Dreieck Lineare Algebra

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ringobingo Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieck Lineare Algebra
Meine Frage:
Seiten eines Dreiecks a1=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} a2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

a)Berechnen Sie alle Seitenlängen des Dreiecks und ermitteln Sie die Größe der Winkel im Dreieck.
b) Bestimmen Sie den Höhenvektor h des Dreiecks, der senkrecht auf der Grundseite a1 steht,
und berechnen Sie damit die Fläche des Dreiecks.


Meine Ideen:
zu a)
Länge der Vektoren:
a1=\sqrt{(-1)^{2}+(1)^{2} } =\sqrt{2}
a2=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2} } =\sqrt{2}
a3=? Hier weiss ich jetzt nicht was ich machen soll
Habe versucht mittels Pythagoras die Länge von a3 zu berechnen. Denn in Aufgabenteil b geht ja hervor dass der Höhenvektor h (a3) senkrecht auf der Grundseite a1 steht.
a1=b
a2=c
a3=a

Satz des Pythagoras:
a^{2} *b^{2} =c^{2} => a^{2}=c^{2}-b^{2} =>a^{2}=(\sqrt{2} )^{2}- (\sqrt{2} )^{2} => a=\sqrt{0}
Das kann aber nicht sein dass der Vektor die Länge 0 hat.
Wie muss ich da vorgehen um die länge des Vektors a3(a) zubekommen?

Kommen wir nun zu den Winkeln im Dreieck:
Da ja in b hervorgeht dass h senkrecht auf a1 steht sind dass doch 90 grad

\gamma=90
\alpha =arcos(\frac{<a1,a2>}{| a1|*| a2 |})
=arcos(\frac{-1*0+1*1+0*1} {\sqrt{2} *\sqrt{2} } )
=arcos(\frac{1}{2})=60
\alpha +\beta *\gamma =180
\beta =180-90-60=30
Diese Überlegung ist doch richtig oder?

Nun zu b)
Hier weiss ich nicht wie ich den Höhenvektor bestimmen soll. Wie muss ich da vorgehen damit ich diesen bekomme?
Da ja h senkrecht zu a1 steht kann man für die Fläche die Formel F=\frac{a1*h}{2} verwenden.


Würde mich auf Antworten freuen

MFG
ringobingo
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieck Lineare Algebra
Die fehlende Seite ist einfach die Differenz der beiden gegebenen Vektoren, zwei Vektoren spannen ein Parallelogramm auf, seine Diagonale ist die Summe der beiden Vektoren, das sollte bekannt sein.

Das ganze ist einfache Geometrie und hat in Hochschulmathe nichts verloren, das ist eher Schulmathematik und wird deshalb verschoben.

Die Höhe bekommt man entweder über die senkrechte Projektion heraus oder über die berechnung der Fläche des Dreiecks.

Edit: Achso, die Winkel ergeben sich richtigerweise durch den Kosinussatz.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Frage:
Seiten eines Dreiecks

a)Berechnen Sie alle Seitenlängen des Dreiecks und ermitteln Sie die Größe der Winkel im Dreieck.
b) Bestimmen Sie den Höhenvektor h des Dreiecks, der senkrecht auf der Grundseite a1 steht,
und berechnen Sie damit die Fläche des Dreiecks.


Meine Ideen:
zu a)


Länge der Vektoren:


Das heisst dann aber auch dass meine Winkelberechnungen falsch sind. Wie muss ich denn dar vorgehen?
Meine alte Überlegung war ja:

Da ja in b hervorgeht dass h senkrecht auf a1 steht sind dass doch 90 grad

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist dein Dreieck nicht rechtwinklig, das steht auch nirgendwo.

Also zuerst einmal die drei Seiten, diese sind a_1, a_2 und a_1-a_2. (Wie gesagt, die Summe ist die Länge der Diagonale des Parallelogramms, was ergibt sich dann?)

Dann mit dem Kosinussatz mindestens zwei Winkel berechnen, einen hast du ja schon, der ist richtig, der Winkel zwischen a_1 und a_2.

Man kann aber auch an den jewieligen Seitenlängen sehen, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, also ist jeder Winkel wie groß? (kann man auch mit dem Kosinussatz überprüfen).

Edit: Achso, ich hatte oben Summe geschrieben, meinte aber Differenz, das Edit hat sich mit deinem Beitrag überschnitten.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Also d.h a_3=a_1-a_2=(-1,0,-1)
Länge von a_3 ist dann Wurzel von 2.

Dadurch das alle 3 Seiten die gleich Länge haben, sind die Winkel auch gleich d.h jeder hat genau 60 grad.

Das ist ja so richtig?

Das mit der Projektion ist doch folgendermaßen:

Ich projekziere ja a3 auf den Vektor a1. Das Resultat was das rauskommt substrahiere ich ja von a3 und habe dann meinen Höhenvektor

Also mit der Formel: h=a3-p wobei p die Projektion von a3 auf a1 ist

Oder liege ich damit falsch?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Dadurch, dass die Seiten gleich lang sind kann man auch wieder einfach die Vektoraddition benutzen, denn die Höhe teilt die Seiten in zwei gleich lange Strecken.

Hier einmal ein wenig geometrische Veranschaulichung:


[attach]20678[/attach]

Das hier ist das Parallelogramm, du hast jedoch die Vektoren X und Z gegeben, also:

[attach]20679[/attach]

Senkrechte Projektion ist nicht nötig, da:

[attach]20680[/attach]


Was ergibt sich also für den Höhenvektor?
 
 
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

h=z/2 ist das richtig?
h=(-1/2,1/2,0)???
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, schau dir an dem 1. Bild noch einmal an, was es mit Vektoraddition auf sich hat und übertrage das auf das letzte Bild.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe nicht was du mir damit sagen willst. Glaube bin zu blöd um die Sache zu verstehen unglücklich
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn 2 seiten eines 3ecks gleich lang sind und der von ihnen eingeschlossenen winkel beträgt, ist es in der regel ein ganz besonderes 3eck, nämlich verwirrt

damit kann man sich viel arbeit ersparen Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also noch ein Bildchen. Augenzwinkern

[attach]20681[/attach]

Nun ist X die Diagonale des von 1/2 Z und H aufgespannten Parrallelogramms, was wissen wir über die Vektoraddition?

Wie kann man also H durch bereits bekannte Vektoren darstellen?

Edit: @riwe: Das hatten wir bereits, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt ist schon klar, es geht nun noch um die Berechnung der Höhe mittels Vektoraddition.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

So müsste es doch sein oder?


lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann die senkrechte Projektion, hier geht es viel einfacher, mit ganz simpler Vektoraddition, in meinem ersten Post hatte ich noch nicht gesehen, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, deshalb der Vorschlag mit der senkrechten Projektion.

Das kann man machen, man muss aber auf die Komponenten achten, der Vektor h ist nicht der von dir dargestellete, das, was du dargestellt hast ist die senkrechte Projektion von a_2 entlang a_1, also das gleiche wie 1/2*a_1.

Der Höhenvektor muss jetzt immer noch mit der Vektoraddition bestimmt werden.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin am Ende. Ich weiss nicht wie ich diesen Vektor bestimmen soll.
in deiner Zeichnung steht a1 für? und a2 für?

h=a1+a2?????

Aber dann habe ich noch eine Frage, du schreibst ja es ist ein gleichseitiges Dreieck, denn alle Seiten haben die gleiche länge und haben die gleichen Winkel. Das ist mir klar. Wie würde dich dann bei einem Dreieck die höhe bestimmen wenn es nicht ein gleichseitiges Dreieck wäre?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wie würde dich dann bei einem Dreieck die höhe bestimmen wenn es nicht ein gleichseitiges Dreieck wäre?


Mit der Senkrechten Projektion eines Vektors entlang eines anderen Vektors und bilden der Differenz.

Also noch einmal:

Die Diagonale eines Parallelogramms ist die Summe der beiden Vektoren, die dieses Parallelogramm aufspannen.

Hier wird ein Parallelogramm von und aufgespannt, die Diagonale ist der Vektor .

Nun ist das ganz einfaches Umstellen nach einer Unbekannten unter Verwendung der Rechenregeln in Vektorräumen.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Das einzigste was ich jetzt noch sagen kann ist
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras (a/2)²+h² = a².
Daraus folgt h =(1/2)*sqr(3)*a.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man Pythagoras anwendet, dann bitte mit den Beträgen der Vektoren, also

, was auf einen unschönen Wurzelausdruck mit den drei Unbekannten des Vektors h führt.


Aber jetzt mal ganz ehrlich, ich habe dir in dem letzten Post folgendews geschrieben:

Zitat:


Die Diagonale eines Parallelogramms ist die Summe der beiden Vektoren, die dieses Parallelogramm aufspannen.

Hier wird ein Parallelogramm von und aufgespannt, die Diagonale ist der Vektor .


Nun stelle einmal die Diagonale des angesprochenen Parallelogramms als Summe der beiden aufspannenden Vektoren dar.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Wenn man Pythagoras anwendet, dann bitte mit den Beträgen der Vektoren, also

, was auf einen unschönen Wurzelausdruck mit den drei Unbekannten des Vektors h führt.


Aber jetzt mal ganz ehrlich, ich habe dir in dem letzten Post folgendews geschrieben:

Zitat:


Die Diagonale eines Parallelogramms ist die Summe der beiden Vektoren, die dieses Parallelogramm aufspannen.

Hier wird ein Parallelogramm von und aufgespannt, die Diagonale ist der Vektor .


Nun stelle einmal die Diagonale des angesprochenen Parallelogramms als Summe der beiden aufspannenden Vektoren dar.


ok das Problem ist eher auf meiner Seite. Ich komme aus Luxemburg und Deutsch ist also nicht meine Muttersprache, deswegen gibt es glaube ich Sachen die ich nicht so deute wie Sie zu deuten sind.

Also du sagst ja die Diagonale d=a1+a2.
Aber was bedeutet aufgespannt?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, okay, Vokabelprobleme. Wenn du so etwas früher sagst kann man besser darauf eingehen und du kannst immer gerne nachfragen, wenn du einen Begriff nicht verstehst oder er dir unbekannt ist.

Aufgespannt bedeutet, dass die Vektoren ein Parallelogramm erzeugen, dazu noch einmal ein Bildchen:

[attach]20682[/attach]

Dieses Parallelogramm wird von 1/2 Z und H erzeugt, also aufgespannt.

Die Diagonale ist X.

Zitat:


d=a1+a2.


Das ist die Diagonale des Parallelogramms, das von a_1 und a_2 erzeugt wird.

Das Parallelogramm, das wir nun betrachten ist aber von 1/2 a_1 und H erzeugt, die Diagonale ist a_2, also das ganze noch einsetzen und nach H auflösen.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Edit lgrizu: Das Zitat ist überflüssig, man weiß auch so, worauf du dich beziehst, da nicht notwendige Zitate den Post nur unnötig verlängern hab ich das entfernt.

d.h 1/2 a_1 + h=a_2 und das ganze nun h auflösen
h=a_2 - 1/2a_1
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, das ist richtig.

Nun noch ausrechnen und fertig.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann war es nur das Problem dass ich die Sätze nicht richtig verstanden habe.

Aber um nochmal was zu kontrollieren ob ich die Sache verstanden habe:

Nehmen wir an dass wieder die 2 gleichen Vektoren a1 und a2 benutzt werden. Nur diesmal wird gesagt, dass diese beiden Vektoren ein Parallelogramm bilden.

Dann kann ich ja aufgrund von den beiden Vektoren die beiden Diagonalen berechnen mit:

d1=a1+a2
d2=a2-a1

Und der Winkel zwischen den beiden Diagonalen könnte man ja mit
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, ist richtig.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

ok jetzt habe ich das ganze verstanden.

Ich danke dir für deine Hilfe und vorallem für deine Geduld mir das ein paar mal zu erklären.

Vielen Vielen Dank
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du noch Probleme hast, immer gerne melden.

Als Hinweis vielleicht noch: Schreib in Zukunft bereits in deinen ersten Post, dass Deutsch nicht deine Muttersprache ist und du nicht alle Begriffe kennst, dann kann man von vornherein Rücksicht darauf nehmen.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich habe noch mit einer anderen Sache Probleme habe dies aber schon hier im Forum gepostet und hoffe das mir jemand helfen kann.
Ja das mit der deutschen Sprache werde ich dann nächstes mal direkt schreiben, damit die Leute wissen womit sie es zu tun haben smile
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch etwas kleines zu dieser Aufgabe:

Wenn das Dreieck nun in eine Ebene liegt. Nun möchte ich die Ebenengleichung mit orthonormalen Richtungsvektoren angeben.

Ebengleichung: r=r1+t1*u1+t2*u2

Kommen wir nun zu orthonormalen Richtungsvektoren:
Diese Vektoren müssen also othogonal und normiert sein.

In diesem Fall würde man ja wie folgt vorgehen:


-> normiert

-> <u1,u2> muss 0 sein damit sie orthogonal sind

Testen:


Neuer u2:





Normiert:


Also sieht die Ebenengleichung mit orthonormalen Richtungsvektoren folgendermaßen aus:


Ist das richtig was ich da von mir gebe ?smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du wendest also Gram Schmidt an, die Kontrolle sollte leicht fallen, denn einen auf (-1,1,0) senkrecht stehenden Vektor, der in der Ebene liegt, in der auch a_2 liegt kennen wir bereits, das ist unsere ebend errechnete Höhe.

Also bilden h und a_1 aus der vorangegangenen Aufgabe eine Orthogonalbasis.

Wir müssen also diese beiden nur noch normalisieren.

Dein Ansatz nach Gram Schmidt ist richtig, wenn es denn diesmal orthogonale Projektion sein soll, aber das Ergebnis stimmt nicht, es ist .

Gib den alten und den neuen Vektoren auch einmal unterschiedliche Bezeichnungen, sonst verwirrt das nur.

Ich würde zuerst die Vektoren orthogonalisieren und danach normalisieren, denn

ist nicht wirklich schön.

Alles in Allem, der Ansatz ist richtig, irgendwo hast du dich verrechnet.

Edit: Und nun wird es doch Hochschulmathematik.....
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

dann ist dass doch falsch auch vom ansatz was ich geschrieben habe. ich habe ja a1 und a2 genommen und du schreibst ich muss a1 und h nehmen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

a_1 und h stehen bereits senkrecht aufeiander, die müsste man nur noch normieren und kann sie zur Kontrolle verwenden.

Der Ansatz mit Gram Schmidt von dir ist richtig, also dieser Ansatz:



Wenn du das richtig ausrechnest wirst du feststellen, dass hier auch der Vektor h herauskommt.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
a_1 und h stehen bereits senkrecht aufeiander, die müsste man nur noch normieren und kann sie zur Kontrolle verwenden.

Der Ansatz mit Gram Schmidt von dir ist richtig, also dieser Ansatz:



Wenn du das richtig ausrechnest wirst du feststellen, dass hier auch der Vektor h herauskommt.


ja stimmt es kommt (1/2,1/2,1) und den muss ich noch normieren und dann kommt heraus
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast du dich bei h verrechnet.

Es ist

, das hast du hier auch richtig geschrieben:

Zitat:

d.h 1/2 a_1 + h=a_2 und das ganze nun h auflösen
h=a_2 - 1/2a_1


Also
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

habe es falsch geschrieben ist ok, habe genau den gleichen Vektor wie h heraus bekommen smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, du hast dann auch richtig normiert, also alles gut.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Alles klar, du hast dann auch richtig normiert, also alles gut.


ich hoffe smile habe ihn mat oben mit angegeben.

Aber ich glaube ich werde mich morgen nochmal mit ein paar Sachen melden die mir dann noch nicht klar sind.


Ich danke dir nochmals recht herzlich für deine Hilfe

Vielen Dank
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Immer gerne melden, wenn du Fragen hast. Aber eröffne bitte für die nächste Frage einen neuen Thread.

Wink
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