Mengenbeweis

25.07.2011, 13:21

Cheftheoretiker

Mengenbeweis

So, zum zweiten mal... Teufel

Seien X und A beliebige Mengen. Man beweise oder widerlege durch ein Gegenbeispiel.

$\begin{eqnarray*} X\Delta(A\cap B)=(X\Delta A)\cap(X\Delta B) \end{eqnarray*}$

Ich habe mir als erstes drei Mengen definiert.

$\begin{eqnarray*} X:=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A:=\{4,5,6\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B:=\{7,8,9\} \end{eqnarray*}$

Linke Seite.

$\begin{eqnarray*} \{1,2,3\}\Delta(\{4,5,6\}\cap\{7,8,9\}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{1,2,3\}\Delta\{\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

Rechte Seite.

$\begin{eqnarray*} (\{1,2,3\}\Delta\{4,5,6\})\cap(\{1,2,3\}\Delta\{7,8,9\}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\{1,2,3,4,5,6\})\cap(\{1,2,3,7,8,9\}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{1,2,3\}=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

Laut meinen Lösungen muss diese Behauptung allerdings falsch sein. Wo liegt mein Fehler? unglücklich

25.07.2011, 13:23

klarsoweit

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RE: Mengenbeweis
Was soll denn $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ sein? Etwa $\begin{eqnarray*} \setminus \end{eqnarray*}$ ?

25.07.2011, 13:27

Cheftheoretiker

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RE: Mengenbeweis
Das soll die symmetrische Differenz sein.

http://img845.imageshack.us/img845/2300/9a9639d8d699512765d6b30.png

25.07.2011, 13:42

klarsoweit

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RE: Mengenbeweis

Zitat:

Original von hangman
Laut meinen Lösungen muss diese Behauptung allerdings falsch sein. Wo liegt mein Fehler? unglücklich

Du hast eben zufällig ein Beispiel erwischt, wo die Aussage funktioniert. Augenzwinkern

Versuche es mal mit:
$\begin{eqnarray*} X:=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A:=\{1,2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B:=\{2,3\} \end{eqnarray*}$

25.07.2011, 13:53

Cheftheoretiker

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RE: Mengenbeweis
Okay, da klappt es nicht.
Ich habe wohl wirklich unglückliche Zahlen erwischt... smile

Danke!

25.07.2011, 14:06

lgrizu

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RE: Mengenbeweis
Das ist nicht zufällig so, die Aussage ist genau dann richtig, wenn die Mengen paarweise disjunkt sind, wie man einfach zeigen kann:

$\begin{eqnarray*} X \Delta (A \cap B)=X \Delta \emptyset=X=(X \cup A) \cap (X \cup B)=((X \cup A) \setminus \emptyset ) \cap ((X \cup B) \setminus \emptyset)=(X \Delta A) \cap (X \Delta B) \end{eqnarray*}$

Aber aufpassen, das ganze gilt wirklich nur, wenn die Schnitte paarweise leer sind, ansonsten stimmen nicht alle Glecihheitszeichen.

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