Ableitungen

26.07.2011, 12:23

Krinsekatze

Ableitungen

Hey hab mal ne frage

wenn ich eine funktion habe, die mir den weg den ein körper nach einer gewisen zeit zurückgelegt hat angibt und ich diese ableite, dann kann ich ja durch einsetzen in die ableitung die momentane änderungsrate ausrechen was bei meinem beispiel ja die Geschwindigkeit wäre

ich bekomme dann bspw. einen wert wie 2m/s raus

aber der weg ändert sich ja an dieser stelle garnicht also weiß ich nicht wie ich es zu verstehen habe wenn es heißt die momentane änderungsrate gibt an um wie viel sich ein wert an einer bestimmten stelle ändert

kann mir da einer weiterhelfen?

lg dennis

26.07.2011, 12:30

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitungen
Stell dir einfach einmal vor, wie die Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt bei einer Beschleunigung ermittelt werden kann. Wir können einmal die Änderung zwischen zwei Zeitpunkten betrachten, die um den Faktor h auseinanderliegen:

Diese ist $\begin{eqnarray*} \frac{f(t_0+h)-f(t_0)}{t_0+h-t_0} \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun h gegen 0 laufen lassen, so bekommen wir die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t_0, und das ganze ist der Differentialquotient, also die Ableitung an der Stelle t_0.

Betrachten wir das ganze aus der Sicht, dass die Differentiale bereits bekannt sind, dann kann man die Ableitung bilden und die Stelle t_0 einsetzen.

26.07.2011, 18:53

Krinsekatze

Auf diesen Beitrag antworten »

aber wenn wir h gegen null gehen lassen, dann teilen wir ja durch eine winzige zahl und dass macht doch uner ergebnis riesig

26.07.2011, 19:03

terri

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja quasi der Witz an der Sache:

Der Zähler wird sehr klein, und der Nenner wird sehr klein. Man hat also sie Situation $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ .

Man kann also h nicht einfach gleich Null setzen, sondern muss den Grenzwert betrachten. Und da kommt dann eben die momentane Änderung heraus, bei einer Ort-Zeit-Funktion z.B. die Geschwindigkeit.

Das ganze ist eben ein Grenzwert, das bedeutet, wenn du immer kleinere Zeiten betrachtest, nähert sich dein Differenzenquotient beliebig nahe an dem Differentialquotienten an.

26.07.2011, 19:05

kasi

Auf diesen Beitrag antworten »

schau dir die formel von Igrizu mal genau an.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(t_0+h)-f(t_0)}{t_0+h-t_0} \end{eqnarray*}$

im prinzip steht hier $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

in der schule kann man auch überleben ohne den differentialqoutient zu verstehen. aber in allen mathe büchern, bei denen differentialrechnung eingeführt wird ist ein schönes bildchen dabei. damit wird das ganze vll einleuchtender.

die erste ableitung deriner ortsfunktion ergibt die geschwindigkeitsfunktion deren ableitung wiederum ergibt die beschleunigung.

26.07.2011, 19:21

DmitriJakov

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab grade furchtbare Bauchschmerzen, weil es in diesem Beispiel ausgerechnet um infinitesimale Änderungen von Ort und Zeit geht. Das wird seit rund zweieinhalb tausend Jahren kontrovers diskutiert (siehe Zenon und seine Schildkröte gegen Achilles http://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_un...childkr%C3%B6te)

Das Problem wurde m.E. nicht von Leibnitz gelöst, sondern von Heisenberg. Also bitte Vorsicht bei minimalsten Ortsveränderungen. Denn hier endet die kontinuierliche Welt.

26.07.2011, 19:25

Krinsekatze

Auf diesen Beitrag antworten »

danke ich kenne mich mit dem differenzenquotienten aus aber die formel geht doch nur weil sich das h am ende sowiso kürzt es kommt auf das h an was im zähler übrig bleibt denn wenn das gegen null geht dann hat man die ableitung

das h im nenner kürzt sich immer weg

26.07.2011, 19:42

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Krinsekatze

das h im nenner kürzt sich immer weg

Nein, nicht notwendigerweise, betrachte einmal den Differntialquotinten der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2^x \end{eqnarray*}$ .

Der Differenzenquotient ist wichtig, um das Verständnis zu erleichtern, wir haben zwei Stellen, die um h auseinanderliegen und berechnen die Änderung zwischen diesen beiden Stellen, das ist die Steigung der Gerade, die durch die beiden Stellen geht.

Betrachten wir nun die Änderungsrate in einem Punkt, so ist das anschaulich die Steigung der Tangente, also der Differentialquotient.

26.07.2011, 20:38

Krinsekatze

Auf diesen Beitrag antworten »

ok du hast recht ich habs mit 2^x ausprobiert

kannst du mir jetzt sagen was ich mit dem term $\begin{eqnarray*} [(2^h)-1]/h \end{eqnarray*}$ mache?

wenn h->0 geht, dann geht ja 2^h->1 und dann hätte ich ja da oben 1-1 stehen

kannst du mir erklären was ich da jetzt mache?

26.07.2011, 20:41

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist die Sache, es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{2^h-1}{h}= ln(2) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Aber diese Funktion sollte nur als Beispiel dienen, dass sich das h nicht zwangsläufig herauskürzt.

Hast du denn nun verstanden, was es mit der momentanen Änderungsrate auf sich hat?

26.07.2011, 20:47

Krinsekatze

Auf diesen Beitrag antworten »

ja des is leider nur blöd zu sagen dass die momentane änderungsrate angibt wie sich ein wert zu EINEM zeitpunkt ändert

sie gibt ja eigentlich einen momentwert an oder?

ich hab des alles verstanden auch mit dem h gegen null

ich bin der beste in mathe in meinem jahrgang (15) punkte aber ich interfrage alles immer weil nur damit zu rechnen befriedigt mich nicht wirklich

kannst du mir aber jetzt noch erklären warum das ganze ln(2) ist?

wenn ich für h genai 1/1000 einsetze bekomm ich ln(2) raus

ich will aber wissen warum bitte

26.07.2011, 20:51

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr denn in der Schule die Zahl e und den ln definiert?

Die Frage dient dazu, dass man nicht auf eine dir Unbekannte Definition zurückgreifen muss.

Die Einstellung ist löblich, leider ist mit der Verkürzung des Abiturs wenig Zeit, tiefergehend auf einige Zusammenhänge einzugehen, aber das Problem kann man im Off-Topic bereich bequatschen.....

26.07.2011, 20:56

Krinsekatze

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich weiß was die zahl e ist und was der ln ist

ich bin schon durch selbststudium viel weiter als wir in der schule sind

kannst dus mir nicht so erklären wie du es verstehst?

26.07.2011, 21:15

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann benutzen wir einmal die Folgendarstellung von e:

$\begin{eqnarray*} e=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} e^x=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$

Das ist Äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} e=\lim_{h \to 0} \left(1+h \right)^{\frac{1}{h}} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} e^x=\lim_{h \to 0} \left(1+xh \right)^{\frac{1}{h}} \end{eqnarray*}$

Nun bilden wir die Umkehrfunktion, dazu lassen wir der Einfachheit halber einmal den Grenzwert weg:

$\begin{eqnarray*} y=e^x=\left(1+xh \right)^{\frac{1}{h}} \Rightarrow y^h=1+xh \Rightarrow y^h-1=xh \Rightarrow \frac{y^h-1}{h}=x \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir also eine beliebige Definition von e wählen (Das funktioniert genau so gut mit der Reihendarstellung) und den ln als Umkehrfunktion der e-Funktion definieren erhalten wir über die Bildung der Umkehrfunktion eine Darstellung des logarithmus.

26.07.2011, 21:29

Krinsekatze

Auf diesen Beitrag antworten »

ok ist doch etwas komplizierter aber einigermaßen verständlich

nur der letzte part mit der umkehrfunktion is noch nich so ganz klar

26.07.2011, 21:39

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Deshalb die Frage, wie e und der ln definiert worden sind.

Ich habe jetzt eine mögliche Definition der Zahl e (die Definition durch die Folgendarstellung) und damit der Exponentialfuntion zugrunde gelegt und den ln definiert als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Es gibt weitere (äquivalente) Definitionen von exp(x) und ln(x).

Was eine Umkehrfuntion ist weißt du aber, oder?

Wenn nicht musst du dich da noch einmal reinlesen.

26.07.2011, 21:59

Krinsekatze

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ähm an der stelle wo du 1/n durch h erstetzts:

wenn man wirklich h->o gehen lässt wie kann denn dann e rauskommen das ist wirklich mein größtes problem (1+h)^1/h

da kommt alles andere raus als 2,718.... warum?

26.07.2011, 22:09

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Definition von e, die ich verwendet habe, wir definieren e so.

Irgendeine Definition von e müssen wir ja zugrunde legen.

Wie kommst du den darauf, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} \end{eqnarray*}$ nicht e sein könnte? verwirrt

Die Zahl ist doch nicht definiert durch 2,718....., sondern eben durch obige Definition, diese ist "zufällig" 2,718....

Die Idee dabei ist Wachstum.

26.07.2011, 22:18

Krinsekatze

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ne du hast recht ich habs kapiert danke Augenzwinkern

26.07.2011, 22:18

Krinsekatze

Auf diesen Beitrag antworten »

so leute wie dich vermiss ich in meiner schule

jemand mit dem man mal richtig mathematik machen kann und von dem man auch noch was lernt smile

26.07.2011, 22:22

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist folgende:

Wir verzinsen ein Kapital k mit 100% in einem Jahr und schlagen die Zinsen bereits nach einem halben Jahr drauf, wir erhalten das Kapital nach einem Jahr:

$\begin{eqnarray*} k \cdot (1+\frac{1}{2}) \cdot (1+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Schlagen wir die Zinsen bereits nach einem drittel Jahr drauf so erhalten wir als Kpaital nach einem Jahr:

$\begin{eqnarray*} k \cdot (1+\frac{1}{3}) \cdot (1+\frac{1}{3}) \cdot (1+\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

Teilt man nun das Jahr in n Teile, so erhält man:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

Deshalb heisst exp(x) auch "natürliches Wachstum", da sich die Folge in natürlicher Weise fortsetzt.

Zitat:

Original von Krinsekatze
so leute wie dich vermiss ich in meiner schule

jemand mit dem man mal richtig mathematik machen kann und von dem man auch noch was lernt smile

Danke für die Blumen Blumen

Neue Frage »

Antworten »

Ableitungen

Verwandte Themen