Dualraum wozu? |
| 29.07.2011, 16:55 | Keff91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Dualraum wozu? ich möchte demnächst anfangen, in Lineare Algebra 2 das Thema Dualraum zu studieren. Ich habe es jetzt öfters schon gelesen und gehört, aber so wirklich verstanden habe ich das nicht 
Wofür das ganze? Dass , Raum der linearen Funktionale, der Dualraum ist, habe verstanden, ist ja noch nicht schwer 
Aber dann kommts 
Satz, Beweis, Satz, Beweis, besonders die Beweise sind von sehr algebraischer Form, was mir nicht sehr gefällt. Könntet ihr mir vllt eine kleine Motivation geben, für was das gut ist? Anwendungen? Z.B. Abbildungsmatrizen habe ich sehr gut verstanden und verstehe auch die Anwendung dahinter, damit man eben sehr schön rechnen kann mit . Und Anwendung in den Ingenieurswissenschaften hat das auch überall 
Danke Leute
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| 29.07.2011, 17:56 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich schmeisse einfach Mal paar Stichworte hier rein, Wikipedia dürfte dann dein Freund sein. Z.B. in der Differentialgeometrie bieten Dualvektoren und Tensorprodukte (bzw. das Wedge-Produkt) die geeignete Möglichkeit Integration auch auf (orientierbaren) Mannigfaltigkeiten zu definieren. Eng damit hängt auch das Studium von Differentialformen (das sind gerade Tensoren aus Dualvektoren) zusammen und das verknüpft die Integration mit der (Ko-)Homologietheorie (i.e. deRham Kohomologie). Homologietheorien spielen in der (Differential-) Topologie eine wichtige Rolle. Aus dem Wissen über Kohomologie (und das setzt dasjenige über Dualräume voraus) und darüber wie sich diese Transformieren unter Rückzugsabbildungen etc. lassen sich z.B. viele Sätze über die (Un-)Möglichkeit bestimmter Abbildungen mit gewissen Eigenschaften beweisen. Um ein paar zu nennen: Brouwer Fixpunktsatz, hairy ball theorem (glaub auch "Igelsatz" zu deutsch), Jordan Separationssatz (Edit: auf Wikipedia unter "Jordanscher Kurvensatz" - bzw. meinte ich hier eigentlich dessen Verallgemeinerung - zu finden), Borsuk-Ulam. Andere Anwendungen (und Weiterentwicklungen) dürften sich wohl unter anderem in der Funktionalanalysis finden (wobei da jedoch der endlichdimensionale Fall eher weniger eine Rolle spielt). Es gibt also schon Motivation, das zu studieren. Allerdings denke ich, dass die Dualräume eher in indirekten Anwendungen wie oben geschildert interessant werden. So für sich alleine und auf endlich dimensionalen Vektorräumen kenne ich ehrlich gesagt überhaupt keine besonders bemerkenswerten Aussagen darüber (was allerdings nichts heisse muss!). |
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| 29.07.2011, 18:13 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eines vorweg: Dualräume sind super 
Du sprachst die Ingenieurswissenschaften an. Auch da kommen Dualräume vor, auch wenn die Ingenieure weder davon wissen geschweige denn es verstehen. (Unterstelle ich jetzt einfach mal, auf Basis eines mir bekannten Ingenieurs der mit der Anwendung viel zu tun hat aber keine Dualräume kennt). Wenn du zB partielle Differentialgleichungen lösen willst, egal ob analytisch oder numerisch, triffst du dauernd irgendwelche Dualräume an. In der numerischen Praxis eher selten, siehe Ingenieur, allerdings in der Theorie die dahinter steht, die sehr viel Funktionalanalysis ist, sind die unverzichtbar. Beim analytischen Lösen werden zB auch häufig sogenannte Distributionen benutzt, welche Elemente eines bestimmten Dualraums sind. |
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| 29.07.2011, 22:12 | Keff91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo gonnabephd, genau, aber es wird in LinAlg2 ein Kapitel über Dualraum geschrieben. Dualraum an sich ist wirklich nicht bemerkenswert, im Zusammenhang mit Funktionana usw. schon! Aber dass man dann Satz, Beweis, Satz Beweis über langweilige Basis-Aussagen etc. macht finde ich nicht so überzeugend. Ich würd mal behaupten: Wer würde von allein auf sowas kommen? Ich nicht
Danke euch beiden 
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| 29.07.2011, 22:23 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das kenne ich. Muss man durch.
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