Aufgabe Vektoranalysis

28.07.2011, 13:39

mzh

Aufgabe Vektoranalysis

Liebe Forummitglieder
Ich versuche die Aufgabe II.8 aus div,grad,curl zu lösen:
"An electrostatic field is given by $\begin{eqnarray*} \vec{E} = \lambda (\hat{\vec{i}}yz + \hat{\vec{j}}xz + \hat{\vec{k}}xy) \end{eqnarray*}$ , where $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ is a constant. Use Gauss' law to find the total charge enclosed by a surface $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ , the hemisphere $\begin{eqnarray*} z=(R^2 - x^2 - y^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ , its circular base in the xy-plane." Also man soll das Integral $\begin{eqnarray*} \iint_S \vec{E} \cdot \hat{\vec{n}} dS \end{eqnarray*}$ über der Obefläche S1 der Halbkugel und ihrer kreisförmigen Schnittfläche mit der xy-Ebene berechnen. Wenn das elektrische Feld symmetrisch ist, wie bei einer Punktladung oder zylindrischer Ladungsverteilung, dann kann man das Integral einfacher berechnen. Ich kann die Symmetrie hier aber nur schwer erkennen. Die Lösung sollte 0 sein, und darauf komme ich auch, wenn ich mal die Divergenz von E berechne, denn die ist gleich 0 also kann keine Ladung unter der Fläche eingeschlossen sein.

Trotzdem, wie löst man das mithilfe des Gauss'schen Satzes?

Vielen Dank für Hinweise.

28.07.2011, 14:30

gonnabphd

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Der Satz von Gauss (zumindest der mathematische) besagt ja gerade, dass

$\begin{eqnarray*} \iint_S \vec{E} \cdot \hat{\vec{n}} \;dS = \iiint_B \mathrm{div} \vec E \; dV \end{eqnarray*}$

D.h. meiner Ansicht nach hast du die Aufgabe schon mit dem Satz von Gauss gelöst indem du erkannt hast, dass die Divergenz - und damit der rechte Teil dieser Gleichung - verschwindet.

Wenn du mehr dafür arbeiten willst, kannst du natürlich die Hemisphäre parametrisieren (d.h. jeden der beiden Teile $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ einzeln) und das von Hand noch nachrechnen mit einem Oberflächenintegral.

28.07.2011, 14:51

mzh

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ich dachte mir das auch, allerdings geht es in der Aufgabe darum, Flächenintegration zu üben. Wie gesagt, ich suche Hilfe für die Integration, dh. ich komme nicht wirklich darauf, wie ich die Oberfläche parametrisieren soll. Ich habe schon die Transformationen zur Hand: $\begin{eqnarray*} x = r \sin \theta \cos \phi \end{eqnarray*}$ ... aber ist das wirklich der richtige Weg? Aus den resultierenden Ausdrücken, speziell nach Transformation der kartesischen Einheitsvektoren sind nicht so leicht erkennbar, dass das Vektorfeld für gegebenen Radius konstant ist und ohne diese Einsicht kann ich das \vec{E(r,phi,theta)}ja nicht als E(r) schreiben.

28.07.2011, 15:51

gonnabphd

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Zitat:

allerdings geht es in der Aufgabe darum, Flächenintegration zu üben.

Achso, ok. Du willst das also in Kugelkoordinaten machen, ja? D.h.

$\begin{eqnarray*} x &=& r \sin\theta \cos\phi \\ y &=& r\sin\theta \sin\phi \\ z &=& r\cos\theta \end{eqnarray*}$

Damit ist dann

$\begin{eqnarray*} \vec{E}(r, \theta, \phi) &=& \lambda (\hat{\vec{i}}yz + \hat{\vec{j}}xz + \hat{\vec{k}}xy) \\ &=& \lambda (\hat{\vec{i}}r^2\sin\theta \cos(\theta) \sin\phi + \hat{\vec{j}}r^2 \sin\theta \cos\theta \cos\phi + \hat{\vec{k}}r^2 \sin^2\theta \sin\phi \cos\phi) \end{eqnarray*}$

Was ist hier $\begin{eqnarray*} \vec n \; dS \end{eqnarray*}$ ? Berechne damit $\begin{eqnarray*} \vec E \cdot \vec n \; dS \end{eqnarray*}$ .

28.07.2011, 15:54

mzh

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Ok, Danke für den Hinweis. Das wird mir sicher helfen als Ansatz.

28.07.2011, 16:12

gonnabphd

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Übrigens: Das so berechnete Oberflächenintegral ist zwar = 0 (muss es ja...), aber nur von r wird der Integrand mit Sicherheit nicht abhängen! (Also mit vereinfachender Symmetrie ist hier nix - allerdings ist das auftretende Integral ansonsten nicht schwer zu lösen.)

ps.:

Zitat:

Ich versuche die Aufgabe II.8 aus div,grad,curl zu lösen:

Es ist immer zu begrüssen, wenn jemand erwähnt woher die Aufgabe stammt. Jedoch gibt es viele Bücher mit einem Abschnitt II.8... Augenzwinkern

28.07.2011, 17:40

mzh

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Zitat:

ps.:

Zitat:

Ich versuche die Aufgabe II.8 aus div,grad,curl zu lösen:

Es ist immer zu begrüssen, wenn jemand erwähnt woher die Aufgabe stammt. Jedoch gibt es viele Bücher mit einem Abschnitt II.8... Augenzwinkern

Und wieviele heissen 'div,grad,curl'? Augenzwinkern

28.07.2011, 18:40

gonnabphd

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Ah! Es gibt ganze Bücher über das? Dachte, das sei bloss der Titel des Kapitels II Big Laugh

Na dann nehme ich das von oben natürlich zurück. Hammer

28.07.2011, 19:05

mzh

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Ich find das Buch sogar richtig gut zum lesen.

Ich bin in einem Punkt noch unsicher: müssen die Einheitsvektoren nicht auch irgendwie transformiert werden? Die sind ja in kartesischen Koordinaten, richtig?

28.07.2011, 19:40

gonnabphd

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Zitat:

Ich bin in einem Punkt noch unsicher: müssen die Einheitsvektoren nicht auch irgendwie transformiert werden? Die sind ja in kartesischen Koordinaten, richtig?

Jop, die sind in kartesischen Koordinaten. Sie müssen aber nicht transformiert werden, weil man $\begin{eqnarray*} \vec {dS} \end{eqnarray*}$ ebenfalls in kartesischen Koordinaten ausdrückt.

Zitat:

Ich find das Buch sogar richtig gut zum lesen.

Glaub ich dir gern. (Wollte nicht sagen, dass es sich nicht lohnen würde ein Buch über das Thema zu verfassen / zu lesen - das bringt sicherlich was) Freude

29.07.2011, 09:11

mzh

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Zitat:

Jop, die sind in kartesischen Koordinaten. Sie müssen aber nicht transformiert werden, weil man $\begin{eqnarray*} \vec {dS} \end{eqnarray*}$ ebenfalls in kartesischen Koordinaten ausdrückt.

ja, eben das ist ja gerade das was mich verwirrt. dS muss auch noch aus kartesischen in sphärische Koordinaten transformiert werden, nicht? Also $\begin{eqnarray*} dS=dx*dy \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} dS=r^2*\sin\theta d\theta d\phi dr \end{eqnarray*}$

29.07.2011, 10:44

gonnabphd

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Das schon, ja. Was ich meinte, war: Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \vec n \; dS \end{eqnarray*}$ ist (mehr oder weniger) eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} \{r\} \times [-\pi/2, \pi/2]\ \times [0, 2\pi] \to \mathbb R^3 \\ (r, \theta, \phi) \mapsto \vec n (r, \theta, \phi) \, dS(r, \theta, \phi) \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite ist also im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , wie auch $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ . Deshalb muss man da die Einheitsvektoren nicht noch irgendwie transformieren.

29.07.2011, 11:01

mzh

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Ok, aber, ist $\begin{eqnarray*} dS=r^2sin\theta d\theta d\phi dr \end{eqnarray*}$ nicht ein Volumenelement? Ich soll ja aber "nur" über die Oberfläche der Halbkugel integrieren. Wie sieht denn das Integrationselement dann aus? Wenn es eine flache kreisförmige Scheibe wäre, dann wohl $\begin{eqnarray*} dS = rdr d\phi \end{eqnarray*}$ , aber hier ist es ja eine Kugeloberfläche.

29.07.2011, 13:57

gonnabphd

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Ah, sry. Hatte nicht richtig geschaut. r ist natürlich konstant.

Du kannst übrigens alles in einem Zug berechnen: Wenn $\begin{eqnarray*} \Psi(\theta, \phi) \end{eqnarray*}$ deine Parametrisierung ist, dann gilt

$\begin{eqnarray*} \vec n \; dS = \frac{\partial \Psi} {\partial \theta} \times \frac{\partial\Psi}{\partial \phi} \end{eqnarray*}$

29.07.2011, 14:46

mzh

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Ich kann leider die $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ Notation nicht verstehen. Meint das einfach "mal"?
Auch, mit " $\begin{eqnarray*} \Psi(\phi, \theta) \end{eqnarray*}$ ist eine Parametrisierung", meinst du damit $\begin{eqnarray*} x=r\cos (\phi), y=r\sin (\phi) \end{eqnarray*}$ ?
Zudem, der Normalenvektor kann ja über den Ortsvektor ausgedrückt werden, nicht?
Ja, eben. Also nur damit ich sicher bin, ich muss über phi und theta integrieren. Aber wie bestimme ich das Flächenelement auf der Kugeloberfläche der Halbkugel über die Integriert wird?
Besten Dank nochmals für die Hinweise bisher, finde diese Diskussion sehr hilfreich.

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