Doppelpost! Kontrolle meines Weges 2

24.07.2011, 13:34	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
Kontrolle meines Weges 2 Meine Frage: gegeben: $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^5 \to \mathbb R^4, x \mapsto Mat^B_C(f) \cdot x = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & -2 \\ -6 & -6 & -3 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 2 & 4 & -4 \end{pmatrix}\cdot x \end{eqnarray}$ rang, bild, kern bestimmen Meine Ideen: rang: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & -2 \\ -6 & -6 & -3 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 2 & 4 & -4 \end{pmatrix} \sim IV-III \sim > \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & -2 \\ -6 & -6 & -3 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 6 & 6 & 3 & 5 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sim II+IV,IV-3I \sim >\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\sim I+III,IV+II \sim > \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim I-II \sim >\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow rang(f)=3 \end{eqnarray}$ kern: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow x_2=0, x_3=s, x_5=t, x_4=2t, x_1= -0,5s-t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow ker(f)=span\left\{ \begin{pmatrix} -0,5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ bild: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & -2 \\ -6 & -6 & -3 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 2 & 4 & -4 \end{pmatrix} \sim I-2III, II-2III, IV-III, 0,5V \sim > \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sim V+IV \sim > \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . da rang(f)=3 ist $\begin{eqnarray} im(f)=span\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ stimmt das alles? also ist es vollständig, korrekt und auch von der notation richtig? danke Edit (jester.): Zeilenumbrüche in die Formeln eingefügt, damit der Beitrag keine Überbreite mehr hat.
24.07.2011, 14:33	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine Ergebnisse sind richtig, aber du machst dir viel zu viel Arbeit. Eine sinnvollere Vorgehensweise wäre folgende: Bestimme das Bild. Die Dimension des Bildes ist der Rang, womit die erste Rechnung komplett hinfällig wird. Dann ist $\begin{eqnarray} \dim\ker (f)=5-{\rm Rang}(f)=2 \end{eqnarray}$ , also lies einfach zwei linear unabhängige Elemente ab, die im Kern liegen (das geht hier spätestens nach einer oder höchstens zwei Zeilenumformungen sehr leicht).
24.07.2011, 14:47	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für deine antwort jester.! also soll ich dann für den kern einfach 2 zeilen mir rauspicken, die linear unabhängig sind und dann als spaltenvektoren schreiben?
24.07.2011, 15:02	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das dürfte wohl kaumfunktionieren. Ich meine folgendes: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 2 & -2 \\ -6 & -6 & -3 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 2 & 4 & -4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2&2&1&2&-2 \\ 0&0&0&2&-4 \\ 0&1&0&1&-2 \\ 0&1&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Führe diesen einen Umformungsschritt (erste Zeile 3-mal, 1-mal, -2-mal auf 2., 3., 4. Zeile addieren) aus und lies den Kern, dessen Dimension du kennst, ab.
24.07.2011, 19:20	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmmm schade.... und ich fand mein weg zuerst den rang zu bestimmen und dann einfach die x'e aus der schon präparierten matrix raus zu arbeiten damit man den kern hat schon genial :P
24.07.2011, 20:06	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
@ fleurita: Ich komm mir ganz schön veräppelt vor, in dem Thread Kontrolle meines Weges meinstest du, dass du die Aufgabe nicht weiter bearbeiten möchtest und dann postest du die selbe Aufgabe noch einmal in einem neuen Thread. Ich schließe deshalb hier wegen Doppelpost.
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