Vektoren erzeugen Bild

18.07.2011, 22:40

Tarsuinn

Vektoren erzeugen Bild

Folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade:

Geben Sie eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} T: R^3->R^3 \end{eqnarray*}$ an, deren Bild durch die Vektoren $\begin{eqnarray*} (1; 2; 3)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (4; 5; 6)^T \end{eqnarray*}$ erzeugt wird.

Folgenden Weg habe ich mir nun überlegt:

$\begin{eqnarray*} T(x)=A(x)=\alpha (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(\vec{x} ) = \alpha_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \alpha_{2}\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 + 4\alpha_2 \\ 2\alpha_1 + 5\alpha_2 \\ 3\alpha_1 + 6\alpha_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ax_1 & bx_2 & cx_3 \\ dx_1 & ex_2 & fx_3 \\ gx_1 & hx_2 & ix_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 + 4\alpha_2 \\ 2\alpha_1 + 5\alpha_2 \\ 3\alpha_1 + 6\alpha_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt das GLS lösen und die Werte für a - i bestimmen und damit die Abbildungsmatrix bilden, reicht das?

18.07.2011, 22:49

lgrizu

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RE: Vektoren erzeugen Bild
Sollen die beiden gegebenen Bildvektoren eine Basis des Bildraums darstellen?

Stell die Aufgabe bitte einmal so, wie du sie bekommen hast.

19.07.2011, 05:38

Tarsuinn

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Ups hatte das Ende wohl übersehen, jetzt ist Sie komplett!

19.07.2011, 15:51

lgrizu

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Wir haben also eine Basis des Bildes, wir kennen damit die Dimension des Kerns der Abbildung, wie groß ist diese?

19.07.2011, 16:02

Tarsuinn

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Dimension kann ich ja auch einfach bestimmen, indem ich schaue, wie viele linear Unabhängige Spaltenvektoren oder Zeilenvektoren die Matrix hat, oder?

Das sollte dann 2 sein, aber wieso spielt die Dim des Kerns eine Rolle, das will mir nicht so recht klar werden?

19.07.2011, 16:14

lgrizu

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Das ist falsch, der Kern hat die Dimension 1, denn es gilt dim(v)=dim(Kern)+dim(Bild), V aht die Dimension 3, das Bild hat die Dimension 2, also hat der Kern die Dimension 1.

Wenn der Kern die Dimension 1 hat, welchen Rang hat die Abbildungsmatrix dann?

19.07.2011, 18:06

Tarsuinn

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Zitat:

Original von lgrizu
Das ist falsch, der Kern hat die Dimension 1, denn es gilt dim(v)=dim(Kern)+dim(Bild), V aht die Dimension 3, das Bild hat die Dimension 2, also hat der Kern die Dimension 1.

Wenn der Kern die Dimension 1 hat, welchen Rang hat die Abbildungsmatrix dann?

Da die Bildmatrix eine Dimension von 2 hat und der Rang gleich der Dimension der Bildmatrix ist, ist der Rang der Abbildungsmatrix = 2

19.07.2011, 20:30

lgrizu

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So weit so gut.

Eine Dimension des Bildes erhält man, wenn man die Transponierte der Abbildungsmatrix auf Zeilenstufenform bringt.

19.07.2011, 21:02

Tarsuinn

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Könntest du mir kurz erklären in welche Richtung das laufen soll, ich komme langsam nicht mehr hinterher?!?

20.07.2011, 10:07

lgrizu

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Wenn wir die Transponierte der gesuchten Matrix in Zeilenstufenform bringen, so sind die linear unabhängigen Zeilen der Transponierten der Abbildungsmatrix eine Basis des Bildes, also stellen wir doch einmal $\begin{eqnarray*} A^t \end{eqnarray*}$ auf:

$\begin{eqnarray*} A^t=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.07.2011, 18:30

Tarsuinn

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Zitat:

Original von lgrizu
Wenn wir die Transponierte der gesuchten Matrix in Zeilenstufenform bringen, so sind die linear unabhängigen Zeilen der Transponierten der Abbildungsmatrix eine Basis des Bildes, also stellen wir doch einmal $\begin{eqnarray*} A^t \end{eqnarray*}$ auf:

$\begin{eqnarray*} A^t=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ok dann würde ich sagen wäre das die Matrix in ZSF

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.07.2011, 19:19

lgrizu

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Du musst sie gar nicht auf ZFS bringen, nur noch Transponieren:

$\begin{eqnarray*} (A^T)^T=A \end{eqnarray*}$

Die Bilder der ersten beiden Einheitsvektoren der Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind die angegebenen Bildvektoren.

20.07.2011, 19:50

Tarsuinn

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Zitat:

Original von lgrizu
Du musst sie gar nicht auf ZFS bringen, nur noch Transponieren:

$\begin{eqnarray*} (A^T)^T=A \end{eqnarray*}$

Die Bilder der ersten beiden Einheitsvektoren der Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind die angegebenen Bildvektoren.

Ah ok dann hae ich das falsch verstanden, als Ergebniss kommt das auch raus. Mit meinem Weg im ersten Post komme ich nicht weiter, also einfach das GLS lösen oder?

20.07.2011, 20:05

lgrizu

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Nein, damit kommst du nicht wirklich weiter.

Wenn man aber weiß, dass die Dimension des Bildes 2 ist un der Rang der Matrix dementsprechend auch 2 ist, dann kann man sich zwei Basisvektoren des Vektorraums nehmen und diese auf zwei Basivektoren des Bildraums abbilden. Man nimmt danach einen dritten Basisvektor des Vektorraums und bildet diesen auf eine beliebige Linearkombination der beiden Basisvektoren des Bildes ab, damit erhält man dann auch eine Abbildungsmatrix.

Nehmen wir zum Beispiel einmal die kanonsche Basis und bestimmen folgende Abbildungsmatrix:

$\begin{eqnarray*} f(e_1)=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(e_2)=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(e_3)=2*\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+5*\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit können wir ein LGS aufstellen und die Abbildungsmatrix bestimmen.

Man kann natürlich auch eine beliebige andere Basis nehmen.

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