Für welche n aus N ist A^n die Einheitsmatrix?

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Avocado111 Auf diesen Beitrag antworten »
Für welche n aus N ist A^n die Einheitsmatrix?
Meine Frage:
Gegeben ist die Matrix

0(-1)2
0(-1)3
1(-1)0

Die Frage lautet:
Für welche n aus N ist A^n die Einheitsmatrix?

Meine Ideen:
Alles was mir einfällt wäre die Matrix immer wieder mit sich selbst zu multiplizieren und zu hoffen das die gesuchten n alle ziemlich klein sind, aber ich glaube nicht das ich in der Klausur die nötige zeit dafür habe.
Gibts es irgendeinen Trick diese Aufgabe zu lösen? In unserem Skript finde ich keinen :-(
avocado111 Auf diesen Beitrag antworten »

und die gegebene matrix ist element von C^3x3
hatte ich vergessen^^
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das direkte Ausrechnen ist sicher eine Möglichkeit. Für wären das z.B. zwei Matrizenmultiplikationen.

Oder du verwendest Cayley-Hamilton. Das charakteristische Polynom der Matrix ist in normierter Form . Daher gilt



worin die Nullmatrix und die Einheitsmatrix ist. Jetzt multipliziere erst einmal aus:

avocado111 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!!
Angenommen man darf die klammern ganz normal auflösen (darf man das?) ergäbe das dann wohl A^4+A^3+A^2+A-A^3-A^2-A-E=A^4-E.
Das könnte man dann äquivalent umformen in A^4=E, womit das ganze gelöst wäre. Aber wie kommt man auf die Idee das ganze mit A-E zu multiplizieren?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, man darf die Klammern "ganz normal" auflösen. Für Matrizen gilt das Distributivgesetz. Probleme könnte es höchstens mit dem Vertauschen von Matrizen bei der Multiplikation geben. Denn die ist bekanntlich nicht kommutativ. In diesem Ausnahmefall ist aber auch das keine Schwierigkeit, denn die Einheitsmatrix ist mit jeder anderen Matrix vertauschbar: .

Und wie man da drauf kommt? Da werfe ich das Stichwort "binomische Formel", "geometrische Summe" in den Raum. Daher kennt man solche Ausdrücke:







usw.
avocado111 Auf diesen Beitrag antworten »

wunderbar, dankeschön! :-)
 
 
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