Erwartungstreue bei der Exponentialverteilung

29.07.2011, 13:38

Therry

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Erwartungstreue bei der Exponentialverteilung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich hab folgendes Probelm, ich soll prüfen, ob der Schätzer $\begin{eqnarray*} T(n)= 1/X mit X= 1/n*\sum\limits_{k=1}^n Xi \end{eqnarray*}$ nicht asymptotisch erwartungstreu für den Erwartungswert der Exponentialverteilung ist.

Meine Ideen:
ICh habe einfach die Definition der asymptotischen Erwartungstreue angewendet, aber da kommt dann als Ergebnis lamda raus und nciht 1/lamda was der Erwartungswert der Exponentielverteilung ist.
Hmm, ist der Schäter nun asymptotisch erwartungstreu und wie kann ich das richtig nachprüfen, denn ich glaub so wie ich das gemacht habe bin ich da auf dem Holzweg. Danke!

29.07.2011, 16:09

Therry

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RE: Erwartungstreue bei der Exponentialverteilung
Also inzwischen weiß ich dass der schätzer lediglich asymptotisch erwartungstreu ist, kann mir jemand sagen, wie das nachzuprüfen ist? Erstaunt2

Erstaunt2

29.07.2011, 17:17

HAL 9000

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Rechne doch "einfach" mal $\begin{eqnarray*} E(T) \end{eqnarray*}$ konkret aus:

Zunächst mal ist die Summe $\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n X_k \end{eqnarray*}$ erlangverteilt mit den Parametern $\begin{eqnarray*} n,\lambda \end{eqnarray*}$ . Demnach gilt für

$\begin{eqnarray*} F_T(t) = P\left( T\leq t \right) = P\left( \frac{n}{S_n} \leq t \right) = P\left( S_n \geq \frac{n}{t} \right) = 1-F_{S_n}\left( \frac{n}{t} \right) \end{eqnarray*}$

somit für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_T(t) = \frac{\dd}{\dd t} F_T(t) = \frac{n}{t^2}\cdot f_{S_n}\left( \frac{n}{t} \right) = \frac{\lambda^n n^n}{(n-1)!t^{n+1}} \exp\left( -\frac{\lambda n}{t} \right) \end{eqnarray*}$ .

Damit kannt du über

$\begin{eqnarray*} E(T) = \int\limits_0^{\infty} t\cdot f_T(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

den Erwartungswert deiner Teststatistik $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Zur Kontrolle: Falls ich mich nicht verrechnet habe, kommt $\begin{eqnarray*} E(T) = \frac{n}{n-1}\lambda \end{eqnarray*}$ heraus.

29.07.2011, 18:04

Therry

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ok vielen Dank das werd ich nachher gleich mal nachrechnen. Aber ich versteh trotzdem nicht dass dann die asymptotische Erwartungstreue gezeigt ist, denn der Erwartungswert der Exponentialverteilung ist 1/ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und wenn das n bei deinem Ergebnis gegen unendlich geht dann kommt doch $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ raus und nicht 1/ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .
Versteh ich da was falsch?

29.07.2011, 20:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Therry
Aber ich versteh trotzdem nicht dass dann die asymptotische Erwartungstreue gezeigt ist

Wie ist denn die "asymptotische Erwartungstreue" definiert? Wenn du das nochmal nachschaust, sollte sich diese Frage eigentlich erübrigen - denn dann musst du dieses Kriterium nur anhand des ermittelten Ergebnisses $\begin{eqnarray*} E(T) \end{eqnarray*}$ überprüfen.

Zitat:

Original von Therry
denn der Erwartungswert der Exponentialverteilung ist 1/ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Was hat das mit $\begin{eqnarray*} E(T) \end{eqnarray*}$ zu tun? Erstmal so gut wie nichts.

Vielleicht spielst du ja drauf an, dass aus $\begin{eqnarray*} E(X_k) = \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} E\left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n E(X_k) \right) = E\left( \frac{1}{T} \right) = \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ folgt? Das stimmt, nützt dir aber herzlich wenig bei der Berechnung des Erwartungswertes der zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{T} \end{eqnarray*}$ reziproken Größe $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ !!! Der einzige Zusammenhang "ohne groß zu rechnen" zwischen beiden ist der über die Jensensche Ungleichung. Die besagt nämlich, dass für positive Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{E(T)} \leq E\left( \frac{1}{T} \right) \end{eqnarray*}$ ,

was dir im vorliegenden Fall aber nur $\begin{eqnarray*} E(T) \geq \lambda \end{eqnarray*}$ einbringt - nicht genug zum Nachweise der Behauptung!!! Also nochmals: Es führt kaum ein Weg an der konkreten Rechnung vorbei.

12.08.2011, 14:23

Therry

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Wie kommst du darauf dass n/(n-1) * lamda rauskommt?
wie integrierst du das?

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12.08.2011, 14:54

René Gruber

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Substituiere doch im obigen Integral

$\begin{eqnarray*} E(T) = \int\limits_0^{\infty} t\cdot f_T(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

einfach $\begin{eqnarray*} u = \frac{\lambda n}{t} \end{eqnarray*}$ , dann ist der entstehende Integrand des substituierten Integrals (bis auf den Vorfaktor) wiederum eine Erlangverteilungsdichte. Und deren Integral ist ja - wie das Integral über jede Dichte - gleich 1, es bleibt also der angesprochene Vorfaktor übrig.

12.08.2011, 15:25

Therry

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habs ubstituiert, und ich bekomm dann auch das integral über die neue Erlangverteilung hin, aber dann bleibt bei mir noch u²/lamda im integral übrig und dann kommt nicht das raus was rauskommen soll. kannst du mir noch einmal weiterhelfen?`
das wäre super
danke

12.08.2011, 15:54

René Gruber

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Zitat:

Original von Therry
aber dann bleibt bei mir noch u²/lamda im integral übrig

In dem Fall hast du die falsche Erlangverteilung gewählt, also mit den falschen Parametern. unglücklich

unglücklich

Was "übrigbleibt", darf nicht mehr von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ abhängen!!!

12.08.2011, 15:57

Therry

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ja ich hab lamda=1 genommen, da eben in der Exponentialfunktion nur -u steht--> lamda=1. Wie hast dud as gemacht?

12.08.2011, 16:35

René Gruber

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Ich meine den anderen Parameter der Erlangverteilung, die Anzahl... Manchen Leuten gelingt es aber auch partout immer die falschen Schlüsse aus Hinweisen zu ziehen, d.h., bei zwei möglichen Wege immer den falschen einzuschlagen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.08.2011, 19:20

Therry

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Hey im ernst, ich hab das jetzt echt sehr oft probiert und es kam nie das raus was rauskommen soll. kannst du mir dieses mal vielleicht konkreter nachhelfen? das wäre super.

12.08.2011, 19:32

René Gruber

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Die genannte Substitution führt zu

$\begin{eqnarray*} E(T) = \lambda n \int\limits_0^{\infty} \frac{u^{n-2}}{(n-1)!} e^{-u} ~ \dd u \end{eqnarray*}$

Der Exponent $\begin{eqnarray*} n-2 \end{eqnarray*}$ beim $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ zeigt klar und deutlich, dass es sich beim Integranden um die Dichte einer Erlangverteilung $\begin{eqnarray*} \operatorname{Erl}(1,n-1) \end{eqnarray*}$ handelt - natürlich (wie bereits erwähnt) noch mit einem von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ unabhängigen Vorfaktor versehen.

12.08.2011, 19:47

Therry

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Ok dann haben wir als ergebnis lamda *n --> nciht (asymptotisch) erwartungstreu
ABer oben stand n/(n-1) *lamda --> asymptotisch erwartungstreu
???
verwirrt

verwirrt

12.08.2011, 19:49

René Gruber

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Zitat:

Original von Therry
Ok dann haben wir als ergebnis lamda *n

Nein! Konzentrier dich doch bitte mal:

Zitat:

Original von René Gruber
natürlich (wie bereits erwähnt) noch mit einem von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ unabhängigen Vorfaktor versehen.

Wie lautet denn die Dichte der Erlangverteilung $\begin{eqnarray*} \operatorname{Erl}(1,n-1) \end{eqnarray*}$ ?

12.08.2011, 19:56

Therry

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oh je danke Hammer

Hammer

13.08.2011, 08:27

HAL 9000

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Ein Nachtrag zur Rechnung: Die obige zweifache Substitution (hin und zurück) kann man sich eigentlich schenken:

$\begin{eqnarray*} E(T) = E\left( \frac{n}{S_n} \right) = \int\limits_0^{\infty} \frac{n}{s} \cdot f_{S_n}(s) ~ \dd s = \int\limits_0^{\infty} \frac{n}{s} \cdot \frac{\lambda^n s^{n-1}}{(n-1)!} ~ \dd s = \frac{n}{n-1}\lambda \cdot \int\limits_0^{\infty} \underbrace{\frac{\lambda^{n-1} s^{n-2}}{(n-2)!}}_{\textrm{Dichte von Erl}(\lambda,n-1)} ~ \dd s = \frac{n}{n-1}\lambda \end{eqnarray*}$

Ist mir aber auch erst hinterher eingefallen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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