Gruppen Allgemein

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Fetterchefkoch Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen Allgemein
Also ich habe gewisse Fragen zu Gruppen. Da ich keine Ahnung haben, was ich damit anfangen soll.

1. Wie viele Generatoren hat die zyklische Gruppe . Natürlich habe ich auch im internet recherchiert und herausgefunden, dass eine zyklische Gruppe nur von einem Element erzeugt wird. Also . Leider hilft mir diese Definition gar nicht weiter.

2. Wie viele Elemente hat die Gruppe ? Das Problem ist hier, dass ich nicht weiss wie eine solche Gruppe aussehen soll. Hat die Gruppe nur 20 Elemente, weil da ned 20 steht... wahrscheinlich nicht xD. Oder muss ich wegen dem "*" immer die Zahl n mit 20 multiplizieren? oder steht die für modulo?

Bin froh für jeglichen Denkanstoss smile . Fetter
Rako Auf diesen Beitrag antworten »

hat in der Tat 20 Elemente. Nämlich 0 bis 19 (als Nebenklassenrepräsentanten geschrieben). Deine Definition von zyklischen Gruppen passt nicht ganz zu der gegebenen Gruppe. Versuchs mal lieber mit:



Du brauchst also ein Element von der Ordnung 20. Welches musst du denn 20 mal aufaddieren damit du wieder das neutrale Element rausbekommst?
Rako Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rako
hat in der Tat 20 Elemente. Nämlich 0 bis 19 (als Nebenklassenrepräsentanten geschrieben). Deine Definition von zyklischen Gruppen passt nicht ganz zu der gegebenen Gruppe. Versuchs mal lieber mit:



Du brauchst also ein Element von der Ordnung 20. Welches musst du denn 20 mal aufaddieren damit du wieder das neutrale Element rausbekommst?


Wenns noch hilft: Neutrales Element hier ist 0+20Z und ich meine 20 mal aufaddieren bis zum ersten mal die 0 rauskommt. smile

Gruß
Fetterchefkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin mir hier nicht ganz sicher ob ihr das falsch verstanden habt, aber das sind 2 nicht von einander abhängende Aufgaben.

Aber hab ich das richtig verstanden, dass die 2. Aufgabe 20 Elemente hat?

die 1. aufgabe hat auch 20 elemente? und die null wäre (20 * 20) mod 20?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gruppe aus Aufgabenteil 1 hat 20 Elemente, die aus Aufgabenteil zwei hat Elemente, wobei Phi die Eulersche Phi-Funktion ist.

Die Gruppe ist die sogennate Einheitengruppe von .

Beginnnen wir aber einmal systematisch mit Aufgabenteil 1.

Die Gruppe ist additiv und jedes Element der Gruppe soll als ein Vielfaches des Elemetes dargestellt werden können.

Bei additiven Gruppen ist es meist noch recht einfach, einen Erzeuger zu finden, du kannst dir ja mal überlegen, warum es keine gerade Zahl sein kann.
Fetterchefkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss jetzt also einen Erzeuger finden, mit dem ich alle Zahlen in darstellen kann. Habe ich das richtig verstanden? Ich müsste also eine Zahl finden womit ich jede Zahl darstellen kann.

Bitte korrigieren wenn ich jetzt vollkommen falsch bin smile
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst eine Zahl a finden und zwar so, dass mit n*a für n aus der Gruppe ( n durchläuft also die Elemente 0-19) jedes Element der Gruppe erzeugt wird.

Einen einfachen Erzeger gebe ich die mal vor, das ist a=1, denn

















usw.

Edit: Vielleicht noch ein Tip: Die Gruppe hat insgesant sieben Erzeuger. Augenzwinkern
Fetterchefkoch Auf diesen Beitrag antworten »

ok... danke für den hilfreichen tipp.
Ich weiss jetzt wenigstens wonach ich suchen muss.

Mit der 3 funktioniert es auch also 3 ist ein weiterer Generator. Ich glaube, dass ich alle Zahlen ausschliessen kann, die teiler von 20 sind. Also 2, 4, 5 usw.

Jedoch funktioniert es mit 6 auch nicht. Also alle geraden Zahlen auch ausschliessen.

Dann bleiben noch 1, 3, 7, 11, 13, 15, 17, 19 und zusätzlich muss die Zahl auch noch eine Primzahl sein. Also würde noch die 15 rausfliegen. Also habe ich zum Schluss die Zahlen 1, 3, 7, 11, 13, 17, 19. Also hätte ich 7 Generatoren.

Nach Überprüfung jeder dieser Zahlen sind diese sicher Generatoren.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, die Erzeuger sind richtig, hat aber nichts mit Primzahl zu tun, das ist hier nur "zufällig" so (das hat schon seine Grund, deshalb die ""), bei ist die 11 zum Beispiel kein Erzeuger, obwohl Primzahl, bei ist die 6 ein Erzeuger, obwohl keine Primzahl.

Hat was mit Teilerfremdheit zu tun. Augenzwinkern

Kommen wir zu der zweiten Aufgabe, erst einmal bestimmen wir die Elemente von , welche sind das?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm auf 8 Erzeuger, da ist auch eine nicht Primzahl bei Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, stimmt, die 9 wurde vergessen, ist mir auch gerade aufgefallen....
Fetterchefkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist irgendwie klar, dass es die Zahlen sind, die teilerfremd sind. Noch kurz zur Frage, wieso ist 15 nicht teilerfremd?

denn ich hätte eigentlich gesagt, dass ist.

Also zur 2. Aufgabe: Hier ist keine zyklische Gruppe mehr gemeint. Hab grad noch die Definition nachgeschlagen .
Also sind alle Elemente in dieser Gruppe die haben. Wären das dann nicht auch hier alle teilerfremden Zahlen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Noch kurz zur Frage, wieso ist 15 nicht teilerfremd?


Ist die Frage dein Ernst? ggT(15,20)=5

Teilerfermdheit bedeutet doch nicht, dass eine Zahl die anderre teilt, die Definition von Teilerfremdheit ist:

Zwei ganze Zahlen a und b sind teilerfremd, wenn gilt ggT(a,b)=1.


Zitat:

Also sind alle Elemente in dieser Gruppe die haben. Wären das dann nicht auch hier alle teilerfremden Zahlen


Das stimmt, die Einheitengruppe besteht aus allen zu 20 teilerfremden Zahlen (habe ich aber auch schon in meinem ersten Post geschrieben).
Fetterchefkoch Auf diesen Beitrag antworten »

das habe ich bis jetzt nicht gecheckt xD. Sry wegen dem Teilerfremd xD.Natürlich sind 15 und 20 nicht teilerfremd. Ich hab falsch überlegt xD.

Also haben wir die gleichen Elemente wie in Aufgabe 1.

Noch als Zusatzfrage steht: Wie viele dieser Elemente sind oder , oder beides?

Muss ich da jetzt für z.b. rechnen was ja schon stimmt. Also wäre 1 in dieser Gruppe.
für wäre dann ja, was also auch heisst, dass 3 auch zu dieser Gruppe gehört.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau so musst du rechnen, du nimmst für x ein Gruppenelement und potenzierst das, danach mod 20 und schauen, ob 1 heraus kommt.

Kann man recht einfach mit ausprobieren Lösen.

Du kannst dir ja mal überlegen, warum es wohl kein Element x in der Einheitengruppe gibt, das mit 4 und 5 potenziert 1 ergibt, die Option "beides" fällt damit heraus.
Fetterchefkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit einheitsgruppe meinst du die Elemente die nicht in der Gruppe sind?

Falls ein element x teiler von 20 ist dann ist auch jegliche Potenz eines elements x teiler von 20. Also ist sicher kein element, dass nicht schon vorher in der gruppe war jetzt in der Gruppe.

hast du das gemeint?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Die Einheitengruppe mod 20 ist die Gruppe der zu 20 teilerfremden Zahlen.

Zitat:

Falls ein element x teiler von 20 ist dann ist auch jegliche Potenz eines elements x teiler von 20


Das ist ja mal völlig daneben, sicherlich ist 10 ein Teiler von 20, aber 10²=100 ist kein Teiler von 20.

Zitat:

Also ist sicher kein element, dass nicht schon vorher in der gruppe war jetzt in der Gruppe.


Und das verstehe ich nicht.
Fetterchefkoch Auf diesen Beitrag antworten »

ok...
ich sehe ich habe mich da "ein wenig" falsch ausgedrückt. ich muss ja schlussendlich wieder rechnen ggT(x^4,20). Falls dieser nicht 1 ist, ist dieses Element nicht in der Gruppe.

sag mir jetzt bitte nicht, dass ich hier auch falsch überlegt habe
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ist eine Zahl zu 20 teilerfremd, so ist auch jede Potenz dieser Zahl zu 20 teilerfremd.

Durch die Bildung von Potenzen erhält man keine neuen Primfaktoren, die Primfaktoren treten nur mit einer höheren Vielfachheit auf.

Im Klartext:




Aber was hat das mit der Aufgabenstellung zu tun?

Du sollst doch die Zahlen aus bestimmen, die mit 4 oder 5 Potenziert 1 mod 20 ergeben.
Fetterchefkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Also sind das die 9 Zahlen, die ich in Aufgabe 1 bekommen habe.

Das war mal ned Zangengeburt aber danke viel mal für die Geduld und gute Nacht xD.

War bestimmt nicht die letzte Frage die ich hier gestellt habe smile .
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, die Ordnung aller Elemente der Einheitengruppe ist 4, es gibt kein Element mit der Ordnung 5.
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