Beschreibung einer linearen Abbildung

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geomath Auf diesen Beitrag antworten »
Beschreibung einer linearen Abbildung
Hallo,


ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Welche lineare Abbildung wird durch die Matrix bezüglich der Basisvektoren b1 = und b2 = des beschrieben?

Was wissen wir? Wenn wir die Determinante der Matrix berechnen und vorher ausklammern, so ist die det(A) = 1. Ich vermute daher, dass es sich um eine Drehung handelt, die durch die Matrix beschrieben wird und zusätzliche eine Streckung stattfindet, mit dem Streckungsfaktor .

1. Frage: Stimmt denn das?
2. Frage: Wie bekomme ich denn heraus, wo sich das Drehzentrum befindet bzw. wo gestreckt wird?

Ich habe die Darstellungsmatrix auch schon bezüglich der Standardbasis dargestellt, aber auch an dieser Matrix sehe ich nicht mehr!

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!

Viele Grüße,
geomath
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschreibung einer linearen Abbildung
Eine Drehung wird es nicht sein, denn die Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander, das ist aber ein Kriterium für Drehungen und Spiegelungen.
geomath Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

das die Vektoren nicht senkrecht aufeinanderstehen, ist natürlich ein Argument^^.

Ok, wenn es weder Drehung noch Spiegelung ist, muss es was anderes sein..

Ich habe mal nach Fixpunkten der Abbildung gesucht, und der einzige Fixpunkt ist P(0,0). Damit ist das Ganze doch eine zentrale Affinität, oder?

Das heißt, es müsste eine Drehstreckung, eine Scherstreckung oder eine Euleraffinität sein, richtig? Das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich die Matrix in eine der entsprechenden Formen pressen kann.

Weiterhin habe ich sie ja überführt bzgl. der Standardbasis und dann mal eine Zeichnung angelegt, um zu sehen, was die Abbildung macht, aber aus der werde ich leider auch nicht schlau unglücklich Wir wissen lediglich, dass Ursprungsgeraden wieder in andere Ursprungsgeraden überführt werden.

Unsere Matrix bzgl. der Standardbasis ist übrigens Die müsste eigentlich so passen, oder?

Für weitere Tipps wäre ich dankbar!

Grüße geomath
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, es existiert nur ein Fixpunkt, das ist richtig.

Eine Drehstreckung hat auch orthogonale Vektoren, und fällt damit heraus.

Es kann hilfreich sein, erst einmal die eignewerte zu berechnen um Ähnlichkeitsnormalformen zu erhalten.

Berechne einmal die beiden komplexen Eigenwerte.

Ich würde schätzen, dass es sich um eine Streckscherung handelt.
geomath Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die beiden komplexen Nullstellen sind


Damit fällt doch aber die Streckscherung auch raus, weil dort doch ein doppelter Eigenwert vorhanden sein muss, oder?

Ich hätte noch die Affindrehung im Angebot, die dann auftritt, wenn wir nur komplexe Eigenwerte haben, aber dann haben wir ja immer noch das Problem, dass die Vektoren nicht senkrecht aufeinander stehen, richtig?

Grüße
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, Euler Affinität fällt auch heraus, da die Eigenwerte nicht reell sind.

Jetzt wird es langsam eng, es bleibt wirklich nur noch die Affindrehung im Angebot übrig.


Die Ähnlichkeitsnormalform ist nun
 
 
geomath Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

so wir wollten das eigentlich selbst rausfinden, um die Frage zu sparen, aber es hakt leider noch ein bisschen.
Wie bist du denn basierend auf den beiden komplexen Eigenwerten auf die Ähnlichkeitsnormalform gekommen? Wie ist diese denn definiert?

Grüße
geomath Auf diesen Beitrag antworten »

So, kleiner Nachtrag meinerseits: Die von dir gegebene Matrix ist ja nichts anderes als die Jordansche Normalform der Matrix A, in der die reellen und komplexen Komponenten der beiden Eigenwerte stehen, richtig?

wie komm ich denn dann weiter. Ich habe mittlerweile gelesen, dass eine Affindrehung entweder die Verkettung einer Euler-Affinität mit einer Drehung oder einer Streckscherung mit einer Drehung ist.

Dann fehlt mir allem voran erstmal der Drehwinkel, ich hab gelesen, dass man den über die Formel rausbekommt. Stimmt denn das?

Grüße
geomath Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, es lässt mich nicht los:

Gehen wir nochmal von deiner Ähnlichkeitsnormalform aus, die habe ich ja verstanden. Diese Matrix können wir ja auch schreiben als

*

jetzt ist doch die erste Matrix eine zentrische Streckung um den Faktor und die 2.Matrix eine Drehmatrix D mit Determinante +1,
wobei sich dann der Drehwinkel aus ergibt.

Stimmt das soweit? Wenn ja, wäre das ja des Rätsels Lösung, oder?

Alternativ: ginge auch folgender Ansatz: Wir gehen davon aus, dass die Abbildung eine Affindrehung ist. Wie sieht dann die Drehung aus?





Wir erhalten also ein Bild des Basisvektors! Frage:

Können wir jetzt so weitermachen:

--> Drehmatrix(hilf)=


und daraus folgern, dass Drehmatrix D= ist?

Dann könnten wir eine Matrix C erzeugen, die mit der Drehmatrix multipliziert wieder die Matrix A aus der Aufgabenstellung ergibt mit C=

Im Prinzip müssten doch beide Ansätze das richtige Ergebnis liefern, nur dass der 2. Weg in der Ausgangsbasis bleibt, während bei dem 1. Weg ein Basiswechsel stattfindet... oder?


Grüße
ein verwirrter geomath
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