Quadrik euklidische Normalform

30.07.2011, 11:09

Brown

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Quadrik euklidische Normalform

Meine Frage:
Hi,

habe eine kurze Verständnisfrage zur euklidischen Normalform.
Sagen wir mal ich hab die Eigenwerte ausgerechnet und bekomme folgende eigenvektoren raus: (1,0,0)^T ; (0,1,1)^T ; und für den letzten
(0,1,-1)^T der letzte Eigenvektor kann aber auch (0,-1,1)^T sein oder?
Wenn ich jetzt allerings die Quadrik bestimme bzw die euklidische Normalform Einmal mit den eigenvektoren (1,0,0)^T ; (0,1,1)^T ;
(0,1,-1)^T und (1,0,0)^T ; (0,1,1)^T ; (0,-1,1)^T bekomme ich unterschiedliche Lösungen raus. Sie sind sich zwar änhlich aber nicht gleich. So hab ich mich nun verrechnet oder gibt es mehrere Lösungen?

Meine Ideen:
Hab diesbezüglich schon in Fachliteratur und Internet nachgeschaut, aber bin leider zu keinem Ergebnis gekommen.

Vielen Dank für eure Hilfe
Gruß
Brown

01.08.2011, 13:22

brownwool

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RE: Quardik euklidische Normalform
Kann mir niemand Helfen

10.08.2011, 10:30

brownwool

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RE: Quardik euklidische Normalform
???

10.08.2011, 10:34

jester.

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RE: Quadrik euklidische Normalform

Zitat:

Original von Brown
der letzte Eigenvektor kann aber auch (0,-1,1)^T sein oder?

Natürlich.

Zitat:

Wenn ich jetzt allerings die Quadrik bestimme bzw die euklidische Normalform Einmal mit den eigenvektoren (1,0,0)^T ; (0,1,1)^T ;
(0,1,-1)^T und (1,0,0)^T ; (0,1,1)^T ; (0,-1,1)^T bekomme ich unterschiedliche Lösungen raus. Sie sind sich zwar änhlich aber nicht gleich.

Meinst du ähnlich im mathematischen Sinn oder sehen die Matrizen einfach nur ähnlich aus?
Wie rechnest du? Wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ die Matrix aus Eigenvektoren ist, rechnest du dann $\begin{eqnarray*} T^T QT \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} T^{-1}QT \end{eqnarray*}$ ?

10.08.2011, 12:12

brownwool

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RE: Quadrik euklidische Normalform
Hi,

ich rechne dann weiter mit $\begin{eqnarray*} T^{T}QT \end{eqnarray*}$ .

zum Beispiel steht in der Lösung folgendes:

also euklidische normalform mit Koordinatentransformation:

$\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{5}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} z+\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und meine Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{5} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} z+\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.08.2011, 12:58

jester.

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Wenn du die Matrix mit den von dir errechneten Eigenvektoren verwendest und dann $\begin{eqnarray*} T^TQT \end{eqnarray*}$ rechnest, so ist dies keine "euklidische Umformung". Du musst die Eigenvektoren orthonormal wählen.
Mit $\begin{eqnarray*} T^{-1}QT \end{eqnarray*}$ würde man zwar eine Ähnlichkeitstransformation erhalten, aber auch diese wäre nicht euklidisch/isometrisch.

Noch eine Frage: wie kommt es zustande, dass deine Vektoren vom Format $\begin{eqnarray*} 3\times 1 \end{eqnarray*}$ sind, die letzte Matrix, die du angibst, aber vom Format $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ ?

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10.08.2011, 13:04

brownwool

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Hi,

hätte ich vlt dazuschreiben müssen ist eine andere Aufgabe mir ging es nur darum, ob mein Ergebnis auch stimmt und in der Lösung nur eine Möglichkeit angegeben wird, oder ob es nur eine Lösung gibt

ach und zu dem Thema orthonomal meine Eigenvektoren stehen auch senkrecht aufeinander

10.08.2011, 13:09

jester.

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Zitat:

Original von brownwool
ob mein Ergebnis auch stimmt und in der Lösung nur eine Möglichkeit angegeben wird, oder ob es nur eine Lösung gibt

Die zwei angegebenen Matrizen sind nicht ähnlich, aber was genau verstehst du eigentlich unter einer Quadrik? Ich kenne Quadriken als Nullstellengebilde einer Funktion der Form $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}, x \mapsto x^TQx+yx+c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Q\in\mathbb{R}^{n\times n}, ~ y \in \mathbb{R}^{1\times n}, ~ c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

ach und zu dem Thema orthonomal meine Eigenvektoren stehen auch senkrecht aufeinander

orthonormal Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.08.2011, 13:13

brownwool

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ich poste dir mal die Aufgabe, dass es zu keinen Missverständnissen kommt.

Gegeben ist die MAtrixbeschreibung der Quadrik $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R senkrechter Strich 3x1^2-3x2^2-8x1x2+22x1+4x2+7=0\right\} \end{eqnarray*}$
die ZAhlen hinter den x sind indizes.

Bestimmen die die euklidische Normalform und die Koordinatentransformation.

Meine Euklidische NOrmalform stimmt mit der der Lösung überein nur die Koordinatentransformation nicht (siehe Beitrag vorher)

Gruß und Danke für deine Hilfe

10.08.2011, 13:17

brownwool

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ah okay dann liegt da wohl der Hund begraben.
Orthonormal war doch das die Determinate positiv ist oder?

10.08.2011, 13:25

brownwool

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[quote]Original von jester.

Die zwei angegebenen Matrizen sind nicht ähnlich, aber was genau verstehst du eigentlich unter einer Quadrik? Ich kenne Quadriken als Nullstellengebilde einer Funktion der Form $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}, x \mapsto x^TQx+yx+c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Q\in\mathbb{R}^{n\times n}, ~ y \in \mathbb{R}^{1\times n}, ~ c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

also um die euklidische Normalform zu bestimmen benutze ich auch die Formel die du gepostet hast, dannach muss man bzw soll ich die koordinatentransformation noch durchführen mit Hilfe der Formel:

die inervertierte Eigenwertmartrix (normiert vorher)*(z-(P))
Punkt P bestimme ich nach der Quaratischen ergenzüng (bzw. verschiebung)

10.08.2011, 13:30

brownwool

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zum thema orthonormal:

hasst das ich muss meine Eigenwertmatrix erst mit dem SChmidtschen Orthonormalverfarhren orthonormieren?

10.08.2011, 13:32

jester.

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Das "orthonormal" bezog sich vor allem auf die erste Aufgabe, wo du drei Eigenvektoren angegeben hattest, die nicht normiert waren (sie sollten also "Länge" 1 haben).
Für die zweite Aufgabe haben wir folgendes: $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R ^2 ~|~ 3x1^2-3x2^2-8x1x2+22x1+4x2+7=0\right\} \end{eqnarray*}$ beschreibt das Nullstellengebilde der Funktion $\begin{eqnarray*} q ~:~\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, ~ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 3&-4 \\ -4&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} + (22, ~ 4) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} +7 \end{eqnarray*}$ .
Die angegebene Transformation aus der Lösung, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\mapsto \frac 1{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergibt eingesetzt in $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ die euklidische Normalform.
Deine Transformation erfüllt dies leider nicht.

Meines Erachtens hast du aber bloß Vorzeichenfehler oder etwas Ähnliches beim Aufstellen der Transformation gemacht. Rechne am besten noch einmal nach.

Die Transformation ist in dem Sinne nicht eindeutig, dass man in der Transformation aus der Musterlöung etwa noch die Vorzeichen in den Spalten der Matrix ändern könnte.

10.08.2011, 13:54

brownwool

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also hab jetzt nochmal anchgerechnet und komme wieder auf das gleiche, wenn ich wieder die selben normierten Eigenvektoren nehme.
Also ich bekomme auch wieder die selbe Koordinatentransformation raus, aber wenn ich bei meiner Martix die letzte Zeile mit minus eins multipliziere und die erste und zweite Spalte vertausche stimmt meine Matrix mit der der Lösung überein, allerdings sind dann die Punkte noch verschieden. Habe gelesen, dass die Eigenwertmatrix rechtsdrehund sein muss, dies ist ja der Fall wenn die Determinante größer Null ist.
Oder bin ich jetzt völlig falsch. Irgendeinen Fehler schein ich immer wieder zu machen, da ich öfters nicht die selbe Koordinatentransformation bei Quadriken raus habe.

10.08.2011, 13:56

jester.

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Präsentiere doch mal deinen Rechenweg hier, dann sollten wir den Fehler schon finden können. Die von dir angegebene Transformation überführt die Quadrik jedenfalls nicht in ihre euklidische Normalform.

10.08.2011, 14:24

brownwool

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ich fang mal an bei der Quadratischen Ergänzung (Verschiebung)

$\begin{eqnarray*} -5y1^2+5y2^2+30y1/\sqrt{5} -40y2/\sqrt{5} +7 \end{eqnarray*}$
Für y1: $\begin{eqnarray*} -5(y1^{2}+6y1/\sqrt{5})= -5(y1+3/\sqrt{5})^2-9 \end{eqnarray*}$
Für y1: $\begin{eqnarray*} 5(y2^2-8y2/\sqrt{5})= 5(y1-4/ \sqrt{5})^2+16 \end{eqnarray*}$
Punkt verschieben $\begin{eqnarray*} P:1/\sqrt{5}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so daraus folgt die euklidische Normalform:
-5y1+5y2=0

Koordinatentransformation

--> Inverse von Eigenvektormatrix bestimmen:
$\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die wuzel 5 nehme ich am ende noch mit.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/5 & 2/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so jetzt noch due wurzel 5

--> $\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt{5}/5 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt{5}/5 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}*(z-1/\sqrt{5}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5}/5 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}*(1/5\begin{pmatrix} 5 \\ 10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5}/5\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}z-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so endlich xD

10.08.2011, 15:28

jester.

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Zitat:

Original von brownwool
$\begin{eqnarray*} -5y1^2+5y2^2+30y1/\sqrt{5} -40y2/\sqrt{5} +7 \end{eqnarray*}$

Ich kann leider schon hier nicht nachvollziehen, was dies für eine Gleichung ist, bzw. wie du vorgehst. Daher mal kurz, wie ich vorgehen würde:
untersuchen wir eine Funktion $\begin{eqnarray*} q ~:~ x\mapsto x^{T}Qx+yx+c \end{eqnarray*}$ (wie oben beschrieben), so überführt die Koordinatentransformation $\begin{eqnarray*} x\mapsto Sx+t \end{eqnarray*}$ die Quadrik in ihre euklidische Normalform. Dabei ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ die Matrix, die aus den normierten und zueinander orthogonalen Eigenvektoren besteht (nicht die Inverse davon!) und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist die Lösung des linearen Gleichungssystems $\begin{eqnarray*} Qt=-\frac{y^{T}} {2} \end{eqnarray*}$ . Dies entfernt die linearen Anteile.

Warum berechnest du die Inverse der Eigenvektormatrix? Die Eigenvektorematrix ist doch die Basiswechselmatrix von der Eigenvektorbasis in die Standardbasis.
Also ist $\begin{eqnarray*} q(Sx)=x^TS^TQSx+... \end{eqnarray*}$ ein sinnvoller Ausdruck (es entsteht eine Diagonalmatrix, die die gemischten Terme verschwinden lässt) - mit der Inversen kommt nichts heraus, was noch einen nachvollziehbaren Sinn ergibt, da dann die "Basen nicht aneinander passen".

Mit einer etwas unübersichtlichen Rechnung kommt man dann auch darauf, dass die Wahl von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ richtig ist.
Aber ich glaube, dass man $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auch durch quadratische Ergänzung bekommen kann.

Das Hauptproblem sehe ich hier aber in dieser invertierten Matrix.

10.08.2011, 15:47

brownwool

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so also ich komme auf den Term (Welchen du nicht nachvollziehen kannst)
indem ich die Fromel:

$\begin{eqnarray*} 0=y^{T}*(F^{T}AF)y+2(F^{T}a)y+c \end{eqnarray*}$

wobei A: die Ürsprüngliche Matrix ist (also enthält alle quadratischen Teile der Quadrik)
a: enthält alle linearen Teile und die Konstante c=7

$\begin{eqnarray*} 0=\begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}y+2(1/\sqrt{5}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 11 \\ 2 \end{pmatrix})y+7 \end{eqnarray*}$

so wenn ich diese Gleichung auflöse bekomme ich den von dir zitierten Term.

10.08.2011, 16:12

brownwool

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ich glaube das mit der Inverse ist totaler Käse was ich da gemacht hab.
ich muss doch lediglich den Punkt(welchen ich durch meine quadratische ergänzung erhalten habe) mit der Eigenvektormatix multiplizieren um die Lösung zu erhalten

10.08.2011, 16:23

brownwool

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habs nochmal durchgerechnet und bekomme jetzt folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{5} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}z+1/\sqrt{5} \begin{pmatrix} -3 \\4\end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.08.2011, 18:01

jester.

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Die Eigenvektormatrix ist immer noch falsch, es müssen einfach die beiden normierten Eigenvektoren als Spalten eingetragen werden.
Der von dir errechnete Verschiebungsvektor sieht bei mir auch etwas anders aus, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt{5}} \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Er muss zudem noch mit der Eigenvektormatrix multipliziert werden, damit etwas sinnvolles herauskommt - in diesem Fall genau der Vektor aus der Musterlösung.
Dort wird das Vorgehen auch noch einmal sehr ausführlich erklärt: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...cle.php?sid=842

Edit: Offenkundig hast du eine andere Eigenvektormatrix als ich verwendet: Tausch der beiden Eigenvektoren, i.e. Tausch der Spalten in der Eigenvektormatrix liefert den Verschiebungsvektor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 3\\4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , d.h. auch bei Tausch der Spalten hast du einen Vorzeichenfehler.

11.08.2011, 10:00

brownwool

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Hi,

danke für deine Geduld...bin jetzt doch noch mit diener Hilfe dahinter gestiegen.

Danke

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