieso?

verwirrt

22.07.2011, 20:29

Meisel

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3² = 3*3 ... das + war wahrscheinlich ein Schreibfehler, t'schuldigung

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x²+1})² = \sqrt{x²+1} * \sqrt{x²+1} \end{eqnarray*}$

Ich würde es kürzen, weil ich es im Hautnenner der Funktion schon enthalten ist.

Oder soll ich die Funktion so stehen lassen? Sieht für mich etwas ungewöhlich aus, wenn ich in der Funktion einen Bruch im Bruch habe...

22.07.2011, 20:35

Meisel

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Andernfalls sieht es so aus:

((2x)*(Wurzel x²+1) - (x³-x)/(Wurzel x²+1)) / (Wurzel x²+1)*(Wurzel x²+1)

Also Bruch im Bruch verwirrt

verwirrt

25.07.2011, 08:19

klarsoweit

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Das ist zwar auch richtig, aber ich wollte auf dieses hinaus:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt a )^2 = a \end{eqnarray*}$
Und das paßt doch schön auf den Nenner. smile

smile

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