unitäre Ringe mit ausschließlich Selbstinversen

Neue Frage »

mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
unitäre Ringe mit ausschließlich Selbstinversen
Hallo, ich habe mich einmal gefragt, für welche n der unitäre Ring nur invertierbare Elemente hat, die selbstinvers sind. Dabei ist mir aufgefallen, dass das für die n=1,2,3,4,6,8,12,24 der Fall ist. War es das oder gibt es noch mehr?

Interessanter Weise sind das genau die Teiler von 24.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine endliche Gruppe nur selbstinverse Elemente besitzt, dann ist sie isomorph zu für ein k.
Zum Beweis davon: Du weißt sicher, dass man endliche abelsche Gruppen als -Moduln auffassen kann. Eine solche Gruppe kann man auch als -Modul, also als -Vektorraum auffassen.
 
 
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Es liegt hier aber keine Gruppe vor, da in dem Ring bezüglich der Multiplikation ja nicht alle Elemente Inverse besitzen. Aber man kann natürlich alle nicht invertierbaren rausstreichen, dann hätte man eine Gruppe, aber wie meine Zahlen zeigen, muss n keine Zweierpotenz sein.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Die Einheitengruppe von deinem muss aber von der Form sein. Für n=24 ist z.B. k=3.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ein Programm geschrieben, das alle natürlichen Zahlen bis 1.000.000 durchcheckt. Es hat fast zwei Stunden gebraucht, jedoch weiß ich nun, dass es für n<1.000.000 keine solche Zahlen außer den Teilern von 24 gibt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Struktur der primen Restklassengruppe



habe ich Folgendes gefunden (Wolfgang Schwarz, Einführung in die Zahlentheorie, Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1987):



wobei die Zerlegung von in Primzahlpotenzen ist.


1. Ist eine ungerade Primzahl, so sind die zyklisch.


2. Ist ,

a) so ist zyklisch für .

b) Für gilt:

Hierbei ist zyklisch von der Ordnung 2 und zyklisch von der Ordnung . Man kann als inneres direktes Produkt auffassen:




Beispiel:



Hier ist zyklisch von der Ordnung 2 und



Also ist direktes Produkt dreier zyklischer Gruppen der Ordnung 2. Das paßt zu dem von juffo-wup Gesagten.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch beweisen, dass überhaupt nur Teiler von 24 möglich sind.

Wenn die Primfaktorzerlegung von n ist: dann gilt (Chinesischer Restsatz):



Für sieht man, dass nicht nur Elemente der Ordnung 2 enthält, es sei denn es ist und . Zeige dazu z.B., dass für das Element nicht Ordnung 1 oder 2 hat. (Der Fall sollte ja klar sein.)
Für und hat z.B. das Element 3 nicht Ordung 1 oder 2:

Also können die nur die Werte 2 oder 3 annehmen und die zugehörigen Exponenten bei nur 1,2,3 und bei nur 1 sein, woraus die Behauptung folgt.

edit: Leopold war schneller, aber der von ihm genannte Beweis ist zumindest etwas anders.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum gibt es nun keine Zahlen größer 24 mit der Eigenschaft?

Edit: Sorry, hatte den letzten Beitrag von dir, juffo-wup, noch nicht gelesen.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bedanke ich mich vielmals bei euch beiden. Weiter so Freude
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »