Abbildungsmatrix bestimmen |
| 20.07.2011, 22:01 | Avocado111 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Abbildungsmatrix bestimmen Hallo, ich ahbe ein Problem mit folgender Aufgabe: Es sei X die matrix 0 1 0 1 aus V = R^2x2 und phi eine Abbildung von V nach V definiert durch phi(A) = XAX für alle A aus V. Geben Sie die Abbildungsmatrix von phi bez¨uglich der geordneten Basis S = (E11;E12;E21;E22) von R^2x2 an. Meine Ideen: Die Basis S sieht so weit ich weiß so aus: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Bei einfachen Vektoren würde ich jetzt einfach einzeln für jeden Basisvektor das Ergebnis nach phi ausrechnen und daraus die Abbildungsmatrix basteln, ich weiß aber nich wei das heirbei funktioniert. Ich ahbe Auch versucht eine Abbildungsmatrix a b c d allgemein zu definieren, und dann mit Hilfe der Ergebnisse der Basisvektoren ein Gleichungssystem aufzustellen um a,b,c und d zu bestimmen, da krieg ich aber nur den Nullvektor raus und das ist ja Quatsch. jetzt bin ich ratlos und weíß nicht mehr was ich tun soll, wär toll wenn jemand helfen könnte :-/ |
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| 21.07.2011, 00:25 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, nun, was steht denn in der Abbildungsmatrix drin? Ganz einfach: Die Spalten sind die Komponentenvektoren der Bilder der Basisvektoren bzgl. der gewünschten Basis. Klingt komliziert, ist aber einfach. Bestimme zunächst einmal die Bilder der Basis, was ist ? Und wenn du das hast, bestimme den Vektor, der die Koeffizienten derjenigen Linearkombi enthält, mit denen man die Matrix darstellen kann. Ein Beispiel: Die Matrix hat bzgl. deiner kanonischen Basis den Kompoentenvektor , denn . OK soweit? |
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| 21.07.2011, 13:12 | avocado111 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja, das is tatsächlich nich so schwierig, wwär aber nie von selbst drauf gekommen XD dankeschön!! |
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| 21.07.2011, 14:24 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Magst du dann noch die Abildungsmatrix posten, falls ein anderer Suchender hier vorbeikommt? 
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| 21.07.2011, 14:40 | avocado111 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich hab das jezz gemacht, und wenn ich alles richtig verstanden hab kommt da eine 4x4 matrix raus die in etwa so aussieht: 0000 0000 0011 0011 aber das kann ja unmöglich eine allgemeine abbildungsmatrix für 2x2 matrizen zu der gegeben basis sein, weil man ja keine 2x2 matrizen mit einer 4x4 matrix multiplizieren kann? |
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| 21.07.2011, 16:10 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
In etwa. Die beiden letzten Spalten stimmen nicht. Was ist das Bild der letzten beiden Basisvektoren, also der Matrizen? Die gesuchte Matrix ist aber eine 4x4, denn die Abbildung bildet von einem 4-dimensionalen Raum in einen 4-dimensionalen ab. Mit dieser Abbildungsmatrix kannst du sehr wohl eine 2x2-Matrix abbilden. Denn du steckst dort nicht die Matrix rein, sondern wiederum den Komponentenvektor bzgl. der Basis. Das ist ein Vektor aus dem IR^4, Matrix mal Spalte musst du hier rechnen. |
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| 21.07.2011, 16:31 | avocado111 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok, da hatte ich wohl grundlegend was falsch verstanden, danke für die erklärung! hab jezz nochmal neu berechnet: 0000 0011 0000 0011 |
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| 21.07.2011, 16:33 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wunderbar, noch ein klitzkleiner Test: Wie bestimmst du mit dieser richtigen Matrix jetzt das Bild von ?
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| 22.07.2011, 14:18 | avocado111 | Auf diesen Beitrag antworten » |
11 11 lässt sich darstellen durch eine Kombination der basisvektoren mit den koeffizienten 1,1,1,1, der vektor mit dm ich phi multipliziere ist also 1 1 1 1 der ergebnisvektor sieht dann so aus: 0 0 2 2 das heißt das bild ist eine kombination der basisvektoren mit den koeffizienten 0, 0, 2, 2, also: 00 22 Richtig? :-) |
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| 22.07.2011, 14:21 | avocado111 | Auf diesen Beitrag antworten » |
hab mich vertan, hab bei der falschen matrix geguggt. das ergebnis ist eine linearkombination mit den koeffizienten 0,2,0,2 und damit 02 02 :-) |
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| 22.07.2011, 16:09 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Letzteres ist vollkommen richtig! 
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