Singulärwertzerlegung

29.07.2011, 19:51

12Semester

Singulärwertzerlegung

Hey,
vielleicht findet einer meinen Fehler bei der reduzierten SVD

Ich möchte eine reduzierte Singulärwertzerlegung von der Matrix A haben

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &6 & 0 \\ -4 &0 & 0 \\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich kürz mal ab was ich habe

Die Matrix B aus der transponierten A mit A ergibt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 45&27 & 0 \\ 27 &45 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte mit normierten Vektor sind dann ja

$\begin{eqnarray*} ~\lambda_{1} = 72,~\lambda_{2} = 18 ,~\lambda_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{1} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix},v_{2} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1\\1\\0\end{pmatrix} ,v_{3} =\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus ergeben sich dann meine Matrizen V und S
Die Matrix U kann ich dann bestimmen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} &-\frac{1}{3} & * \\ - \frac{1}{3} &\frac{2}{3} &*\\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt aber alles wieder zusammen rechne kommt bei mir die Ausgagsmatrix raus nur mit der 1 und 3. Zeile vertauscht.
Also A = USV^T

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} &-\frac{1}{3} & * \\ -\frac{1}{3} &\frac{2}{3} &*\\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & * \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6\sqrt{2} &0& 0 \\ 0 & 3\sqrt{2}&0\\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 &1& 0 \\ -1 &1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 &3 & 0 \\ -4 &0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo liegt der Fehler

Warum kommt nicht die Anfangsmatrix raus.?

Danke schonmal

29.07.2011, 20:11

tigerbine

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Kurze Rückfrage
Waren die Nullen vorgegeben oder stammen die von dir? [Dritte Spalte]

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &6 & 0 \\ -4 &0 & 0 \\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.07.2011, 20:22

12Semester

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Die Matrix ist so vorgegeben damit die Eigenwerte ganzzahlig bleiben.
Die eigentlihe Aufgabe betrifft die Pseudoinverse über SVD.
Ich kann nun leider nur die Pseudoinverse der Zeilenvertgauschten Matrix bestimmen! verwirrt

Wieso, meinst du die Nullen haben einen Anteil an der komischen Lösung?

29.07.2011, 20:27

tigerbine

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Ne, bei uns waren da halt keine 0er. Wollte nur wissen, ob du aufgefüllt hattest.

Versuche es gleich mal nachzurechnen

29.07.2011, 20:31

12Semester

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ne nich aufgefüllt!

Das ist nett, ich hab es schon drei mal durchgepaukt.. sogar einmal die ausgangs-Martix verändert (3. Zeile mit 1. getauscht) und kam dann.. wer glaubt es auf die eigentliche, also wieder ne getauschte... Ich denk ich hab irgendwo ein Fehler traurig

29.07.2011, 21:11

tigerbine

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RE: Singulärwertzerlegung
$\begin{eqnarray*} A=U\sum V^H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 &6 & 0 \\ -4 &0 & 0 \\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^TA=\begin{pmatrix} 45&27 & 0 \\ 27 &45 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\lambda_{1} = 72,~\lambda_{2} = 18 ,~\lambda_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{1} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix},v_{2} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1\\1\\0\end{pmatrix} ,v_{3} =\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die ersten beiden Spalten von U bekommt man durch Benutzen der Beziehung $\begin{eqnarray*} AV=U\sum \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1=\frac{1}{\sigma_1}Av_1 = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{18}\\ -\frac{\sqrt{2}}{36} \\ \frac{\sqrt{2}}{18} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2=\frac{1}{\sigma_2}Av_2 =\begin{pmatrix}-\frac{\sqrt{2}}{9} \\ \frac{\sqrt{2}}{9} \\ -\frac{\sqrt{2}}{18} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So Und nun dürfen wir nicht durch 0 teilen, v sollte dann im Kern von A liegen. Kannst du da mal weitermachen?

[Numerik I] - Übung 12 *

29.07.2011, 21:38

12Semester

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Danke schonmal ich mach Morgen früh weiter...

ich muss mal gucken was du bei u1 und u2 anders gemacht hast als ich, denn ich habe das genauso berechnet eigentlich. u3 ist ja egal da ich die reduzierte SVD brauche und da nur die ui berechnet werden für i = 1,...,r und der Rang der Matrix A ist ja 2.

Muss gucken ob ich bei den u1 und u2 halt ein Fehler hab aber dachte eigentlich das ich das auch nochmal kontrolliert habe.

Also Morgen früh guck ich noch mal genau nach ich bin jetzt zu fertig..

Aber Danke schonmal. smile

29.07.2011, 21:41

tigerbine

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Ich bin morgen nicht da? bin wann brauchst du das?

30.07.2011, 00:22

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} AV=\begin{pmatrix} 4\sqrt{2} & 2\sqrt{2} & 0 \\ -2\sqrt{2} & 2\sqrt{2} & 0 \\ 4\sqrt{2} & - \sqrt{2} &0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{18} & -\frac{\sqrt{2}}{9}& ?\\ -\frac{\sqrt{2}}{36} & \frac{\sqrt{2}}{9}& ? \\ \frac{\sqrt{2}}{18} & -\frac{\sqrt{2}}{18} & ? \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 72 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & 0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}= U\sum \end{eqnarray*}$

Nun sollte man die ? eigentlich durch Gram Schmidt bekommen. Die Gleichung wäre für jeden Eintrag richtig, da wir die Nullspalte haben. Aber imho müssen die u ja orthonomiert sein. Vielleicht versuchst du es damit mal. Wink

30.07.2011, 11:36

tigerbine

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So, nochmal von vorne. Ich hatte was entscheidendes vergessen. Die Wurzel auf den Eigenwerten zu ziehen. Finger1

$\begin{eqnarray*} A=U\sum V^H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 &6 & 0 \\ -4 &0 & 0 \\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^TA=\begin{pmatrix} 45&27 & 0 \\ 27 &45 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\lambda_{1} = 72,~\lambda_{2} = 18 ,~\lambda_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\sigma_{1} = \sqrt{72},~\sigma_{2} = \sqrt{18} ,~\lambda_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{1} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix},v_{2} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1\\1\\0\end{pmatrix} ,v_{3} =\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1=\frac{1}{\sigma_1}Av_1 =\begin{pmatrix} \frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2=\frac{1}{\sigma_2}Av_2 =\begin{pmatrix} \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, dass deckt sich mit matlab [die haben einen EV eben mal -1 genommen]

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:

=[2,6,0;-4,0,0;5,3,0]
A =
     2     6     0
    -4     0     0
     5     3     0
>> [U S V]=svd(A)
U =
   -0.6667   -0.6667   -0.3333
    0.3333   -0.6667    0.6667
   -0.6667    0.3333    0.6667
S =
    8.4853         0         0
         0    4.2426         0
         0         0         0
V =
   -0.7071    0.7071         0
   -0.7071   -0.7071         0
         0         0    1.0000

Versucht du nun Gram Schmidt. Sollte der Weg sein... zumindest paarweise orthogonal habe ich mal geprüft. Wink

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:	>> U(:,1)'U(:,2) ans = -2.7756e-017 >> U(:,1)'U(:,3) ans = 0 >> U(:,2)'*U(:,3) ans = -5.5511e-017

30.07.2011, 11:50

12Semester

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So das deckt sich ja mit meinen Berechnungen außer bei $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ , du hast das

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ in der dritten Zeile, ich in der ersten. Ich kontrollier mal deine Ergebnisse ob die Lösung aufgeht und such dann bei mir mal wo der Fehler liegt.

Wie gesagt Gram-Schmidt brauch ich nicht da $\begin{eqnarray*} u_3 \end{eqnarray*}$ nicht expilzit gebraucht wird.

Ich Rechne einfach mal

$\begin{eqnarray*} US \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} V^T \end{eqnarray*}$
und dann müsste ja $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ rauskommen.

30.07.2011, 12:14

12Semester

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Also, aus unerklärlichen Gründen habe ich echt $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ falsch berechnet.

Deine Lösung ist richtig, der Fehler war echt nur das vertauschen, wie auch immer das geschehen ist.

Wenn ich die SVD bilde mit

$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} &\frac{2}{3} & * \\ -\frac{1}{3} &\frac{2}{3} &*\\ \frac{2}{3} &- \frac{1}{3} & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6\sqrt{2} &0& 0 \\ 0 & 3\sqrt{2}&0\\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V^T \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 &1& 0 \\ -1 &1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} US \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} V^T \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &6 & 0 \\ -4 &0 & 0 \\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also vielen Dank!

Versteh echt nicht warum ich den Fehler beim nachrechnen nicht gefunden habe verwirrt

Gut ich meld mich dann wieder wenn was neues schief geht! Wink

PROBLEM GELÖST

30.07.2011, 12:20

tigerbine

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PROBLEM GELÖST

Das ist die Hauptsache. Bei eigenen Rechnungen ist man oft betriebsblind. Wink

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