Schnitt, Vereinigung, direkte Summe und Addition von Vektorräumen

19.07.2011, 23:24

u ru guay

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Schnitt, Vereinigung, direkte Summe und Addition von Vektorräumen

Meine Frage:
Angenommen ich habe die Vektorräume $\begin{eqnarray*} V=span_{\mathbb R }\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W=span_{\mathbb R }\left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Der Schnitt ist $\begin{eqnarray*} \left\{o\right\} \end{eqnarray*}$ , ich weiß das aber auch nur, weil die gezeichnet hab, aber wie ich das z.b. für 2 n-dimensionale Vektorräume herausfinden kann weiß ich nicht.... und wo ist der unterschied zwischen Vereinigung, direkte Summe und Addition dieser Vektorräume? Direkte Summe ist das gleiche wie Addition, nur dass beide Vektorräume komplementär sind und ihr Schnittmenge daher nur die o enthält, aber warum darf man $\begin{eqnarray*} \left\{o\right\} \end{eqnarray*}$ nicht "doppelt" nehmen?

ich weiß es sind viele Fragen, aber ich hoffe ihr könnt sie alle beantworten

20.07.2011, 08:13

Mazze

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Zitat:

aber warum darf man $\begin{eqnarray*} \left\{o\right\} \end{eqnarray*}$ nicht "doppelt" nehmen?

Was meinst Du damit?

20.07.2011, 11:57

u ru guay

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tut mir leid, war mein Fehler, stand da auf dem Schlauch wo ich das geschrieben hatte smile

smile

Aber wie kann man den Schnitt 2er (oder mehrerer) Vektorräume herausfinden und wo ist der unterschied zwischen Vereinigung, direkte Summe und Addition von Vektorräume und wie kann man diese ermitteln?

ihr könnt das gerne an einem konkretem Beispiel mir erläutern Blumen

Blumen

20.07.2011, 12:12

Mazze

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Zitat:

ihr könnt das gerne an einem konkretem Beispiel mir erläutern

Oder Du schaust Dir mal die Definitionen der einzelnen Begriffe an Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Die Vereinigung zweier Vektorräume V und W, ist diejenige Menge die entsteht, wenn man alle Vektoren aus V und W zusammen in eine Menge packt. (einfache Mengenvereinigung wie in der Mengenlehre).

Der Durchschnitt zweier Vektorräume V und W sind alle diejenigen Vektoren, die in beiden Vektorräumen vorkommen.

Dies waren beides einfache mengentheoretische Begriffe die den Begriff des Vektorraumes nicht einmal benötigen.

Die direkte Summe zweier Vektorräume V und W ist etwas mehr. Zunächstmal müssen die Vektorräume die gleiche Struktur haben. Du kannst nicht den R² direkt mit dem VR der konvergenten Folgen addieren. Weiterhin müssen die Vektorräume komplementär sein, sprich, der Durchscnitt darf nur den Nullvektor enthalten. Dann ist die direkte Summe die Menge, die hervorgeht, wenn man alle Vektoren aus V mit allen Vektoren aus W addiert.

20.07.2011, 12:22

u ru guay

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danke für deine schnelle antwort!

Aber für mich hört sich Vereinigung und Addition immer noch wie ein und das selbe an....

Wenn ich jetzt zum Besipiel $\begin{eqnarray*} V=span\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ habe.

Was ist dann $\begin{eqnarray*} V+V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V\cap V \end{eqnarray*}$ ???

20.07.2011, 12:27

u ru guay

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ich mein natürlich $\begin{eqnarray*} V\cup V \end{eqnarray*}$ , das muss dann ja wieder $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sein, aber was ist $\begin{eqnarray*} V+V \end{eqnarray*}$ ???

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20.07.2011, 12:49

Mazze

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Also das $\begin{eqnarray*} V \cup V = V \end{eqnarray*}$ ist, ist eigentlich trivial. Denn wie gesagt, es handelt sich dabei um die übliche Mengenoperation. Und wenn ich eine Menge M mit sich selbst vereine, dann kommt natürlich wieder M heraus.

$\begin{eqnarray*} V + V = \{v + w | v,w \in V\} = V \end{eqnarray*}$

Das ist auch recht einfach zu zeigen. Dazu schreibt man die Elemente von V + V einfach mal bezüglich einer Basis, oder man argumentiert über die Abgeschlossenheit von Vektorräumen.

20.07.2011, 16:16

u ru guay

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ich glaub ich weiß was du meinst, ich hab mir jetzt ein Beispiel ausgedacht:

$\begin{eqnarray*} U_1=span_{\mathbb R }\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} U_2=span_{\mathbb R }\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} U_3=span_{\mathbb R }\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \bigcap U_i \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow x_1=0, x_2=-t, x_3=-2t, x_4=2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \bigcap U_i=span_{\mathbb R }\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcup U_i=\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_1+U_2+U_3=\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt? Also ich seh immer noch kein Unterschied Addition und Vereinigung traurig

traurig

20.07.2011, 16:25

Mazze

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Also es ist

$\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 = \{0\} \end{eqnarray*}$

und damit natürlich

$\begin{eqnarray*} \bigcap_i U_i = \{0\} \end{eqnarray*}$

Was Du dort rechnest kann ich nicht nachvollziehen.

Die Vereinigung der Vektorräume ist in der Tat gleich dem R^4. Die Summe auch, es ist :

$\begin{eqnarray*} U_1 + U_3 = \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_3 = \{0\} \end{eqnarray*}$

Damit ist U_1 + U_3 eine direkte Summe. Allerdings ist dann natürlich U_1 + U_3 + U_2 keine direkte Summe mehr. Die Summe von Vektorräumen heißt direkt, wenn nur der Nullvektor in den Räumen gemeinsam liegt.

edit :

Falls Du am Unterschied zwischen Vereinigung und SUmme interessiert bist :

$\begin{eqnarray*} V = \mathbb{R}^2, U_1 = span(e_1), U_2 = span(e_2) \end{eqnarray*}$

Schau Dir mal Summe und Vereinigung an.

20.07.2011, 16:40

u ru guay

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beides mal $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ oder?

20.07.2011, 16:42

Mazze

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Zitat:

Original von u ru guay
beides mal $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ oder?

Tja, überlege Dir mal ob

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \in U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$

gilt.

20.07.2011, 16:54

u ru guay

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meiner Meinung schon, ich vereinige die basen und habe damit die standardbasis des R^2 und kann dann (1, 1) als e_1 + e_2 darstellen

20.07.2011, 17:00

Mazze

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Zitat:

meiner Meinung schon

Das ist keine Meinungssache. Wenn

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \in U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$

gelten würde, dann würde entweder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \in U_1 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \in U_2 \end{eqnarray*}$

gelten. Ist dem so?

20.07.2011, 17:18

u ru guay

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okeeeeeey jetz blicks ichs erst -.- omg danke!!!

Mit Zunge

Mit Zunge

hoffentlich letzte Frage: kann ich beispielsweise R^2 und R^3 addieren, vereinigen und schneiden oder geht das nicht?

20.07.2011, 17:21

Mazze

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Vereinigen und Schneiden kannst Du die beiden Vektorräume, da dieses ja elementare Mengenoperationen sind. Der Durchschnitt wäre dann die leere Menge und die Vereinigung eine Menge mit der man wohl nicht viel anfangen kann.

Eine Summe kannst Du nicht bilden, da die Addition von Vektoren mit 2 Komponenten mit Vektoren mit 3 Komponenten nicht definiert ist. (Du könntest natürlich eine solche Addition definieren, die Frage ist, was Du dann damit machen willst Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

20.07.2011, 17:27

u ru guay

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kein plan ; )

also ich fass kurz mal zusammen, ich hab V=x-Achse, W=y-Achse

dann ist der Schnitt {0}, die verinigung die beiden Achsen, und die Summe der R^2
oder?? : )

20.07.2011, 17:29

Mazze

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So siehts aus.

20.07.2011, 17:31

u ru guay

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vielen dank nochmal für alles!

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