Muss mir eine isomorphe Abbildung als ausdenken

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stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »
Muss mir eine isomorphe Abbildung als ausdenken
Meine Frage:
Hallo,

um einige Sätze aus den Gewöhnlichen DGLen zu verstehen, möchte ich mir eine isomorphe und eine nicht-isomorphe Abbildung als Matrix, am besten 3x3 ausdenken. Wie gehe ich da vor?

Meine Ideen:
Zur isomorphen Matrix:

Zur nicht-isomoprhen Matrix:

Eine 3x3-Matrix, die z.B. die dritte Dimension eliminiert wäre doch schon nicht isomorph, oder? also z.B.:




Zur isomorphen Matrix:

diese müsste ja ein Homomorphismus sein, und seine Umkehrabbildung auch.
D.h. die Matrix und ihre Inverse müsste doch eine lineare Abbildung sein, oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Muss mir eine isomorphe Abbildung als ausdenken
Zuerst einmal können wir jede lineare Abbildung auffassen als einen Homomorphismus zwischen Vektorräumen.

Was du suchst ist also eine Abbildungsmatrix einer bijektiven linearen Abbildung, und eine bijektive Abbildung besitzt eine Umkehrfunktion, also suchts du eigentlich nur eine invertierbare Matrix (eine beliebige? verwirrt ).

Noch einige kleine Anmerkungen:

Eine Matrix ist nicht isomorph, eine Abbildung kann ein Isomorphismus sein, existiert ein Isomorphismus zwischen zwei Algebren, so sind diese isomorph zueinander.
stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Muss mir eine isomorphe Abbildung als ausdenken
Wenn eine Abbildungsmatrix eine Umkehrfunktion hat, dann ist die Abbildung bijektiv, okay. Aber ist die Abbildung dann auch gleich linear? Warum?

Zur Isomorphie:

Ich meinte damit eine Abbildungsmatrix, die eine isomorphe Abbildung darstellt. Ist das so korrekt ausgesprochen?

By the way:

Es gibt ja eine Definition der Exponentialabbildung für Matrizen, die da lautet:



Kommt da denn das gleiche raus, wenn man eine Matrix hat und jedes Element
als Exponenten einer Potenz von e schreibt? D.h. gilt folgendes?



LG
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Muss mir eine isomorphe Abbildung als ausdenken
Zitat:
Original von stevewilson
Wenn eine Abbildungsmatrix eine Umkehrfunktion hat, dann ist die Abbildung bijektiv, okay. Aber ist die Abbildung dann auch gleich linear? Warum?


Über diese Frage muss ich mich sehr wundern, da du dich mit Matrixexponentialen und Differentialgleichungen beschäftigst darf ich wohl davon ausgehen, dass du im mindestens im 2. oder 3. Semester studierst, was eine Abbildungsmatrix ist, sollte bereist im 1. Semester dran gewesen sein. Zuerst also die Frage, was eine lineare Abbildung ist: Eine Abbildung f: X --> Y (zwischen zwei Vektorräumen X und Y über dem Körper K) heißt linear, wenn gilt f(x+y)=f(x)+f(y), für alle x,y aus X und f(a*x)=a*f(x) für x aus X und a aus K.

Eine Abbildungsmatrix beschreibt eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, eine Abbildung, die man durch eine Darstellungsmatrix beschreiben kann ist also immer linear.

Zitat:
Original von stevewilson
Zur Isomorphie:

Ich meinte damit eine Abbildungsmatrix, die eine isomorphe Abbildung darstellt. Ist das so korrekt ausgesprochen?


Jap.


Zitat:
Original von stevewilson
By the way:

Es gibt ja eine Definition der Exponentialabbildung für Matrizen, die da lautet:



Kommt da denn das gleiche raus, wenn man eine Matrix hat und jedes Element
als Exponenten einer Potenz von e schreibt? D.h. gilt folgendes?




Nein, das ist voll daneben.

Ist die Matrix A diagonalisierbar (Stichwort Hauptachsentransformation), dann exsitieret eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare Matrix P mit .

Dann ist , wobei die Diagonaleinträge von D sind.

Edit: Wenn du dich weiter damit beschäftigen möchtest (also mit linearen Differentialgleichungen und Matrixexponentialen) solltest du dir noch einmal anschauen, was es mit Eigenwerten und Eigenvektoren auf sich hat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu

Nein, das ist voll daneben.


[Artikel] Matrix-Reihen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Zitat:
Original von lgrizu

Nein, das ist voll daneben.


[Artikel] Matrix-Reihen


verwirrt
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte nur heißen, da gibt es mehr zum Thema Matrixreihen zu lesen und lgrizu muss nicht alles tippen... Ups
stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin schon viel weiter. Aber ich studiere Informatik! Ich habe aber die mathematischen Grundlagen an einer Fachhochschule gelernt. Und mache jetzt im Master an der Uni Mathematik als Nebenfach. Deswegen sind meine Grundlagen Lückenhaft Augenzwinkern

Zitat:
Nein, das ist voll daneben. Ist die Matrix A diagonalisierbar (Stichwort Hauptachsentransformation), dann exsitieret eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare Matrix P mit . Dann ist , wobei die Diagonaleinträge von D sind. Edit: Wenn du dich weiter damit beschäftigen möchtest (also mit linearen Differentialgleichungen und Matrixexponentialen) solltest du dir noch einmal anschauen, was es mit Eigenwerten und Eigenvektoren auf sich hat.


Ich habe es halt vermutet, weil Wolfram Alpha halt bei Eingabe von

e^(Eine Matrix)

genau jedes Element der Matrix als Exponenten von e benutzt.

Oder weiß jemand, wie man in Wolfram Alpha die Exponentialabbildung einer Matrix ausrechnen lässt?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Matrixexponential explizit zu bestimmen ist auch nicht ganz so einfach (bis auf Ausnahmen), ich habe gerade einmal bei Wolfram alpha geschaut, mit der Eingabe

code:
1:
exp({5,-6,-6},{-1,4,2},{3,-6,-4}})


gibt er mir kein brauchbares Ergebnis.

Matrixexponentiale kann man recht simpel bestimmen für Matrizen die diagonalisierbar oder nilpotent sind.
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