Extrempunkte mit 2 variablen

20.07.2011, 10:12

sima

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Extrempunkte mit 2 variablen

habe die funktion
f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{a}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

f'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{-2ax}{(1+x^2)^{2} } \end{eqnarray*}$ mit der Kettenregel

f'(x)= $\begin{eqnarray*} -2ax-2ax^{-3} \end{eqnarray*}$ mit der Produktregel

sind die Ableitung beide richtig ????

und es liegt ein extrempukt an der stelle x= $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$ stimmt das soweit?

20.07.2011, 10:18

lgrizu

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RE: Extrempunkte mit 2 variablen

Zitat:

Original von sima

f'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{-2ax}{(1+x^2)^{2} } \end{eqnarray*}$

Diese ist richtig.

Zitat:

Original von sima
f'(x)= $\begin{eqnarray*} -2ax-2ax^{-3} \end{eqnarray*}$

Hier sehe ich nicht, wie du darauf kommst. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von sima
es liegt ein extrempukt an der stelle x= $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

Das stimmt so auch nicht.

20.07.2011, 10:27

sima

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ich muss doch jetzt die erste ableitung null setztend.h.

0= $\begin{eqnarray*} \frac{-2ax}{1+x^4} \end{eqnarray*}$

wie gehe ich jetzt da vor

20.07.2011, 10:58

lgrizu

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Zitat:

Original von sima
ich muss doch jetzt die erste ableitung null setztend.h.

0= $\begin{eqnarray*} \frac{-2ax}{1+x^4} \end{eqnarray*}$

wie gehe ich jetzt da vor

$\begin{eqnarray*} \frac{-2ax}{(1+x^2)^{2} } \neq \frac{-2ax}{1+x^4} \end{eqnarray*}$ , um den Nenner auszumultiplizieren werden binomische Formeln benötigt, es ist aber unnötig, dies zu tun.

Darf der Nenner eines Bruches verschwinden, sprich null wreden?

20.07.2011, 11:14

sima

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nein weil wenn er verschwindet...kommt null raus :-)

20.07.2011, 11:25

klarsoweit

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Ist auch nicht richtig. Wenn der Nenner Null ist, ist der Bruch nicht definiert.

Die Frage ist aber die: wie muß der Zähler eines Bruchs aussehen, wenn der Bruch gleich Null sein soll?

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20.07.2011, 11:35

sima

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null muss der zähler sein

20.07.2011, 12:00

lgrizu

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Genau, wenn du den Zähler =0 setzt erhälst du was?

20.07.2011, 12:02

sima

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null kommt da raus

20.07.2011, 12:04

lgrizu

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Genau, wir haben also als möglichen Kandidaten für eine Extremstelle die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ .

Nun noch überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und wenn, um was für eins.

20.07.2011, 12:07

sima

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also ist der EXT ( 0/a)
?

20.07.2011, 12:08

lgrizu

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Das ist ein möglicher Kandidat für einen Extrempunkt, man muss noch überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt, dazu ist die zweite Ableitung hilfreich.

20.07.2011, 12:14

sima

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die 2 ableitung ist

f''(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{-2a}{\left(1+x^{2} \right)^{2} } + \frac{8ax^4}{\left(1+x^2\right)^{4} } \end{eqnarray*}$

oder?

20.07.2011, 12:19

sima

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wenn das richtig ist dann hab ich -2a raus

dann müsste man eine Fallunterscheidung vornehmen..
d.h wenn a<0 dann TP

wenn a>0 dann HP
richtig ?

20.07.2011, 12:24

lgrizu

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Mach einmal vor, was du gemacht hast.

Du kannst auf deine erste Ableitung einfach die Quotientenregel loslassen.

20.07.2011, 12:42

sima

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ja das hab ich auch angewendet...
f''(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{-2a*\left(1+x^2\right)^{2}-\left(-2ax\right)*4x^3 }{\left(\left(1+x^2\right)^{2} \right)^{2} } \end{eqnarray*}$

dann hab ich am anfang nach 2a das gleich weggekürzt bevor ich es ausmultipliziert hab und alleine stehen lassen als bruch und hinten hab ich ausmultipliziert man kann nichts kürzen

20.07.2011, 12:51

lgrizu

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Das 4x³ im Zähler stimmt nicht, leite einmal (1+x²)² ab, was erhälst du?

20.07.2011, 12:55

sima

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achso das abgelitten ist 4x +4x^3

20.07.2011, 12:57

sima

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$\begin{eqnarray*} \frac{-2a*\left(1+x^2\right)^{2}-\left(-2ax\right)*(4x^3+4x) }{\left(\left(1+x^2\right)^{2} \right)^{2} } \end{eqnarray*}$
hab mein fehler entdeckt

20.07.2011, 13:01

lgrizu

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Dann ahst du einen Eingabefehler, ich habe das gerade einmal eingegeben, mir zeigt er das richtige Ergebnis 4x(1+x²).

20.07.2011, 13:14

sima

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ich komme trotzdem nicht auf das richtige ergebnis... hab jetzt die richtige ableitung aber wie ich drauf komme ist mir nicht ganz klar $\begin{eqnarray*} \frac{8ax^2}{\left(x^2+1\right)^{3} } - \frac{2a}{\left(x^2+1\right)^{2} } \end{eqnarray*}$

20.07.2011, 13:21

lgrizu

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Zitat:

Original von sima
$\begin{eqnarray*} \frac{-2a*\left(1+x^2\right)^{2}-\left(-2ax\right)*(4x^3+4x) }{\left(\left(1+x^2\right)^{2} \right)^{2} } \end{eqnarray*}$

Das hier ist richtig, ich würde das noch kürzen und die Summe im Zähler stehen lassen.

Zitat:

Original von sima
hab jetzt die richtige ableitung aber wie ich drauf komme ist mir nicht ganz klar

Wie hast du denn obiges Ergebnis ermittelt?

Wie lautet die Quotientenregel?

20.07.2011, 13:32

sima

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das hat mir der rechner hier raus gegeben
http://www.mathetools.de/differenzieren/
wenn ich das so eingebe -2*a*x/((1+x^2)^2)

20.07.2011, 13:45

lgrizu

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Das ist auch richtig, ich würde jedoch im Zähler die Summe stehen lassen und nicht jeden Summanden so weit es geht kürzen.

Und nocheinmal die Frage, wie lautet die Quotientenregel?

20.07.2011, 13:50

sima

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$\begin{eqnarray*} \frac{u'*v-u*v'}{(v)^{2} } \end{eqnarray*}$

20.07.2011, 13:52

lgrizu

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Okay, was ist u(x), was ist v(x), wie schaut v'(x) aus, wie u'(x) ?

20.07.2011, 13:54

sima

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ist das so gekürzt auch richtig ?
habe die klammer auch aufgelös
f''(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{6ax^4+4ax^2-2a}{\left(\left(1+x^2\right)^{2} \right)^{2} } \end{eqnarray*}$

20.07.2011, 14:02

lgrizu

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Immer wieder neue Vorschläge, aber ein System mit dem du da herangehst ist nicht zu erkennen.

Du kannst doch einfach schauen, ob dein Ergebnis mit dem, das das Tool ausgibt übereinstimmt, tut es das?

Lass uns einmal systematisch da herangehen, dazu beantworte mit die Frage, was u(x) ist und was v(x).

Wie sehen jeweils die Ableitungen aus?

20.07.2011, 14:13

sima

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u(x) = -2ax v(x) = (1+x^2)^2

u'(x) = -2a v'(x)= 4x+4x^3

20.07.2011, 14:35

lgrizu

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Lass uns einmal $\begin{eqnarray*} v'(x)=4x \cdot (1+x^2) \end{eqnarray*}$ schreiben, dann hat man das gleich etwas besser im Überblick.

Nun setzen wir den ganzen Krempel in die Quotientenregel ein, was erhalten wir (erst einmal ungekürzt)?

20.07.2011, 15:36

sima

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$\begin{eqnarray*} \frac{-2a*\left(1+x^2\right)^{2}- \left(-2ax\right)* 4x\left(1+x^2\right)^{2} }{\left(\left(1+x^2\right)^{2} \right)^{2} } \end{eqnarray*}$

20.07.2011, 15:48

lgrizu

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Zitat:

Original von sima
$\begin{eqnarray*} \frac{-2a*\left(1+x^2\right)^{2}- \left(-2ax\right)* 4x\left(1+x^2\right)^{2}}{\left(\left(1+x^2\right)^{2} \right)^{2} } \end{eqnarray*}$

Der zweite Summand im Zähler ist nicht ganz richtig, es sollte heißen

$\begin{eqnarray*} \frac{-2a*\left(1+x^2\right)^{2}- \left(-2ax\right)* 4x\left(1+x^2\right)}{\left(\left(1+x^2\right)^{2} \right)^{2} } \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man (1+x²) kürzen, nachdem man im Zähler ein Potenzgesetz verwendet hat.

20.07.2011, 20:44

sima

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ich verstehe nicht was du meinst mit dem zähler und potenzgesetz!!!

20.07.2011, 20:48

lgrizu

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Es ist $\begin{eqnarray*} (a^n)^m=a^{m \cdot n} \end{eqnarray*}$ .

20.07.2011, 20:51

sima

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da kann man ja nur (1+x^4) draus machen oder

20.07.2011, 20:53

lgrizu

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Nein, das ist falsch, wenn du eine Summe potenzierst muss man die binomischen Formeln anwenden. Es ist $\begin{eqnarray*} ((x^2+1)^2)^2=(x^2+1)^{2 \cdot 2}=(x^2+1)^4 \end{eqnarray*}$ .

Was kann man nun kürzen?

20.07.2011, 20:54

sima

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dann meintest du potenzregel im nenner anwenden nicht im zähler

es kommt $\begin{eqnarray*} \frac{-2a*\left(1+x^2\right)+ 8ax^2 }{\left(x^2+1\right)^{3} } \end{eqnarray*}$ raus

20.07.2011, 21:00

lgrizu

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Jap, entschuldige, ich hab mich verschrieben, ich meinte den Nenner.

Das ist jetzt so weit richtig, man kann jetzt noch im Zähler (diesmal wirklich Big Laugh

Big Laugh

) die Klammer ausmultiplizieren und zusammenfassen.

20.07.2011, 21:03

sima

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$\begin{eqnarray*} \frac{-2a+ 6ax^2 }{\left(x^2+1\right)^{3} } \end{eqnarray*}$

ich könnt ja noch 2a ausklammern bringt ja aber nichts

20.07.2011, 21:07

lgrizu

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Okay, jetzt aber zurück zum wesentlichen, wir möchten noch überprüfen, ob es sich bei der Stelle x=0 um ein Extremum handelt.

Was ist zu tun?

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