a0 ist Einheit <=> f=a0+a1X+a2X²+ .... eine Einheit ist

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17.07.2011, 11:28	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
a0 ist Einheit <=> f=a0+a1X+a2X²+ .... eine Einheit ist Meine Frage: Hallo ! Ich habe morgen meine Analysis Klausur und diese Aufgabe verstehe ich einfach nicht - bitte schnelle Hilfe a0 ist eine Einheit ( es ex also ein mult. inverses ) also ist f= a0 + a1X +a2X² + ..... auch eine Einheit Meine Ideen: $\begin{eqnarray} " => "a_{0} ist einheit d.h. es ex a_{0}^{-1} mit<br /> a_{0} \times a_{0}^{-1} =1 <br /> also nehmen wir an es ex f^(-1)f = 1 <br /> wir def . f= \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} X^{k} <br /> f^{-1}= \sum\limits_{k=1}^\infty b_{k} X^{k}<br /> laut cauchy produkt ist das : <br /> \sum\limits_{k=0}^\infty ( \sum\limits_{j=0}^k a_{j} a_{j-k} ) X^{k} <br /> wenn wir das 1te glied rausziehen : <br /> \sum\limits_{k=0}^\infty ( a_{0}b_{k} + \sum\limits_{j=1}^k a_{j} b_{j-k} ) X^{k}<br /> jetzt wähle ich laut lsg b_{k} so dass das ganze innere zeugs null wird<br /> und jetzt das problem <br /> \sum\limits_{k=0}^\infty ( 0 ) X^{k} = 1 ?????<br /> \end{eqnarray}$
17.07.2011, 12:03	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: a0 ist Einheit <=> f=a0+a1X+a2X²+ .... eine Einheit ist $\begin{eqnarray} \Rightarrow a_{0} \end{eqnarray}$ ist einheit d.h. es ex $\begin{eqnarray} a_{0}^{-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{0} \times a_{0}^{-1} =1 \end{eqnarray}$ also nehmen wir an es ex $\begin{eqnarray} f^(-1)f = 1 \end{eqnarray}$ wir def . f= $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} X^{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{-1}= \sum\limits_{k=0}^\infty b_{k} X^{k} \end{eqnarray}$ laut cauchy produkt ist das : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty ( \sum\limits_{j=0}^k a_{j} a_{j-k} ) X^{k} \end{eqnarray}$ wenn wir das 1te glied rausziehen : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty ( a_{0}b_{k} + \sum\limits_{j=1}^k a_{j} b_{j-k} ) X^{k} \end{eqnarray}$ jetzt wähle ich laut lsg $\begin{eqnarray} b_{k} \end{eqnarray}$ so dass das ganze innere zeugs null wird und jetzt das problem $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty ( 0 ) X^{k} \end{eqnarray}$ = 1 ?
17.07.2011, 12:07	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist unklar. In welchem Ring bewegen wir uns? R[X] für einen Ring R? Wie soll dann X^2+1 eine Einheit sein?
17.07.2011, 12:17	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
wir sind in R[[X]] und gemeint habe ich folgende frage ist a_0 einheit dann ist auch $\begin{eqnarray} f=a_{0}+a_{1}X^{1}+a_{2}X^{2}+... \end{eqnarray}$
17.07.2011, 12:39	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Wo ist dann das Problem? $\begin{eqnarray} b_0 = a_0^{-1} \end{eqnarray}$ und dann für alle weiteren b_k wählt man $\begin{eqnarray} b_k = -a_0^{-1}\sum_{j=1}^k a_jb_{k-j} \end{eqnarray}$
17.07.2011, 12:42	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau ... aber ist das produkt dann nicht 0 insgesamt ? müsste es nicht 1 sein um eine einheit zu sein ?
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17.07.2011, 12:53	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der Koeffizient vor X^0 ist doch a_0*b_0. Der wurde also so gewählt, dass er 1 ist. Die restlichen Koeffizienten wurde zu 0 gewählt.
17.07.2011, 13:14	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
aber ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty(a_{0}a_{0}^{-1}(-1)\times \sum\limits_{j=1}^k a_{j} a_{k-j} + \sum\limits_{j=1}^k a_{j} a_{k-j} ) X^{k} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty(-1)\times \sum\limits_{j=1}^k a_{j} a_{k-j} + \sum\limits_{j=1}^k a_{j} a_{k-j} ) X^{k} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (-\sum\limits_{j=1}^k a_{j} a_{k-j} + \sum\limits_{j=1}^k a_{j} a_{k-j} ) X^{k} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (0 ) X^{k} \end{eqnarray}$
17.07.2011, 13:25	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umformung mit <=> sind ja echt schlimm Und diese Umformung gilt erst ab k>=1. Schau dir mal den Fall k=0 an.
17.07.2011, 13:37	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also heißt das für : k=0 : 1 k=1: 0 k=2: 0 ..... 1+0+0+....=1 ? wie hätte ich das denn besser umformen können ?
17.07.2011, 13:57	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung immer mit =, nicht mit <=>. Dort steht ein Term und keine Aussage. Sonst passt ja jetzt alles.
17.07.2011, 14:01	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für die hilfe ! hat mich total gequält

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