Schnitt normaler Untergruppen

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28.07.2011, 09:09

mathinitus

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Schnitt normaler Untergruppen

Hallo!

Muss der Schnitt normaler Untergruppen eigentlich wieder normal sein?

28.07.2011, 09:51

tmo

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Da der Beweis über die (übliche) definierende Eigenschaft von Normalteilern sehr banal ist, hier mal was anderes:

Betrachte zu Normalteilern $\begin{eqnarray*} M,N \leq G \end{eqnarray*}$ die Abb.

$\begin{eqnarray*} \eta: G \mapsto G/M \times G/N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g \mapsto (gN,gM) \end{eqnarray*}$

und insbesondere ihren Kern.

28.07.2011, 12:02

mathinitus

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Ja, der Kern ist gerade $\begin{eqnarray*} M\cap N \end{eqnarray*}$ . Damit wäre die Sache für endliche Schnitte gezeigt.

Ich denke, man kann es aber auch sehr leicht für beliebige Schnitte sehen. Sei h Element dieser Schnitte, dann muss gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} g^{-1}hg \end{eqnarray*}$ auch in diesen Schnitten liegt und zwar für alle g der Gruppe. Da h Element der Schnitte ist, liegt aber $\begin{eqnarray*} g^{-1}hg \end{eqnarray*}$ in allen Untergruppengruppen, die wir schneiden, da diese schon normal sind. qed.

28.07.2011, 13:06

tmo

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Genau.

28.07.2011, 15:49

Auli

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Ich schreibs einfach mal hier rein:
Ich habe tierische Probleme mit Normalteilern und Faktorgruppen.
Also ja schön und gut ich kenne eine Definition eines Normalteilers, aber ich komm da nicht so recht nicht weiter. Erst recht nicht verstehe ich was die Faktorgruppen dann machen, was zum Beispiel genau bedeutet die Notation
$\begin{eqnarray*} G/M \end{eqnarray*}$
Außerdem: Faktorgruppen
In unserem Skript wird dazu erstmal "Untergruppe" sozusagen als Äquivalenzgruppe eingeführt also: Sei A Gruppe, so definiert x~y :<=> x*y^-1 € B, eine Äquivalenzrelation, das nennt man dann Faktormenge ( stimmt das so?!).
Und dann raff ichs gar nicht mehr, dann bastelt man sich aus diesen Mengen ( also Untergruppen?!?!?!) wieder eine Gruppe und nennt sie Faktorgruppe?!

UND:
normalerweise haben Definitionen ja einen ganz bestimmten Sinn, also man kann mit den Strukturen die man definiert weiterarbeiten... was hilft mir diese Normalteiler Eigenschaft?

Wäre cool wenn mir jemand ein wenig Licht ins Dunkle bringen würde. Ich hatte das in LA I schon nicht verstanden und lerne es grade auf die Klausur, aber auch beim X-ten mal durchlesen scheint mir das alles immernoch sehr komisch.

28.07.2011, 15:57

mathinitus

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Also $\begin{eqnarray*} G/M \end{eqnarray*}$ ist erst einmal eine Menge. Diese Menge ist für alle Untergruppen M von G definiert. Jedes Element der Menge lässt sich als $\begin{eqnarray*} gM \end{eqnarray*}$ schreiben, wobei g aus G ist. Hast du verstanden, was $\begin{eqnarray*} gM \end{eqnarray*}$ ist?

28.07.2011, 16:03

Auli

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Man nimmt sich ein g aus G her und verknüpft es mit allen m aus M, oder ?

28.07.2011, 16:09

mathinitus

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Zitat:

Original von Auli
Man nimmt sich ein g aus G her und verknüpft es mit allen m aus M, oder ?

Genau, das gibt dann also wieder eine Menge, die Teilmenge von G ist. Im Allgemeinen aber keine Untergruppe von G, nur genau dann, wenn g schon aus M kommt.

Auf jeden Fall lässt sich auf der Menge $\begin{eqnarray*} G/M \end{eqnarray*}$ eine binäre Operation einführen, die $\begin{eqnarray*} G/M \end{eqnarray*}$ zur Gruppe macht, sofern M normal ist.

Dabei definiert man dann:
$\begin{eqnarray*} g_1M \cdot g_2M := (g_1 g_2)M \end{eqnarray*}$

Nun muss man nur noch nachweisen, dass diese binäre Operation $\begin{eqnarray*} G/M \end{eqnarray*}$ tatsächlich zur Gruppe macht, diese neue Gruppe nennt man dann Faktorgruppe.

Nun alles klar?

28.07.2011, 16:16

mathinitus

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Eine Frage an alle: Ich glaube, so wie ich das eben geschrieben habe, wäre $\begin{eqnarray*} G/M \end{eqnarray*}$ für jede beliebige Teilmenge M aus G eine Gruppe (M müsste noch nicht einmal Untergruppe sein). Verlangt man aber, dass außerdem
$\begin{eqnarray*} g_1M \cdot g_2M = \{g_1m_1g_2m_2 | m_1,m_2\in M\} \end{eqnarray*}$
gilt, zwingt man M eine normale Untergruppe von G zu sein. Sehe ich das richtig?

28.07.2011, 16:23

Auli

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Zitat:

Original von mathinitus

Zitat:

Original von Auli
Man nimmt sich ein g aus G her und verknüpft es mit allen m aus M, oder ?

Erstmal danke für deine schnellen Antworten....
Mhmh ja also ich brauche dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ normal ist, weil wenn M normal ist gilt:
$\begin{eqnarray*} g \cdot M = M \cdot g \end{eqnarray*}$ oder?
Okay, dann habe ich damit eine Gruppe, nur wie "hilft" mir diese Eigenschaft? Was sagt / was amche ich mit einer Faktorgruppe?
Außerdem, was hat es mit der Äquivalenzrelation auf sich?

Nochmal zu $\begin{eqnarray*} G/M \end{eqnarray*}$ : Macht man diese Verknüpfung von g mit den Elementen aus M für jedes g? Kann ja irgendwie nicht sein, weil dann wäre ja $\begin{eqnarray*} G/M = G \end{eqnarray*}$ , weil ja das neutrale Element in der Untergruppe enthalten sein muss. Also ist sind $\begin{eqnarray*} G/M \end{eqnarray*}$ eine Menge von Mengen? Weil sonst wäre das nicht eindeutig, oder stört das nicht?

28.07.2011, 16:31

mathinitus

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Zitat:

Original von Auli
Also ist sind $\begin{eqnarray*} G/M \end{eqnarray*}$ eine Menge von Mengen? Weil sonst wäre das nicht eindeutig, oder stört das nicht?

Ja natürlich ist $\begin{eqnarray*} G/M \end{eqnarray*}$ eine Menge von Mengen. Was wäre denn das neutrale Element der Faktorgruppe?

28.07.2011, 20:31

Auli

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Das müsste ja nach deiner Definition der Verknüpfung e*M sein, also das neutrale Element von g, da
$\begin{eqnarray*} g_1M \cdot g_2M := (g_1 g_2)M \end{eqnarray*}$
mit g2 = e zu
$\begin{eqnarray*} g_1M \cdot eM = (g_1 e)M =g_1 M \end{eqnarray*}$
wird, was ja gefordert is =)

28.07.2011, 20:41

mathinitus

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Zitat:

Original von Auli
Das müsste ja nach deiner Definition der Verknüpfung e*M sein, also das neutrale Element von g, da
$\begin{eqnarray*} g_1M \cdot g_2M := (g_1 g_2)M \end{eqnarray*}$
mit g2 = e zu
$\begin{eqnarray*} g_1M \cdot eM = (g_1 e)M =g_1 M \end{eqnarray*}$
wird, was ja gefordert is =)

Genau, wobei e*M=mM=M gilt für alle m in M.

28.07.2011, 21:11

Auli

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Wow super danke für deine Hilfe!
Zu der Abbildung oben: der Kern ist deswegen $\begin{eqnarray*} M \cap N \end{eqnarray*}$ , da für ein g daraus grade $\begin{eqnarray*} g \to (M(*e),N(*e)) \end{eqnarray*}$ gilt und der Kern eines Gruppenhomomorphismus immer auch ein Normalteiler ist?

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