Diagonalmatrix berechnen - Trick bei 2x2 ?

18.07.2011, 09:30	Husif	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalmatrix berechnen - Trick bei 2x2 ? Meine Frage: Hallo zusammen, ich frage mich ob es einen Trick zum schnelleren bestimmen der Diagonalmatrix bei symmetrischen 2x2 Matrizen gibt. Grund dafür ist folgende Aufgabe: Gegeben sei das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass das Jacobi-Verfahren für dieses System zu jedem Startvektor x0 Element $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ 2 Meine Ideen: Das mache ich ja, in dem ich den Spektralradius von D^-1 (D-A) berechne und d.h. ich brauche die Diagonalmatrix D. Diese bestimme ich doch, in dem ich die Eigenwerte von A bestimme und diese auf die Diagonale schreibe, also (2- $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ )(1- $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ) - 1 => $\begin{eqnarray} \lambda 1,2 = 3/2 \pm (5/4)^(1/2) \end{eqnarray}$ Nur die Sache ist die, dass ich zu dieser Aufgabe eine vorgegebene Lösung habe, wo die Diagonalmatrix D einfach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Wie kann das sein? Mache ich was falsch oder wo ist der Haken? Würde mich freuen, wenn mir da jmd. helfen könnte. Grüße
18.07.2011, 19:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalmatrix berechnen - Trick bei 2x2 ? Die Konvergenzazssage trifft man entweder bzgl. des strikten Zeilensummen/Spaltensummenkriteriums bzgl A direkt, klappt hier aber nicht. Daher muss man sich die Iterationsmatrix anschauen [mit der ja dann die Fixpunktiteration durchgeführt wird] Beim Jacobi-Verfahren: $\begin{eqnarray} P =\text{diag}(A) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{(k+1)}=\underbrace{(I-P^{-1}A)}_{=:M}x^{(k)} +P^{-1} b \end{eqnarray}$ Hier also: $\begin{eqnarray} P^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0&-\frac{1}{2} \\1 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit komme ich mit den üblichen verdächtigen für induzierte Matrixnormen aber nur auf \|\|M\|\|=1 und das sichert keine Konvergenz. Da du eine Musterlösung hast, kannst du mal ehr von den Argumenten präsentieren?
18.07.2011, 19:46	Husif	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Lösung sieht so aus: "Es gilt $\begin{eqnarray} D^{-1} (D-A) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Eigenwerte lassen sich berechnen und es gilt $\begin{eqnarray} \| \lambda 1,2 \| = \| \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \| < 1 \end{eqnarray}$ Damit konvergiert das Jacobi-Verfahren für jeden Startwert x0 $\begin{eqnarray} \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ . Aber meine eigentlich Frage bezieht sich auf das aufstellen der Diagonalmatrix. Weil wenn ich die Eigenwerte der Matrix A berechne komme ich nicht auf 1 und 2, wie es in der Lösung steht.
18.07.2011, 20:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja auch nicht die gemäß Spektralsatz zu A gehörige Diagonalmatrix, sondern die zum Jacobi-Verfahren gehörige Konditionierungsmatrix. Die besteht aus der Diagonalen von A und ist mein P. Hat du einen Vorzeichenfehler bei dem 1/2 in deiner Endmatrix? So, nun sind die Eigenwerte von M betragsmäßig kleiner 1. Die Spektralnorm ist aber 1. Wie begründet ihr damit die Konvergenz? Man müßte wohl so vorgehen, dass man den Satz: zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ gibt es eine induzierte Matrixnorm $\begin{eqnarray} \\|A\\| \leq \rho(A)+\varepsilon \end{eqnarray}$ anwenden. Bzgl. dieser - Existenten aber in Gestalt so erst mal unbakannten Norm konvergiert das Verfahren dann [Fixpunktsatz Banach]
18.07.2011, 20:25	Husif	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein erster Satz hat mir nun mein Problem gelöst! Danke. Öhm nee habe keinen Vorzeichenfehler drinne. Also wir begründen die Konvergenz dadurch, wenn der Spektralradius von $\begin{eqnarray} D^{-1} (D-A) < 1 \end{eqnarray}$ ist. Und der Spektralradius ist doch der \| \| des größten Eigenwertes oder?
18.07.2011, 20:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich komme auf -0.5. Wichtiger ist, das was ich geschrieben habe, wie man den Spektralradius ausschlachtet, um an eine Norm zu kommen. Irgendwo müßt ihr ja begründet haben, warum das bei Radius kleiner 1 konvergiert.
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