Polynomring modulo erzeugtem Ideal |
20.07.2011, 21:40 | Roonex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Polynomring modulo erzeugtem Ideal schreibe bald eine Algebra-Klausur und möchte endlich mal folgende Geschichte verstehen: Ich hab also bspw. gegeben, und soll untersuchen ob die Menge endlich, ein Ring, ein Körper, ein Integritätsbereich und/oder ein Hauptidealring ist. Am liebsten in ganz kleinen, verständlichen Schritten und mit Begründungen :-) Als erstes hab ich mir das erzeugte Ideal angeschaut (d.h. einfach Definition): D.h. in diesem Ideal sind ganz viele verschiedene Elemente zu finden. Sie haben gemeinsam, dass sie aus dem Produkt von zwei Polynomen bestehen, von denen eines ist. Naja ok. Jetzt schaut man sich den Polynomring modulo dem Ideal an, also wieder Definition: Kann man das dann eigentlich folgendermaßen schreiben bzw. ist das nützlich?: Das stell ich mal dahin. Was man ja macht, ist Polynome in zu betrachten, sie durch mit Polynomdivision zu teilen und sich den Rest anschauen. Wenn Rest herauskommt, war das ein Polynom aus dem Ideal und ist in damit gleich . Dass man bei verschiedenen Resten auch auf verschiedene Klassen kommt, hab ich mir einfach in Analogie zu (mehr oder weniger) klar gemacht. Jetzt will ich konkret den Aufbau der Elemente in betrachten. Hier bin ich dann unsicher. Ich vermute mal es sind hier (als Repräsentanten) alle Polynome bis zum Grad mit Koeffizienten aus ... jedenfalls war das genauso in einer Aufgabe in der statt nämlich gegeben war. Kann mir jemand noch mal die Begründung dafür geben? Ist es einfach so, dass wenn man ein Polynom von Grad oder höher hat, dieses durch 'verkleinert' wird? Und warum genau sehen die Klassen so aus? Bzw. entsprechen die Reste genau Repräsentanten aus allen Äquivalenzklassen? Würde mich über eine Antwort mit Tipps/Korrektur freuen! Aber bitte nicht einfach nur Links angeben, würde es gern nochmal direkt auf dieses Beispiel und auf meine Probleme damit bezogen haben. Edit: Bezogen auf die Aufgabenstellung hätte ich jetzt also gesagt dass man es mit einem nicht-endlichen Ring zu tun hat... bei den anderen Sachen bin ich mir noch nicht sicher. |
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21.07.2011, 01:47 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Polynomring modulo erzeugtem Ideal
Nein. Links steht eine Menge von Äquivalenzklassen, also Mengen von Polynomen, rechts steht eine Menge von Polynomen.
Das ist auch wichtig fürs Verständnis.
Man kann doch ein beliebig gegebenes Polynom mit Rest durch teilen: wobei der Grad von r kleiner als der Grad von ,also gleich 1 oder 0 ist. (oder r=0) Damit: Jedes Polynom ist also zu einem Polynom vom Grad kongruent modulo Ist und ,wobei r und s beide Grad haben, dann gilt und daher Nun hat aber r-s auch Grad und daher muss schon r-s=0 sein. Jedes Polynom ist also sogar genau zu einem Polynom vom Grad kongruent. Insbesondere liegen zwei verschiedene Polynome vom Grad in verschiedenen Äquivalenzklassen. Die Polynome vom Grad entsprechen also umkehrbar eindeutig den Äquivalenzklassen modulo Das heißt: Um die Frage zu beantworten, ob ein Körper ist, überlege dir (oder erinnere dich), dass ein kommutativer Ring mit 1 genau dann ein Körper ist, wenn er genau 2 Ideale besitzt: Das Nullideal und das Einheitsideal. Nun ist irreduzibel, woraus folgt, dass es keine Ideale in gibt, die nicht das Einheitsideal sind und das Ideal echt enthalten (warum?). Überlege dir mit Hilfe des Restklassenhomomorphismus , welche Ideale es in geben kann. Das sollte dann auch die Fragen nach 'Integritätsring' und 'Hauptidealring' beantworten. Über die Frage, ob ein Ring ist, bin ich verwirrt. Wie (wenn nicht als Restklassenring) sollte das denn sonst gemeint sein? |
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21.07.2011, 07:53 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Entschuldigt bitte diese kurze Einmischung in einen laufenden Thread, ich möchte nur einen kurzen Vorschlag unterbreiten. Möglicherweise würde es Roonex helfen, Ideale (zumindest vorläufig) als zu schreiben. Dies sollte eine Verwechslung wie vermeiden. |
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21.07.2011, 14:18 | Roonex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Erstmal danke für die ausführliche Antwort
Ja, das war etwas doof von mir, da hätte ich selbst drauf kommen müssen.
weil es keine Nullstellen hat wenn man für Werte aus einsetzt?
Mh, verstehe ich noch nicht. Irreduzibel heißt ja, dass wenn man als Produkt von zwei Elementen darstellt, dass mind. eines der Elemente eine Einheit ist. Einheiten in sind ja genau die Einheiten in , und diese müssten alle ausser der sein, da man sonst einfach mit dem Kehrbruch multipliziert und damit auf 1 kommt. Sind dann also quasi alle Polynome mit Grad . Aber ich sehe noch nicht direkt wie man daraus die Aussage herleiten kann. Hab da grad bisschen Vorstellungsschwierigkeiten... man hat schon einen Ring, der aus Äquivalenzklassen besteht, ... und dann nochmal Ideale von dem Da brauch ich noch ein wenig Unterstützung.
Ok, das liegt daran, dass wir eine leere Tabelle bekommen haben, in der links potentielle Ringe/Körper usw. stehen und wir ankreuzen sollen ob diese nun Ringe/Körper/Hauptidealringe usw. sind. Hab eben nur ein Beispiel da herausgegriffen Hoffe dass ich noch etwas Hilfe bekomme! |
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21.07.2011, 14:45 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, wenn das Polynom reduzibel wäre, hätte es auch einen Teiler vom Grad 1, also eine Nullstelle. Aber für alle Alternativer Beweis: ist irreduzibel nach Eisensteinkriterium, also auch
Benutze, dass ein Hauptidealring ist. Wenn für ein Polynom ,was bedeutet das für die Elemente p und ?
Daran solltest du dich aber gewöhnen, solche 'geschachtelten' Konstruktionen sind in der Algebra gang und gäbe. Wie die Elemente genau (als Mengen) aussehen, ist nicht so wichtig, es geht um die algebraischen Eigenschaften. Hast du dir schon über dieses Gedanken gemacht?
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21.07.2011, 15:25 | Roonex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn die Menge erzeugt, die auch erzeugt, und noch mehr, dann würde ich sagen dass , also ein Teiler von . Damit ist aber entweder eine Einheit (-> und würde damit ganz erzeugen?) oder aber... was anderes, hm... Also so ganz kriege ich das noch nicht hin.
Ja, ich habe zumindest versucht, mir darüber Gedanken zu machen :-) Aber sehe leider immer noch nicht wie ich das zeigen kann, dass es keine anderen Ideale gibt. |
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21.07.2011, 16:30 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es gilt doch dann für ein Polynom q. Da irreduzibel ist, muss p oder q eine Einheit sein. Ist p keine Einheit, dann ist also
Benutze, dass für ein Element a eines Ringes R (mit 1) genau dann das von a erzeugte Hauptideal gleich R ist, wenn a eine Einheit ist. |
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21.07.2011, 22:06 | Roonex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
War eine Weile weg, bin jetzt aber wieder da Und es hat sich Verwirrung breit gemacht Um die Körpereigenschaft zu zeigen, muss man ja Ideale von betrachten...warum genau schauen wir uns dieses an, was ja selbst als ein Ideal von ist und nicht von ? Im ersten Post steht was von Restklassenhomomorphismus, kannst du (oder jemand anders) das nochmal an diesem Beispiel erklären? |
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22.07.2011, 03:37 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Weil wir doch erstmal zeigen wollen (siehe meinen ersten Post):
Es ist der Homomorphismus, der ein Element auf seine Restklasse abbildet. Wenn dir der unbekannt ist, siehe dazu in einem beliebigen Buch oder Skript zur (Einführung in die) Algebra unter dem Stichwort "Homomorphiesatz" nach. Wenn du dann noch Fragen hast, kannst du sie hier stellen. |
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25.07.2011, 17:50 | Roonex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Tut mir Leid dass ich hier nicht mehr geantwortet habe. Ich denke irgendwann werd ich das Zeug noch verstehen. Die Klausur hab ich jedenfalls bestanden :-) Aber Danke für die Unterstützung, ein paar Sachen sind mir trotzdem klarer geworden. |
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