Derterminate und Abbildungsmatrix eines Endomorphismus

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luk26 Auf diesen Beitrag antworten »
Derterminate und Abbildungsmatrix eines Endomorphismus
Meine Frage:
Hallo,
ich bin gerade bei der Klausurvorbereitung für Lineare Algebra und habe dabei folgende Aufgabe:
Es sei der Endomorphismus mit und

1. Bestimmen Sie die Determinante von .
2. Geben Sie die Abbildungsmatrix von bzgl der Standardbasis an.

Meine Ideen:
Insgesamt verstehe ich das Konzept der Abbildungsmatrizen immer noch nicht wirklich gut, versuche mich jetzt aber langsam anzunähern:

Die beiden gegeben Vektoren von bilden, wenn mich nicht alles täuscht, schon eine Basis von . Für die Determinate brauche ich desweiteren dann die Abbildungsmatrix von mit .

Ist dann einfach nur und demnach ?

Wie würde man dann die Abbildungsmatrix bzgl der Standardbasis bilden?

Viele Danke
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Hi !

Du hast ja hier zwei Vektoren gegeben und kannst mit diesen ein Gleichungssystem aufstellen. Wie deine Matrix im Aalgemeinen aussehen muss weisst du ja durch die Abbildungsvorschrift.

Du musst hier auch keine "neue" Basis angeben.

Du sollst ja lediglich die Abbildungsmatrix angeben und nicht die Transformationsmatrix.
luk26 Auf diesen Beitrag antworten »

Da stehe ich wohl gerade irgendwie aufm Schlauch.

Die beiden Vektoren sind klar, aber wie komme ich dadurch auf die Abbildungsmatrix? In unserem Script finde ich nur Definitionen, die immer mind. eine Basis voraussetzen auf die sich die Matrix bezieht.
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »



So bekommst du die Matrix heraus, die dann bzgl. der Standardbasis gegeben ist und kannst die Determinante berechnen.

Den anderen Punkt musst du natürlich auch mitberücksichtigen, dann hast du 4 Gleichungen mit 4 Variablen.
luk26 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dann also die 4 Gleichungen:


Mit Gauß komme ich dann auf:



Daraus ergibt sich die Abbildungsmatrix bzgl. Standardbasis mit
Eine weitere Teilaufgabe war:
3. Zeigen Sie das orthogonal ist.

und
4. Je nachdem ob eine Drehung oder eine Spiegelung ist, bestimmen Sie entweder den Kosinus des Drehwinkels oder die Spiegelachse.
Wenn man die Vektoren zeichnet, sieht man dass es sich um eine Spiegelung handelt mit einer Spiegelachse, die einer Steigung um die 3 (Schätzung) hat. Ich denke die genau Bestimmung funktioniert mit der Orthogonalprojektion...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen, bei einer Spiegelung geht ein Eigenvektor in Richtung der Spiegelachse und einer steht senkrecht dazu.
 
 
luk26 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Script habe ich gerade noch eine weitere Defintion bzgl der Orthogonalität bzgl gefunden: ist orthogonal ist orthogonal.
ist orthogonal Dass das stimmt, kann man dann wiederum leicht an der Matrix sehen.

Zur Spiegelachse:



und

Damit ist die Spiegelachse wirklich der Vektor EV(-1) mit Steigung 3.

Ist das richtig so?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir einmal den von dir genannten Eigenvektor zum Eigenwert x=-1:



Ist hier das Bild des Vektors gleich dem Vektor selbst? Eher nicht, es ist .

Jeder Vektor in Richtung der Drehachse wird aber auf sich selbst abgebildet.
luk26 Auf diesen Beitrag antworten »

Also Rechnung stimmt nur die Schlussfolgerung war daneben?

Die gleiche Rechnung mit dem anderen Eigenvektor EV(1) ergibt:
.
Wird also wieder auf die Spiegelachse "gespiegelt".

danke schön smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, ein Vektor in Richtung der Spiegelachse ist (1,3) (ich habe hier ganzzahlige positive Einträge gewählt).
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