Gruppenoperation |
25.07.2011, 11:36 | Songuti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gruppenoperation Ich habe eine Frage zu folgender Abbildung: f: G --> Sx, wobei Sx die symmetrische Gruppe ist, G eine Gruppe und X eine Menge. F ist ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung sieht, wie folgt aus: f(g,x)=f(g)*x. Mir ist nicht klar, warum dies eine Operation von G auf X definiert. Mein Ansatz: Ich muss die Eigenschaften einer Operation überprüfen. Für eine Abbildung G x X --> X (g,x) --> g.x soll gelten
Bei obiger Abbildung, wird die 1 jedoch auf die identische Abbidlung abgebildet (die Eins in Sx). Das heißt ich hätte dann Id*x. Damit weiß ich nichts anzufangen. Viele Grüße, Marcus |
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25.07.2011, 12:38 | Rako | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"f(g,x)=f(g)*x" drückt aus, wie auf operiert (auch wenns eine verwirrende schreibweise ist. Wenn G auf X opieriert, dann ist allgemein f die Permutationsdarstellung dazu. Sie gibt nur an, wie Elemente aus G sich auf Elemente aus X auswirken. Ich kenne es so: Für und setzt man: also eine Permutation aus . Gibt auch die schreibweise: g*x und x*g.. alles geschmackssache. Gruß |
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25.07.2011, 12:51 | Songuti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Rako, Vielen Dank für deine Antwort. Mir ist ein Fehler unterlaufen. Die Operationsabbildung sieht wie folgt aus (die bennene ich im folgenden mit p) p(g,x)=f(g)*x, wobei f ein Homomorphismus von G nach Sx ist. Ich frage mich, warum dies eine Gruppenoperation darstellt. Wenn ich die erste Bedingung überprüfen möchte: p(1,x)=1' * x, wobei 1' ja das neutrale Element von f ist (also die identische Abbildung). Ich verstehe dabei nicht, was die identische Abbildung (abgekürzt Id) verknüpft mit x bedeuten soll. Also: was sagt mir Id*x? Warum ist Id*x=x? Oder ist das Definition. |
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25.07.2011, 14:38 | Rako | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also damit G auf X operiert, überprüfst du die 2 Bedingen. (Assoziativität und Wirkung des Einselements von G auf X). Assoz. Eins. weil f ein Homomorphismus ist. Und ist eine Permutation aus die jedes x auf sich selbst abbildet. Bsp. Sym(3) operiert auf der Menge der Zahlen von 1,2,3. Dein f wäre dann z.B. . Dann ist mit x=1 und g= (1,2) zB. da (1,2) die 1 auf die 2 Abbildet. Gruß |
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25.07.2011, 14:56 | Songuti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Rako, Genau hier liegt mein Problem, ich sehe nicht, warum Z.b. , was ungleich 1 ist, oder? Gruß |
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25.07.2011, 15:36 | Rako | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bleiben wir mal bei den allgemeinen Gruppen. Du willst zeigen: für alle (wobei X im übrigen nicht unbedingt eine Gruppe ist, kann auch ne Menge {rot, blau, grün...} sein.) Du hast(so hast du deine Grp.operation definiert.) Da f ja laut deinem ersten Post ein Gruppenhomomorphismus von G nach ist (diesen nennt man im allgemeinen die Permutationsdarstellung von G auf X) bildet f das Einselement von G auf das Einselement von ab, wobei ist. Es folgt: (letzteres liest du als ) Verstehst du das? Hast du denn die Symmetrischen Gruppen verstanden? Nochmal: Wenn G auf einer Menge X operiert, dann ordnet man jedem mit Hilfe einer Permuationsdarstellung (hier f) eine Permatation aus zu. |
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25.07.2011, 15:38 | Rako | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Übrigens stand hier schon die Lösung in deinem ersten Post:
sind die Bijektionen von X nach X. Und Id ist die die x auf x, y auf y, usw. schickt. -.- Sollte mich vllt reggen. Gruß |
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25.07.2011, 16:28 | Songuti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, wenn ich es als Id(x)=x lese ist es mir klar. Ich hatte es als Id*x gelesen (also Id mal x). Gruß |
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25.07.2011, 16:32 | Rako | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist nur eine andere Schreibweise. Sym_X operiert halt in natürlicherweise auf X. Gruß |
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25.07.2011, 17:03 | Songuti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich wollte noch einmal sicherheitshalber nachfragen. Warum kann ich danach umklammern? X ist ja nicht notwendigerweise eine Gruppe. Oder habe ich die Schreibweise noch nicht ganz verstanden? Gruß |
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25.07.2011, 17:34 | Rako | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil Abbildungen assoziativ wirken. Da steht ja wieder wobei f(g) und f(h) Abbildungen (Permutationen aus sind). Allgemein gilt für Abbildungen f,g: Gruß |
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