Kontrolle meines Weges

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22.07.2011, 14:55	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
Kontrolle meines Weges Meine Frage: gegeben ist $\begin{eqnarray} f: \mathbb Q^5 \to \mathbb Q^4, v \mapsto \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & -2 \\ -6 & -6 & -3 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 2 & 4 & -4 \end{pmatrix}\cdot v \end{eqnarray}$ rang, eine basis von bild und kern bestimmen und entscheiden, ob f injektiv/ surjektiv ist. Könnt ihr bitte gucken, ob meine rechenwege und notationen richtig sind? bin für jede kritik dankbar Meine Ideen: rang: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & -2 \\ -6 & -6 & -3 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 2 & 4 & -4 \end{pmatrix} \sim II+3\cdot I \sim > \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 2 & 4 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sim IV-2\cdot I \sim > \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim I+III \sim > \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sim I-IV,~ III+IV, I \leftrightarrow III, II \leftrightarrow IV \sim > \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow rang(f)=3 \end{eqnarray}$ basis-bild: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & -2 \\ -6 & -6 & -3 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 2 & 4 & -4 \end{pmatrix}^{T^T} \sim \sim > ... \sim \sim > \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1,5 \\ 0 & 1 & 0 & -0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1,5 & -0,5 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow B_{im(f)}=\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -0,5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ basis-kern: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow x_2=0, x_4=2t, x_3=s, x_1=-0.5s-t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow B_{ker(f)}=\left\{\begin{pmatrix} -0,5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \right\} \end{eqnarray}$ es gilt: $\begin{eqnarray} rang(f) \neq dim \mathbb Q^4 \Rightarrow \end{eqnarray}$ f nicht surjektiv, $\begin{eqnarray} ker(f) \neq \left\{o\right\} \Rightarrow \end{eqnarray}$ f nicht injektiv Edit lgrizu: Ein zweites Mal Zeilenumbrüche eingefügt, bitte halte deine Artikel einigermaßen übersichtlich.
22.07.2011, 15:18	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontrolle meines Weges so endlich fertig editiert
22.07.2011, 15:25	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontrolle meines Weges Die Basisvektoren des Kerns sollten 5 Einträge enthalten. Ansonsten hab ich das noch nicht nachgerechnet.
22.07.2011, 15:28	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontrolle meines Weges uuups also $\begin{eqnarray} \Rightarrow B_{ker(f)}=\left\{\begin{pmatrix} -0,5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \right\} \end{eqnarray}$ stimmt sonst alles?
22.07.2011, 15:32	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontrolle meines Weges Beginnen wir einmal am Anfang, bereits bei der ersten Umformung hast du dich verrechnet, wie kommt nach der Addition des 3-fachen der ersten Zeile zur zweiten Zeile die Nullzeile zustande? Betrachten wir die beiden letzten Einträge nach der Operation: 32-4=2 und 3(-2)+2=4.
22.07.2011, 21:40	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontrolle meines Weges stimmt super, hast recht ist jetz zu viel aufwand das nochmal hinzuschreiben. Also angenommen ich hätte da richtig umgeformt, stimmt dann der rest, also der kern und so? also um den 1) rang einer matrix zu bestimmen bring ich sie mit dem Gauß-algortihmus auf zeilenstufenform und die anzahl der nicht-null-zeilen ist dann der rang? um 2) eine basis des bildes zu bestimmen führe ich elementare spaltenumformungen durch und jede nicht-null-spalte ist dan ein basisvektor, oder 3) ich transponiere die matrix und bringe sie wieder auf zeilenstufenform und jede nicht-null-zeile ist ein basisvektor? kannst du den 2. abschnitt nach dem schema beantworten: 1) stimmt, 2) falsch, sondern... 3) stimmt ps: vielen dank
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22.07.2011, 22:42	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontrolle meines Weges Ich soll jetzt mit einem falschen Zwischenergebnis weiter rechnen? Ich kann die letzten Umformungen die du gemacht hast nichteinmal nachvollziehen..... Ich verstehe auch nicht, warum du auf der ersten Zeile operiert hast. Man ergänzt nicht einfach eine Null um eine Basis des Kerns zu erhalten, du hast doch drei Gleichungen mit 5 Unbekannten, zwei werden parametrisiert. Die Basis des Kerns stimmt also so nicht.
22.07.2011, 22:53	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontrolle meines Weges ich denk mir bis sonntag ein neues beispiel mit einer kleineren abbildungsmatrix aus und mach es nochmal mit mehr zeit, dann wirds für mich und dich auch alles übersichtichler. ich hab noch ne frage, warum man den kern auf diese weise bestimmt ist mir klar, aber warum erhält man den rang durch elementare zeilenumformungen und eine basis des bildes durch elementare spaltenumformungen? vielen dank für deine mühe!
22.07.2011, 23:01	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontrolle meines Weges Es ist Zeilenrang=Spaltenrang, also auch den Rang können wir durch Elementare Spaltenumformunge errechnen. Eine Basis des Bildes kann man auch bestimmen, indem man eine Basis des Vektorraums nimmt und diese abbildet, man erhält ein Erzeugendensystem des Bildes, warum das äquivalent dazu ist, die linear unabhängigen Spalten der Transponierten einer Abbildungsmatrix zu bestimmen ist in einem unserer Worshops ganz gut erklärt, ich hab ihn auf die schnelle nicht gefunden, aber es gibt einen. Edit: achso, wir können auch diese Aufgabe Schritt für Schritt erarbeiten, am einfachsten sind die Operationen mit Pivotwahl, wir wählen also ein führendes Element aus und erzeugen unter diesem Nullen, dann wählen wir das nächste führende Elemnt aus und erzeugen auch darunter Nullen, bis wir die Matrix auf Zeilenstufenform haben.
24.07.2011, 10:44	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontrolle meines Weges von pivotwahl hab ich noch nie was gehört, also ich würd lieber ne neue kleinere abbildungsmatrix nehmen, dann gehts auch viel schneller alles mit latex einzutippen ich machs unter dem titel Kontrolle meines Weges 2

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