Skizzieren v. Mengen komplexer Zahlen

17.12.2006, 21:54

Donny

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Skizzieren v. Mengen komplexer Zahlen

Hallo.
Ich soll die Menge komplexer Zahlen skizzieren:

$\begin{eqnarray*} \{z \in \mathbb C : |z+1| \le |z+i| \} \end{eqnarray*}$

Ich weiss wohl, dass ich ein Koordinatensystem zeichnen muss, wobei die X-Achse für die reelen Zahlen und die Y-Achse für die imaginären steht. Wie ich allerdings etwas aus der Menge ablese, weiss ich nicht.

Könnt ihr mir das erklären?

Danke!

Gruß
Donny

17.12.2006, 22:21

AD

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$\begin{eqnarray*} z = x+iy \end{eqnarray*}$ in die Ungleichung einsetzen, umformen, vereinfachen und erkennen, was für ein Gebilde in der xy-Ebene das darstellt.

Im vorliegenden Fall kommt da was sehr, sehr einfaches heraus.

17.12.2006, 22:27

Donny

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Hallo.

Ich setze da also z=x+iy ein

$\begin{eqnarray*} \{x+iy \in \mathbb C : |x+iy+1| \le |x+iy+i| \} \end{eqnarray*}$

Was kann ich un umformen?

Ich sehe, dass ich etwas ausklammern kann

$\begin{eqnarray*} \{x+iy \in \mathbb C : |x+1+iy| \le |x+i(y+1)| \} \end{eqnarray*}$

Umformen klingt so danach, als sollte ich die Ungleichung auch noch lösen?

Ich wüsste da aber nicht, wie ich mit den Beträgen umgehe.

Und wie kann ich jetzt ablesen, um welches geometrisches Gebilde es sich handelt?

Grüße von Donny

17.12.2006, 22:28

Mathespezialschüler

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Wie ist denn der Betrag definiert?

Gruß MSS

17.12.2006, 22:38

Donny

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Reden wir vom Betrag einer komplexen Zahl oder einer Funktion?
Die von einer komplexen Zahl ist doch als euklidischer Abstand oder so repräsentiert, heisst:

Abstand von a bis b

$\begin{eqnarray*} ((a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2) \end{eqnarray*}$

Reden wir davon?

Dann wäre aber a und b komplexe Zahl.

Bei einer Funktion ist die Definition doch einfach nur so, dass die Zahl des Betrages nicht negativ ist. Also immer positiv die Zahl - durch den Betrag.

17.12.2006, 23:20

Mathespezialschüler

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Naja, es geht hier natürlich schon um den Betrag einer komplexen Zahl (den man klarerweise auch als Funktion auffassen kann). Der ist für $\begin{eqnarray*} z=a+b\operatorname i \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ .

Setz das doch einfach mal ein!

Gruß MSS

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17.12.2006, 23:28

Leopold

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Verfolge den Weg, den Arthur und MSS vorgeschlagen haben, zu Ende. Dann kannst du dir auch einmal meinen Weg zu Gemüte führen:

In diesem einfachen Fall kann man die Aufgabe nämlich auch rein geometrisch lösen. Dazu muß man nur wissen, daß $\begin{eqnarray*} \left| z - a \right| \end{eqnarray*}$ den Abstand der Punkte $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in der Gaußschen Zahlenebene angibt. Am besten schreibt man die Ungleichung so:

$\begin{eqnarray*} \left| z - (-1) \right| \leq \left| z - (- \operatorname{i}) \right| \end{eqnarray*}$

Und da empfiehlt es sich, zunächst den Fall der Gleichheit zu betrachten: Wo liegen denn alle Punkte, deren Abstand von $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ derselbe wie von $\begin{eqnarray*} - \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ ist?

Und auf diesem geometrischen Weg solltest du dasselbe herausbekommen wie auf dem rechnerischen, den Arthur vorgeschlagen hat.

17.12.2006, 23:37

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Leopold
Verfolge den Weg, den Arthur und MSS vorgeschlagen haben

Vorgeschlagen habe ich den nicht. Mir ist auch zuerst der geometrische eingefallen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

18.12.2006, 20:09

Donny

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Mojn

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Naja, es geht hier natürlich schon um den Betrag einer komplexen Zahl (den man klarerweise auch als Funktion auffassen kann). Der ist für $\begin{eqnarray*} z=a+b\operatorname i \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ .

Setz das doch einfach mal ein!

$\begin{eqnarray*} \{x+iy \in \mathbb C : |x+iy+1| \le |x+iy+i| \} \end{eqnarray*}$

Ähm *gruebel*

x+iy+1 = x+1+iy

Nun sei x+1 = a und b =y

Dann setze ich das ein

$\begin{eqnarray*} \{x+iy \in \mathbb C : \sqrt{(x+1)^2+(y)^2} \le |x+iy+i| \} \end{eqnarray*}$

Und was mache ich mit dem zweiten Term? Da klammere ich erst einmal aus

x+i(y+1)

Nun ist eben x=a und y+1=b

$\begin{eqnarray*} \{x+iy \in \mathbb C : \sqrt{(x+1)^2+(y)^2} \le \sqrt{x^2+(y+1)^2}\} \end{eqnarray*}$

Nun sehe ich noch ein paar Binome, die ich mal auflöse

$\begin{eqnarray*} \{x+iy \in \mathbb C : \sqrt{x^2+2x+1+y^2} \le \sqrt{x^2+y^2+2y+1}\} \end{eqnarray*}$

Vielleicht sortiere ich etwas, damit es augenscheinlicher ist

$\begin{eqnarray*} \{x+iy \in \mathbb C : \sqrt{x^2+2x+1+y^2} \le \sqrt{x^2+1+y^2+2y}\} \end{eqnarray*}$

Und jetzt soll ich die Funktion $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+2x+1+y^2} \end{eqnarray*}$ skizzieren sowie $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1+y^2+2y}\} \end{eqnarray*}$ ??

Also mit dem Zeichnen habe ich auch Probleme unglücklich

unglücklich

18.12.2006, 20:14

AD

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Zitat:

Original von Donny
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+2x+1+y^2} \le \sqrt{x^2+1+y^2+2y} \end{eqnarray*}$

Schon mal an Quadrieren gedacht? smile

smile

18.12.2006, 20:21

Donny

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Dann fällt die Wurzel weg:

$\begin{eqnarray*} x^2+2x+1+y^2 \le x^2+1+y^2+2y \end{eqnarray*}$

Und das muss alles auf eine Seite bringen? (also minus x^2, minus 1, minus y^2 - 2y

$\begin{eqnarray*} x^2-x^2+2x+1-1+y^2-y^2-2y \le 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-2y \le 0 \end{eqnarray*}$

Und das wird skizziert?

In ein normales kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x und y?

18.12.2006, 20:23

Donny

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Sorry,
ich wollte noch durch 2 teilen und nach y umstellen

Dann hätte ich ja

$\begin{eqnarray*} y \ge x \end{eqnarray*}$

Und dann ist das gesuchte meine Fläche, die über der Geraden x liegt.

18.12.2006, 20:41

AD

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Ja, über der Geraden $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ . Freude

Freude

19.12.2006, 21:00

Donny

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Hallo!

Vielen Dank für die deutliche Erklärung zum Ziel, aber eine Frage habe ich für das Zeichnen noch.

Wie beschrifte ich die Koordinatenachsen?

Ganz normal mit x und y oder doch mit Rez und Imz?

Mit x und y doch, da das Ergebnis auch nichts mit mit IM z zu tun hat.

Oder?

19.12.2006, 21:06

AD

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Ich halte die Beschriftung "Re(z)" und "Im(z)" für die vernünftigste Variante.

20.12.2006, 22:52

Leopold

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Einmal etwas ganz Originelles: Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?

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