Umkehrung der Differentialrechnung

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Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrung der Differentialrechnung
Hey leute warum wird das integral umkehrung der differentialrechnung genannt.

Ich kann zwar mit integralen rechnen würde sie aber gerne genauso verstehen wie die Differentialrechnung.

wenn ich eine funktion ableite bekomme ich eine funktion die mir die steigung der nicht abgeleiteten funktion in jedem punkt angeben kann.

Mein problem ist warum ich um dieses rückgängig zu machen die fläche unter dem graphen der abgeleiteten funktion nehmen muss wo ist der zusammenhang?

lg dennis
kasi Auf diesen Beitrag antworten »

also deine frage im ganzen ist wohl zu komplex als das sie hier jemand beantworten würde.
differential und integralrechnung gehören zusammen, die existenz von nur einem der beiden ist nicht möglich.

vielleicht möchtest du dir mal Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler von Lothar Papula anschauen. dort wird so ziemlich alles was in der schule behandelt wird nochmals teilweise vertiefend dargestellt.
https://mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

obwohl ich mich mit Integralrechnung noch nicht auskenne, würde ich dennoch gerne wissen, was es damit auf sich hat^^:

Zitat:
Mein problem ist warum ich um dieses rückgängig zu machen die fläche unter dem graphen der abgeleiteten funktion nehmen muss wo ist der zusammenhang?


jemand wird dies doch kurz verständlich beantworten können, ohne gleich ein Buch hinzuziehen zu müssen ^^?
Healther Auf diesen Beitrag antworten »

@Krinsekatze:

Die Herleitung des Integrals basiert auf der Berechnung von Vierecken unterhalb des Funktionsgraphen. Sollte eigentlich so in der Schule eingeführt worden sein. verwirrt

Guck mal hier:
Klick mich

PS: Hoffe ich trete niemandem auf die Füße
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

hallo ich kann integral rechnen und ich weis auch wie man auf die fläche unter dem graphen kommt usw.

es geht mir nur darum zu verstehen warum die aufgeleitete funktion die funktionswerte angibt die dem flächeninhalt unter der normalen funktion entsprechen

wenn ich ableite weis ich genau was passiert und warum ich eine neue funktion erhalte aber da das ableiten das gegenteil des aufleitens ist und beim ableiten keine fläche drin vorkommt würde ich gerne wissen was denn dass fläche nehmen eigentlich ist und warum denn das ganze mit der stammfunktion in einklang gebracht wird
Healther Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn die Ableitung? Das ist nichts anderes, als die Tangentensteigung in einem Punkt x.
Diese berechnest du, in dem du dich diesem Punkt von rechts und links näherst und dabei die Gerade zwischen den Punkten (x+a|f(x+a)) und (x-a|f(x-a)) bestimmst.

Damit gibt die abgeleitete Funktion die Steigung im Punkt an.


Analog dazu für das Integral:
Das Integral ist die Summe von unendlich vielen Rechtecken unter der Kurve.
Also bestimmt die Stammfunktion die Fläche von x=0 bis x= x_0 unter der Kurve.


Wenn du ein praktisches Beispiel zum Vorstellen haben willst, nimm die zurückgelegte Entfernung eines Autos s(v), dass sich mit nicht konstanter Geschwindigkeit v bewegt.
Du kennst bestimmt den Zusammenhang Weg-Strecke bei konstanter Geschwindigkeit. Versuch mal von da aus die zurückgelegte Strecke zu berechnen, wenn v sich ändert.

Hoffe das dir das weiterhilft, sonst verstehe ich nicht was du möchtest unglücklich
 
 
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Vor einiger Zeit hatte doch schon einmal jemand diese Frage gestellt, suche doch mal ein bißchen nach.

Ich verstehe die "Bedenken" ja: Beim Differenzieren sucht man den Anstieg einer Funktion in einem Punkt. Wenn das Integrieren die Umkehrung des Differenzierens ist, müßte man ja nun eine Funktion suchen, deren Ableitung gleich der gegebenen Funktion ist. Stattdessen befaßt man sich mit Flächeninhalten...
Mir war selbst auch nicht mehr bewußt, wie denn eigentlich der Zusammenhang hergestellt wird und ich habe mein altes Schulbuch vorgekramt. Und siehe da, dort steht etwas darüber, was ich inzwischen völlig vergessen hatte:
Tatsächlich werden zunächst Flächeninhalte unter einer Funktion bestimmt. Dann läßt man diese Flächeninhalte sich verändern, indem man die Grenzen der Flächen verändert. Man erhält damit eine Funktion für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von der Grenze. Abschließend läßt sich zeigen, daß die Ableitung dieser Flächenfunktion gleich der gegebenen Funktion ist. (Also jener Funktion, die die Fläche begrenzt.)
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber halt wie erhält man denn diese funktion die den flächeninhalt in abhängigkeit von der grenze angibt ohne aufzuleiten?
Healther Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du den Link angeschaut den ich gepostet hatte?

Hier nochmal:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...cle.php?sid=864

Vom Prinzip her:

Sagen wir du möchtest wissen, wie groß die Fläche unter dem Graph f(x)=x von bis ist.
Eine erste Näherung wäre z.B. zu sagen wir nehmen die Breite () mal den Maximalwert der Funktion (hier als
Damit kämen wir auf . Wir wissen schonmal unsere Fläche muss kleiner als das sein.
Dann machst du das noch mal mit dem minmalwert der Funktion, was dann A = 0 ergibt.
Somit weißt du das gelten muss:
Um das ganze jetzt zu verbessern nimmt man nicht ein Rechteck, sondern mehrere. Wenn du jetzt die Anzahl der Rechtecke gegen unendlich streben lässt hast du zum einen den exakten Flächeninhalt und zum anderen das Integral
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

danke danke aber ich habe verstanden wie man auf die fläche kommt

ich kann das nur nicht die funktion und die stammfunktion in einklang bringen

ich weiss dass die stammfunktion die fläche in abhängigkeit der grenzen angibt

aber warum komme ich auf die fläche unter der funktion

wenn ich aber die stammfunktion ableite habe ich ja nichts mehr mit flächen zu tun verstehste?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Stammfunktion F(x) ableitest, bekommst du die Veränderung der Fläche auf einem winzig kleinen Intervall-Stück. Und das ist eben gleich der Rechteck-Höhe bzw. gleich dem Funktionswert f(x). Vielleicht hilft dir:

http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptsatz_d...chnung#Der_Satz

Schau dir den Beweis an und mache dir das an der Skizze klar.
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

ok leute wenn man die steigung einer funktion in einem punkt bestimmen will nimmt man den differenzialquotienten der einem dann die durchschnittliche änderung auf einem winzigen intervall gibt was dann momentane änderungsrate oder steigung genannt wird

wenn man eine funktion in den differntialquotient einsetzt kann man die funktion somit ableiten

gibt es auch solch ein anschauliches verfahren für die aufleitung?
Healther Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Klarsoweit sagte:

Die Stammfunktion entspricht der Größe der Fläche des Rechtecks auf einem winzig kleinen Intervall (sozusagen dann die Länge)
Krinsekatze Auf diesen Beitrag antworten »

kann es sein dass hier keiner richtig auf meine fragen eingeht

ich will nicht dass man mir hier die integralrechnung erklärt und ich weiss auch dass die stammfunktion die fläche unter der normalen funktion angibt

ich will doch nur verstehen warum die ableitung der stammfunktion die normlae funktion ergibt obwohl es bei der ableitung um die steigung der stammfunktion geht und da keine flächen auftauchen bei der ableitung
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Steigung einer Funktion gibt doch eine Änderungsrate an. Konstante Funktion: keine Änderung; lineare Funkition: gleichmäßige Änderung; z. B. y = x²: Änderung wird bei x > 0 immer stärker.
Wenn wir nun eine konstante Funktion haben, so daß die Flächen unter der Funktion Rechtecke mit zwar verschiedener Breite, aber immer derselben Höhe sind, ändert sich eben die Fläche der "unendlich schmalen Rechtecke" unter der Funktion nicht. Die Ableitung der Flächenfunktion ist 0 (+ c), was eine konstante Funktion, eben die ursprüngliche Funktion, iist.
Wenn die Flächen unter der Funktion ähnliche Dreiecke oder Trapeze sind, nimmt die Fläche der "Mini-Rechtecke" gleichmäßig zu bzw. ab und die Ableitung der Flächenfunktion ergibt eine lineare Funktion - wiederum die ursprüngliche Funktion, usw.

Noch ein Beispiel: Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden Fahrzeuges ist eine zur Zeitachse parallele Gerade (v = const). Die Fläche unter dieser Geraden ist ein Rechteck und ein Maß für den zurückgelegten Weg. Diese Fläche (der Weg) ist eine Funktion der Zeit (s = v * t). Wenn ich diese Funktion nun nach t ableite, bekomme ich wieder mit ds/dt = v die konstante Geschwindgkeit heraus.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Krinsekatze
ich will doch nur verstehen warum die ableitung der stammfunktion die normlae funktion ergibt obwohl es bei der ableitung um die steigung der stammfunktion geht und da keine flächen auftauchen bei der ableitung

Das wird eben auf dem von mir geposteten Link recht gut dargestellt.

Die Differenz F(x+h) - F(x) gibt die Fläche unterhalb der Kurve f(x) auf dem Intervall [x; x+h] an. Nimmt man den Differenzenquotienten so ist dies näherungsweise gleich dem Funktionswert f(x), weil die Fläche auf dem Intervall [x; x+h] eben näherungsweise gleich h * f(x) ist. Daß der Grenzwert für h gegen Null dann gleich f(x) ist, ist zumindest optisch einsehbar.
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