Korrelationseffizient p bestimmen

23.07.2011, 15:42

ltec-flame1

Korrelationseffizient p bestimmen

Meine Frage:
[attach]20645[/attach]

Meine Ideen:
Formel Kovarianz:
KOV(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y)
Formel Korrelationseffizient:
p= KOV(X,Y)/(Wurzel)VAR(X)VAR(Y)

Was für Grenzen nehme ich bei den Randdichten?
Also ich weiß dass man die Randdichten folgendermaßen bestimmt:

f1(X)= $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x,y) \, dy \end{eqnarray*}$

nun weiß ich aber nicht welche Grenze wo hin gehört

24.07.2011, 10:37

Huggy

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RE: Korrelationseffizient p bestimmen
Wenn du über y integrierst, nimmst du die Grenzen des Bereichs von y, die in der Aufgabe angegeben sind. Analog gehst du beim Integrieren über x vor.

24.07.2011, 13:17

ltec-flame

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ist das nicht wegen der Unabhängikeit gleich=0?

24.07.2011, 13:21

Huggy

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Zitat:

Original von ltec-flame
ist das nicht wegen der Unabhängikeit gleich=0?

Welches das? Wenn du die Kovarianz bzw. den Korrelationskoeffizienten meinst, ja die sind 0. Und das kannst du über die Unabhängigkeit von X und Y zeigen. Aber die musst du halt zeigen.

24.07.2011, 13:57

ltec-flame

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ok gut

Unabhänigig gilt, wenn :
$\begin{eqnarray*} \int_\infty^\infty \int_\infty^\infty xy \! f1(x) f2(y) \, dxdy \end{eqnarray*}$

das untere Interval geht bis minus unendlich habs aber nicht hinbekomen Augenzwinkern

also das ist die Formel für Unabhängigkeit, und meine Funktion ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{96} xy \end{eqnarray*}$

nur ich verstehe noch nicht ganz wie ich das dann beweise, dass es unabhänig ist

24.07.2011, 14:10

Huggy

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Zitat:

Original von ltec-flame
$\begin{eqnarray*} \int_\infty^\infty \int_\infty^\infty xy \! f1(x) f2(y) \, dxdy \end{eqnarray*}$

Was soll das heißen? Das ist kein vernüftiger Satz! Da müsste doch noch ein = ... kommen.

Zwei Zufallsgrößen X und Y, die eine gemeinsame Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_{XY}(x, y) \end{eqnarray*}$ haben, sind genau dann unabhängig wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} f_{XY}(x, y) = f_X(x)f_Y(y) \end{eqnarray*}$

Dabei sind $\begin{eqnarray*} f_X(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_Y(y) \end{eqnarray*}$ die zugehörigen Randdichten. Das musst du zeigen. Und die Integrale gehen natürlich immer von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Aber für die Berechnung kannst du sie auf den Bereich einschränken, in dem der Integrand nicht identisch Null ist. Der Rest trägt ja nichts bei.

24.07.2011, 22:16

ltec-flame

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also ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{96} xy = f_{X} (x) * f_{Y} (y) \end{eqnarray*}$ ?

25.07.2011, 07:45

Huggy

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Das musst du zeigen.
Wenn ihr dann den von mir genannten Satz schon hattet, bist du fertig.

25.07.2011, 09:04

ltec-flame

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ich muss gestehen, dass ich es immer noch nicht ganz verstanden hab. denn
$\begin{eqnarray*} f_{X}(x) = \int_1^5 \! (\frac{1}{96}xy) \, dy = [\int_1^5 \frac{1}{192}x*y^{2}] = \frac{1}{48} x f_{Y}(y) = \int_0^4 \! (\frac{1}{96}xy) \, dx = [\int_0^4 \frac{1}{192}y*x^{2}] = \frac{1}{48} y Aber \frac{1}{96}xy \neq \frac{1}{48}x *\frac{1}{48}y \end{eqnarray*}$

oder habe ich jetzt komplett den Durchblick verloren?

25.07.2011, 10:02

Huggy

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Kannst du mal vorrechnen, wie du da auf 1/48 kommst. Das ist für beide Randdichten falsch!

25.07.2011, 11:55

ltec-flame

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$\begin{eqnarray*} f_{X}(x)= \int_1^5 \! (\frac{1}{96}xy) \, dy \Rightarrow \left[\frac{1}{96*2}xy^2\right]_{1}^{5} \Rightarrow \left[\frac{1}{192}xy^2\right]_{1}^{5} \Rightarrow (\frac{1}{192}*5^2x - \frac{1}{192}*1^2x) f_{X}(x)= \frac{1}{8}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{Y}(y)= \int_0^4 \! (\frac{1}{96}xy) \, dx \Rightarrow \left[\frac{1}{96*2}yx^2\right]_{0}^{4} \Rightarrow \left[\frac{1}{192}yx^2\right]_{0}^{4} \Rightarrow (\frac{1}{192}*4^2y - \frac{1}{192}*0^2y) f_{Y}(y)= \frac{1}{12}y \end{eqnarray*}$

ich hab den Fehler gefunden, ich hatte vergessen zu quadrieren smile

25.07.2011, 12:31

Huggy

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