Welche Art von Abbildung?

01.08.2011, 15:55

geomath

Welche Art von Abbildung?

Hey,

folgende Aufgabe habe ich zu lösen: Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:R^3\Rightarrow R^3 \end{eqnarray*}$ habe bzgl. der kanonischen Basis die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -6 & -4 \\ 1 & 4 & 2 \\ -1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Welche Art von Abbildung wird durch A beschrieben?

Also, was wissen wir:

Es gibt einen reellen Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda _1=1 \end{eqnarray*}$
Des weiteren existieren 2 komplexe Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda _2=\frac{3+\sqrt{7}*i }{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda _2=\frac{3-\sqrt{7}*i }{2} \end{eqnarray*}$

Ich habe mir mal noch die Fixpunktmenge angeschaut, und wir haben eine Fixpunktgerade der Form $\begin{eqnarray*} F=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-2}{3} \\ 1 \end{pmatrix}*t, t\in \mathbb R \right\}<br /> \end{eqnarray*}$

Bleibt die Frage: Was zum Teufel ist das für eine Abbildung? Wären wir im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2<br /> \end{eqnarray*}$ , würden 2 komplexe Eigenwerte eine Affindrehung bedeuten! Ist dies auf unseren Fall übertragbar?

Beste Grüße,
geomath

01.08.2011, 17:12

Ibn Batuta

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Es ist eine Drehung.

Ibn Batuta

01.08.2011, 18:13

geomath

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Hallo,

danke für die schnelle Antwort! Aber woran hast du das erkannt? Gilt das generell für die Situation im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ , wenn ein reeller und 2 komplexe Eigenwerte vorhanden sind?

Grüße geomath

01.08.2011, 21:42

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von geomath
Gilt das generell für die Situation im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ , wenn ein reeller und 2 komplexe Eigenwerte vorhanden sind?

Grüße geomath

Nein. Eine Drehung ist dann vorhanden, wenn gar keine reellen EW vorhanden sind. Hier hast du einen (reellen) EW $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ (das ist essentiell!) und zwei komplexe EW. Somit eine Drehung.

Ibn Batuta

02.08.2011, 09:46

geomath

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Hallo,

täusche ich mich oder widersprechen sich die beiden Aussagen:

"Eine Drehung ist dann vorhanden, wenn gar keine reellen Eigenwerte vorhanden sind."

"Hier hast du einen reellen Eigenwert. [...] Somit eine Drehung"

By the way, drehen wir hier deiner Meinung nach an der Fixpunktgerade? Und wenn wir drehen, warum ist die Determinante der Matrix dann verschieden von 1?

Grüße geomath

02.08.2011, 11:49

Auli

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Bin nicht 100% sicher, aber dass die Determinante ungleich 1 ist heisst, dass die Abbildung keine Isometrie ist, du also noch zusätzlich eine Streckung/Stauchung mit in dein Bild kriegst. (der Betrag der komplexen EW müsste glaub auch =1 sein)

02.08.2011, 13:03

geomath

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Mal noch folgende Überlegungen:

Die Matrix A mit ihren speziellen Eigenwerten ist ja ähnlich zur Matrix A'= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{7}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{7} }{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Problem ist, dass die Determinante hier immer noch 4 ist.
Deshalb folgende Idee:

A' = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{\sqrt{7} }{4} & 0 \\ \frac{\sqrt{7} }{4} & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit haben wir doch jetzt A' dargestellt als Drehmatrix mit Determinante 1 und einer Matrix, die eine Euleraffinität beschreibt, da es 2 reelle Eigenwerte gibt, oder?
Haben wir damit geklärt, was für eine Abbildung durch A beschrieben wird, wenn wir sagen, dass eine Drehung und eine Euleraffinität vorliegt?

Grüße geomath

02.08.2011, 23:44

Ibn Batuta

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Meine Aussage weiter oben sollte schon korrekt zitiert werden. Ich schrieb:

Zitat:

Hier hast du einen (reellen) EW $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ (das ist essentiell!) und zwei komplexe EW.

Wir können ja eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}-\mathrm i\cdot\frac 1 2 \sqrt 7 & \frac{1}{2}+\mathrm i\cdot\frac 1 2 \sqrt 7 \\ -2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ angeben, sodass $\begin{eqnarray*} A=S^{-1}DS \end{eqnarray*}$ ist mit der Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2}+\mathrm i\cdot \frac 1 2\sqrt 7 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2}-\mathrm i\cdot \frac 1 2\sqrt 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist also zur Matrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ähnlich. Weiterer Tipp: Geometrisch tun sie in etwa dasselbe. Nun gilt es zu bestimmen, was für eine Art von Abbildung die Matrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ bewirkt und das sieht man.

Ibn Batuta

03.08.2011, 10:10

geomath

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Hallo,

deine Matrizen S und D leuchten natürlich ein Augenzwinkern

in S stehen ja spaltenweise die Eigenvektoren von A und D ist dann schön in Diagonalform, in der die Eigenwerte stehen.

Allerdings haben ich immer noch 3 Probleme:

1. Ich sehe leider nicht sofort, was die Matrix D bewirkt. Was bewirken denn komplexe Einträge in so einer Matrix?

2. Du sagst weiter oben, dass lediglich eine Drehung stattfindet. Die Determinante der Matrix ist doch aber 4, und für eine Drehung muss die doch aber 1 sein!

3. Zu meinem vorgeschlagenen Weg: Wo ist da der Fehler?
Die Matrix A' ist nach einem Satz aus meiner Vorlesung ähnlich zur Matrix A, und das Aufsplitten der Matrix A' in A' = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{\sqrt{7} }{4} & 0 \\ \frac{\sqrt{7} }{4} & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ passt doch auch! Wenn es hier wirklich nur eine Drehung gibt, wo liegt dann in meinem Ansatz der Fehler??

Grüße geomath

03.08.2011, 12:14

Ibn Batuta

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Hi,

aus Mangel an Zeit werde ich dir deine Fragen leider nicht tiefgehender beantworten können, da ich im Moment meine letzten Klausuren habe.

Ein anderer Helfer kann hier gerne übernehmen. Dir viel Erfolg!

Ibn Batuta

03.08.2011, 12:34

geomath

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Schade,

na dann viel Glück!

Ich warte mal hoffnungsvoll auf weitere Helfer smile

Grüße

03.08.2011, 12:50

Auli

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Auch wenn ich bisher nicht beachtet wurde, diese Abbildung kann keine Drehung (im eigentlichen Sinne) sein, da es keine Isometrie ist. Der Betrag jedes EW müsste 1 sein. Leider kann ich sonst zu deinem Problem nichts sagen.

03.08.2011, 14:40

geomath

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Hey,

schön dass wieder jemand an Bord ist smile

Ich geh auf deinen Beitrag ein, denn du hast das gleiche Argument wie ich. Es kann keine reine Drehung sein! Das sieht man an Eigenwerten bzw. der Determinante.
Drum hab ich ja eine ähnliche Matrix gegeben, und die aufgesplittet, woraus dann eine Drehmatrix und eine andere Matrix entstanden ist.

Es wäre super, wenn sich zu diesem Gedanken noch jemand äußern könnte!

Grüße

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