Eigenvektoren symmetrischer Matrizen

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Wetal Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren symmetrischer Matrizen
Hallo, ich habe folgende Frage.

Sei eine beliebige reellwertige Matrix. Ich weiß, dass

eine symmetrische Matrix mit reellen Eigenwerten ist und dass die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten paarweise orthogonal (unitär?) sind.

Frage: Kann man sagen, dass alle Eigenvektoren zu positiven (>0) Eigenwerten reellwertig sind?

Wenn ja, könnte man das irgendwie zeigen? Ich vermute, dass es stimmt. Kann es aber nicht beweisen.

\edit:

Kann man vllt damit argumentieren, dass der verallgemeinerte Eigenraum zu einem EW



auf jeden Fall ein Unterraum des bleibt?
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Okay... ich verstehe leider nicht so recht deine Frage.
Über welchem Körper ist dein VR? (größer als gibt es ja bei Komplexen Zahlen nicht..)
Was kann man sonst über die Matrix die du untersuchst sagen?
Eigenvektoren in R können ja auch nur reelle Eigenwerte haben, da mit einem komplexen Eigenwert die Eigenvektoren nicht im R mehr wären und das ist ja quatsch. Ein Eigenwert in einem K-VR ist nur sinnvoll definiert wenn dieser Eigenwert auch aus dem Körper K kommt.
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenvektoren der Matrix X^TX sind auf jeden fall reellwertig, selbst wenn X komplexwertig war! Insbesondere sind sie alle nicht negativ ().

Nun betrachte ich alle Eigenwerte, die positiv sind (>0). Meine Frage ist halt, ob ich sagen kann dass alle Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten auch reellwertig sind. (Nicht ob die Eigenwerte zu reellen Eigenvektoren reellwertig sind. Über die will ich ja gerade eine Aussage treffen.)

Ich weiß zunächst nur, dass X reellwertig ist. Damit ist auch reellwertige und symmetrische.

Der Hintergrund ist die Singulärwertzerlegung, die für eine beliebige Matrix als



definiert ist. V besteht aus normierten Eigenvektoren von . Ich möchte die Zerlegung auf reellwertige Matrizen einschränken und sagen, dass V reellwertig ist und somit

gilt.
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber irgendwas stimmt da nicht was du schreibst.
Ich hab mal eine komplexe Matrix hergenommen und es ausgerechnet.
Die Eigenwerte sind weder reell noch sind es die Eigenvekotoren.
Siehe hier:
Rechnung
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

syr, du hast natürlich recht. das gilt zumindest nur für rellwertige Matrix X. ist allerdings auch nicht so wcihtig, da ich mich ja nur auf reellwertige matrizen beschränke.
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar ist das so, es gibt doch sogar den Satz dass alle Symmetrischen Matrizen in R Diagonalisierbar sind. Also muss es nur reelle Eigenwerte geben. Da du ja komplexe Einträge der Matrix durch deine Vorraussetzung verbietest.
Übrigens gibt es EW und EV für gleiche Dimensionen bei Bild und Def Bereich....
 
 
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Auli
Ja klar ist das so, es gibt doch sogar den Satz dass alle Symmetrischen Matrizen in R Diagonalisierbar sind. Also muss es nur reelle Eigenwerte geben.


das ist mir klar, hab ich auch öfters geschrieben. meine frage bezieht sich auf Eigenvektoren. sind die nun auch reellwertig oder nicht? wie kann ich es gegebenfalls zeigen?

edit: der fehler in meiner aussage vorhin lag darin, dass für komplex matrizen man nicht , sondern betrachtet. wobei . Dann hat auch diese Matrix nur reellwertige Eigenwerte. Lehrer
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Auli aber sagt, die reellen symmetrischen Matrizen sind diagonalisierbar über R => Man hat einen vollen Satz an EV in R, d.h. alle Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix sind reellwertig.

Oder ist da ein massiver Denkfehler drin?
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