Lösungen Mx=ax

27.07.2011, 20:35	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungen Mx=ax Hallo, ich habe mit folgender Aufgabe Probleme, obwohl ich in Eigenwerten und lin. Algebra gut bin komme ich nicht auf den Trick, bzw. mir fällt es schwer die Aufgabe auf den Punkt zu lösen. $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1.) Zeigen Sie daß die Gleichung $\begin{eqnarray} M\vec{x} =\alpha \vec{x} \end{eqnarray}$ neben der trivialen Lösung auch andere besitzt falls det(M-aE)=0. Begründen Sie exakt! Ich habe hierzu die Matrix wie folgt aufgestellt und die det(M-aE) berechnet: $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} a-\alpha & b \\ c & d-\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(a-\alpha )(d-\alpha )-cb=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha ^2 -a\alpha -d\alpha +ad-cb =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha ^2 -\alpha (a+d)+ad-cb=0 \end{eqnarray}$ So hier wüsste ich nicht weiter, würde sagen sobald der Teil $\begin{eqnarray} -\alpha (a+d)+ad-cb \end{eqnarray}$ größer als 0 ist gibt es Eigenwerte und somit andere Eigenvektoren mit der Gleichung $\begin{eqnarray} M\vec{x} =\alpha \vec{x} \end{eqnarray}$ Was sagt Ihr dazu? Zum zweiten Teil der Aufgabe kann ich leider noch weniger sagen: 2.) Schließen sie aus 1. das $\begin{eqnarray} M\vec{x} =\alpha \vec{x} \end{eqnarray}$ genau zwei weitere Lösungen neben der trivialen hat wenn gilt: $\begin{eqnarray} (a-d)^2+4bc>0 \end{eqnarray}$
27.07.2011, 22:52	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Tarsuinn! ich denke, du musst hier genau auf diese Form kommen und nicht von ihr ausgehen! Also setz doch mal an: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \,=\, \lambda \cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann bekommst du 2 Gleichungen für x und y und kommst somit (falls x und y ungleich 0 sind) direkt auf die Form, die gesucht ist, nämlich dass nichttriviale Lösungen bestehen, wenn det(M-aE)=0 (a ist bei mir nur lambda, da sonst 2 mal a vorkommen würde!) Gruß Johnsen
27.07.2011, 23:10	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich weiß dann das es nicht triviale Lösungen gibt. Wie argumentiere ich dann bei der zweiten Teilaufgabe? Durch einsetzen und umformen?
31.07.2011, 09:32	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner einen Tipp?
21.09.2011, 18:44	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Wollte die Aufgabe nochmal aufgreifen, eventuell findet sich jetzt jemand der Teil 2.) versteht! Die Lösung der erste Teilaufgabe ist ja: $\begin{eqnarray} x(a-\lambda )+by=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(d-\lambda )+cx=0 \end{eqnarray}$ Das carakteristische Polynom wäre: $\begin{eqnarray} \alpha ^{2}-\alpha (a+d)+ad-cb=0 \end{eqnarray}$

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