Fußball Beweis, Lage von Punkten auf einer Kugel

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Martin L Auf diesen Beitrag antworten »
Fußball Beweis, Lage von Punkten auf einer Kugel
Hey,

ich suche einen Beweis bzw. die richtige Bezeichnung für das Problem.

Jemand hat mir mal erzählt, wenn man einen Fußball auf den Anstoßpunkt legt und die Oberfläche des Balles als unendlich viele Punkte betrachtet und dann mit dem Ball Fußball spielt und nach dem Spiel den Ball wieder auf den Anstoßpunkt legt, dann sind mindestens 2 Punkte an der selben Stelle an der sie vor dem Spiel waren.

Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich würde gerne rein aus Interesse mal in den Beweis schauen.

Gruß
Martin
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Von der Lage des Balles vor dem Spiel zur Lage nach dem Spiel kommt man durch eine lineare Abbildung mit (man kann den Ball bloss drehen und nicht spiegeln).

Nun kann man sich mal über Eigenvektoren von solchen A Gedanken machen.

Wink

Dieses Beispiel ist soviel mir ist in Lineare Algebra von Fischer zu finden.
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Vorausgesetzt der Mittelpunkt der Kugel befindet sich wieder an derselben Stelle, sind es entweder genau zwei gegenüberliegende Punkte oder alle Punkte der Oberfläche, die sich am selben Ort wie vorher befinden.
Wenn der Mittelpunkt unverändert ist, ist die einzige Operation, durch die der Ball von der Ausgangslage in die Endlage überführbar ist, eine Drehung um eine Achse, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht. Dabei bleiben die beiden Punkte, an denen die Drehachse die Oberfläche durchstößt, unverändert. Alle anderen Punkte wurden bewegt. Einzige Ausnahme: Die Anfangs- und Endlage sind identisch. In diesem Fall befinden sich natürlich alle Punkt dort wo sie vorher waren.
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz blicke ich noch nicht durch. Man kann den Ball ja nicht nur vor und zurück rollen, sondern auch erst mal vor, dann nach rechts, dann zurück, dann nach halblinks, dann links, dann hoch.

Dabei hat man ja immer unterschiedliche Drehachsen. Also so ganz klar ist mir noch nicht, warum immer mindestens 2 Punkte an der gleichen Position wie vorher sind.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dabei hat man ja immer unterschiedliche Drehachsen. Also so ganz klar ist mir noch nicht, warum immer mindestens 2 Punkte an der gleichen Position wie vorher sind.


Das ist gerade der entscheidende Punkt. Jede Drehung um verschiedene Achsen kann man genauso gut erreichen, indem man den Ball nur um eine Achse dreht.

Oder anders: Sei eine solche Drehung.

Das charakteristische Polynom von A hat Grad 3, und deshalb mindestens eine reelle Nullstelle. D.h. es gibt einen (oBdA normierten) Eigenvektor von A. Erweitert man zu einer ONB von , so hat die Matrix A in dieser Basis die Gestalt



wobei noch unbestimmt sind und der Eigenwert zu ist. Nun gilt jedoch



Folglich . Nun kann man die beiden Fälle unterscheiden.

Falls , folgt daraus, dass auf sich selbst abgebildet werden und daraus die Aussage über den Ball.

Falls , muss



sein. Doch dann zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren (das zu zeigen, überlasse ich dir) und wegen


sind die anderen Eigenwerte -1 und +1. D.h. es gibt wiederum einen Eigenvektor, der auf sich selbst abgebildet wird.

Analysiert man das ganze noch ein bisschen genauer, so kann man alle möglichen A (modulo Basiswechsel) in einer schönen Formel hinschreiben (insbesondere sieht man dann, dass A eine Drehung um eine Achse sein muss.
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

so, der reihe nach. Ich erinnere mich nicht, dass wir in der Vorlesung schon gezeigt haben, dass reelle Polynome vom Grad 3 immer mindestens eine reelle Nullstelle haben.

Ich hab mir dahingehend folgendes überlegt:

Wenn das Polynom die Form: hat, dann ist es auf jeden Fall schon mal stetig.

Wenn man jetzt x gegen unendlich laufen lässt, dann müsste sich das Polynom ja abschätzen lassen durch zumindest was das Vorzeichen des Ergebnisses angeht.

wenn aber dann a negativ ist, dann geht das Polynom wenn x gegen plus unendlich läuft gegen minus unendlich und wenn x gegen minus unendlich läuft gegen plus unendlich.
Wenn aber dann a positiv ist, dann geht das Polynom für x gegen plus unendlich gegen plus unendlich und für x gegen minus unendlich gegen minus unendlich.

Damit haben wir Werte im Positiven und Werte im Negativen und mit dem Zwischenwertsatz von Bolzano folgt dann die Nullstelle.

Kann man das so sagen? Ich denke mal die einzige Schwachstelle ist die Abschätzung des Polynoms durch den Ausdruck mit dem höchsten Exponenten.

Dafür müsste man denke ich genau genommen noch zeigen, dass ist oder? Wenn das nämlich gilt, dann ist es ja für das Vorzeichen des Polynoms egal, wie der hintere Teil des Polynoms aussieht wenn x nur groß genug gewählt wird.
Müsste also funktionieren.

Den Rest schau ich mir morgen an.

Bzw so viel ist es ja nicht mehr.

Erst zeigen, dass beliebige Drehungen sich auch durch eine Drehung darstellen lassen, was ja nicht schwer sein dürfte. Immerhin ändert sich ja am Objekt nichts, außer dass es gedreht wird.
Joa und der Rest ist ja wenn ich das richtig verstanden habe nur noch der Schritt zu zeigen, dass die beiden Punkte am Ende der Drehachse ihre Position nicht verändert. Das ist ja intuitiv schon klar und du hast es ja auch hingeschrieben.

Gruß
Martin
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Kann man das so sagen? Ich denke mal die einzige Schwachstelle ist die Abschätzung des Polynoms durch den Ausdruck mit dem höchsten Exponenten.

Dafür müsste man denke ich genau genommen noch zeigen, dass ist oder? Wenn das nämlich gilt, dann ist es ja für das Vorzeichen des Polynoms egal, wie der hintere Teil des Polynoms aussieht wenn x nur groß genug gewählt wird. Müsste also funktionieren.


Genau richtig.

Der Rest hängt natürlich davon ab, wieviel lineare Algebra ihr schon hattet...
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum so kompliziert?

Jede Bewegung, die der Ball während des Spiels vollführt, kann als Hintereinander-Ausführung von Verschiebungen und Rotationen dargestellt werden. Da der Ball (genauer: sein Mittelpunkt) am Ende genau dort liegen soll wo er am Beginn lag, addieren sich alle Verschiebungen insgesamt zum Nullvektor. Das heißt: Man kann sie ganz aus unseren Betrachtungen herausnehmen.

Bleiben also endlich viele Drehungen um Achsen, die alle durch den Mittelpunkt des Balls gehen.

Jede beliebige Drehung im dreidimensionalen Raum kann durch eine 3x3-Matrix dargestellt werden. Führt man zwei Drehungen hintereinander aus, ist das durch das Produkt der beiden Matrizen, die die beiden Einzeldrehungen repräsentieren, darstellbar. (Das ist Schulstoff, sollte also jedem Hochschüler bekannt sein)

Diese Ersatz-Drehung der ersten beiden Drehungen kann ich mit der dritten Drehung multiplizieren, und erhalte damit eine Matrix, die die Gesamtheit der ersten drei Drehungen darstellt. Auf diese Weise kann ich das Produkt über alle Dreh-Matrizen berechnen und erhalte am Ende eine einzige Matrix, die das Ergebnis aller Hintereinanderausführungen aller einzelnen Drehungen darstellt.

Wenn diese Gesamt-Drehmatrix zufällig die Einheitsmatix ist, heben sich alle Drehungen auf, und der Ball wurde in Summe nicht verdreht, und dann sind alle Punkte der Oberfläche genau an ihrem Anfangs-Ort.
Wahrscheinlicher ist aber, dass etwas anderes herauskommt. Die gesamthaft resultierende Drehmatrix hat dann einen Eigenvektor, der der Drehachse entspricht, und der Eigenwert dieses Eigenvektors ist exakt 1. Das heißt, dass alle Punkte, die auf der Drehachse liegen, auf sich selbst abgebildet werden. Für alle anderen Punkte trifft das nicht zu.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Warum so kompliziert?


Nun ja, liegt wohl im Auge des Betrachters...

Zitat:
Jede beliebige Drehung im dreidimensionalen Raum kann durch eine 3x3-Matrix dargestellt werden. Führt man zwei Drehungen hintereinander aus, ist das durch das Produkt der beiden Matrizen, die die beiden Einzeldrehungen repräsentieren, darstellbar. (Das ist Schulstoff, sollte also jedem Hochschüler bekannt sein)


Der Beweis dieser Tatsache (welcher zumindest in meiner Schulzeit nie angegriffen wurde) wäre wohl dann der "komplizierte Teil"...

Ich gebe dir natürlich Recht: Wenn man das voraussetzt ist es in der Tat offensichtlich.
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

Jo stimmt. Ich versuche es auch kleinschrittiger zu machen. Also erst mal die allgemeine Drehmatrix um beliebige Achsen herleiten. Dann zeigen, dass sich zwei beliebige hintereinander ausgeführte Drehungen immer durch eine Drehung um eine bestimmte Achse darstellen lassen und dann bin ich halt da wo du einsetzt, dann folgt das mit dem Eigenwert und dann ist man fertig.
MathOMan Auf diesen Beitrag antworten »
Verknüpfung von Drehungen
Hallo,

ich habe hier mal zwei einfache geometrische Beweise aufgeschrieben und auch Zeichnungen dazu erstellt:

mathoman.com/de/index.php/1538-zwei-anschauliche-beweise-des-satzes-vom-fussball

Beide sollten jedem Gymnasiasten zugänglich sein. Der zweite ist besonders elegant und zeigt noch viel mehr.
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