Fragen zu Kern-Bild-Satz

02.08.2011, 15:08

dub89

Fragen zu Kern-Bild-Satz

Die Forensuche hat zu diesem Thema einen Thread ausgeworfen (http://www.matheboard.de/archive/446271/thread.html) welchen ich mir durchgelesen habe. Ich möchte jetzt auf diesen "alten" Thread auch nicht mit Fragen antworten, da das geschilderte Problem schon beantwortet wurde.
Nun aber zu meinen Fragen. Ich wäre dankbar wenn mir jemand nur kurz schreiben könnte, ob die von mir hier geschilderten Behauptungen richtig oder falsch sind.

In dem oben beschriebenen Thread musste der Kern-Bild-Satz anhand einer Matrix bewiesen werden.
$\begin{eqnarray*} A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Kern-Bild-Satz wird folgendermaßen definiert: m = dim Kern(A) + dim Bild(A)

dim(A) = maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Falls man die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren nicht auf den ersten Blick erkennt, so kann man den Gauß-Algorithmus anwenden. Nach Anwendung erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} A = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Man erhält 3 linear unabhängige Zeilenvektoren (das sieht man nun eindeutig). Dies verrät auch gleich den Rang: Rang(A) = 3

Probleme:
1. Da man vier Unbekannte, aber nur drei Gleichungen hat, muss eine Variable parametrisiert werden: x = 0, y = 0, z = 0, d = Konstante wird gewählt ?

2. Bei $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ ist klar und logisch, dass man drei linear unabhängige Vektoren hat (also x, y und z ... für jede Richtung einer) > das ist auch die maximale Anzahl der linear unabhängigen Vektoren. Doch wieso ist bei der in oben genannten Beispiel die maximale Anzahl der linear unabhängigen Vektoren drei? Weil die Matrix A hier nur drei Zeilen hat, kann sie auch nur maximal Rang 3 haben - ist das der Grund?

3. In oben verlinkten Thread stand: "Das Bild hat eine Dimension von 3 ...". Damit ist etwas komplett anderes als die Dimension der Matrix gemeint - oder? Das Bild einer Matrix sind ja die Spaltenvektoren in ihr. Der Spaltenvektor in unserer Matrix A hat ja drei Einträge - deswegen auch dim(Bild(A)) = 3?

4. Abschließend noch zum Kern. In einem anderen Thread (http://www.matheboard.de/archive/7108/thread.html) wurde behauptet: "Der Kern sind alle x, die das Gleichungssystem Ax=0 erfüllen." Um den Kern zu bestimmen, müssen alle x gefunden werden, welche Ax=0 erfüllen.
Ich habe dann ein wenig überlegt und irgendwie kann x eigentlich immer nur 0 sein, um Ax = 0 zu erfüllen. Natürlich unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} A \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Man könnte also sagen: Sobald $\begin{eqnarray*} A \neq 0 \end{eqnarray*}$ > dim(Kern(A)) = 1 - ist das so richtig?
dim(Kern(A)) = 1 deshalb, weil es für x nur eine Lösung gibt.

Bleibt dann noch die Unsicherheit, was "m" im Kern-Bild-Satz darstellt. Aus meiner Mathe-Mitschrift geht hervor: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^ {n} \Rightarrow \mathbb R ^ {m} \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^ {n} \end{eqnarray*}$ gleich dem Rang der Matrix A? Was stellt dann $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^ {m} \end{eqnarray*}$ dar? Und warum ist laut dem ganz oben verlinkten Thread "m" gleich 4?

Vielen Dank schonmal für die Beantwortung der Fragen (und dem damit verbundenen Zeitaufwand)! Ein schlichtes "ja/nein" würde mir auch schon reichen - das ist immerhin besser, als gar keine Antwort. Augenzwinkern

02.08.2011, 18:03

stevewilson

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Zitat:

In dem oben beschriebenen Thread musste der Kern-Bild-Satz anhand einer Matrix bewiesen werden.

Man kann einen mathematischen Satz nicht mittels eines Beispiels Beweisen. Man kann nur beweisen, dass ein Satz nicht gilt, wenn man ein Gegenbeispiel findet. Du meinst wahrscheinlich. "Den Kern-Bild-Satz anhand einer Matrix demonstrieren"!

Zitat:

. Falls man die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren nicht auf den ersten Blick erkennt, so kann man den Gauß-Algorithmus anwenden. Nach Anwendung erhalte ich:

Richtig, hier sieht man zwar an der unbearbeiteten Matrix bereits, dass die erste Spalte gleich der vierten ist. Da zudem immer gilt Spaltenrang = Zeilenrang hat man Rang 3.

Zitat:

Man erhält 3 linear unabhängige Zeilenvektoren

Du meinst wohl "Spaltenvektoren"?

Aber ja, auch die Zeilenvektoren sind auch linear unabhängig.

Zitat:

1. Da man vier Unbekannte, aber nur drei Gleichungen hat, muss eine Variable parametrisiert werden: x = 0, y = 0, z = 0, d = Konstante wird gewählt ?

Was willst du denn ausrechnen? Bei dir kommt raus:

$\begin{eqnarray*} z=0 y=0 x=-d \end{eqnarray*}$

Demnach wäre d wählbar. Aber x ist nicht null!

Zitat:

Doch wieso ist bei der in oben genannten Beispiel die maximale Anzahl der linear unabhängigen Vektoren drei?

Du hast eine 4x3-Matrix. Eine m x n Matrix (bei n > m) kann eh nur maximal m lin. unabhängige Vektoren haben. Die Erklärung mit dem Rang stimmt aber auch

Zitat:

3. In oben verlinkten Thread stand: "Das Bild hat eine Dimension von 3 ...". Damit ist etwas komplett anderes als die Dimension der Matrix gemeint - oder? Das Bild einer Matrix sind ja die Spaltenvektoren in ihr. Der Spaltenvektor in unserer Matrix A hat ja drei Einträge - deswegen auch dim(Bild(A)) = 3?

Ja, das ist was anderes. Nur wenn der Kern Dimension 0 hat, hat das Bild der Matrix und die Matrix selber dieselbe Dimension. Siehe Kern-Bild-Satz. Das Bild sind nicht die Spaltenvektoren selber, sondern das Bild ist der Raum, der von allen Vektoren, die durch Anwendung der Matrix als lineare Abbildung resultieren können, aufgespannt wird.

Zitat:

4. Abschließend noch zum Kern. In einem anderen Thread (http://www.matheboard.de/archive/7108/thread.html) wurde behauptet: "Der Kern sind alle x, die das Gleichungssystem Ax=0 erfüllen." Um den Kern zu bestimmen, müssen alle x gefunden werden, welche Ax=0 erfüllen. Ich habe dann ein wenig überlegt und irgendwie kann x eigentlich immer nur 0 sein, um Ax = 0 zu erfüllen. Natürlich unter der Annahme, dass . Man könnte also sagen: Sobald > dim(Kern(A)) = 1 - ist das so richtig? dim(Kern(A)) = 1 deshalb, weil es für x nur eine Lösung gibt.

x=0 ist tatsächlich eine Lösung. Aber sie ist die triviale Lösung. Denn das bedeutet, dass der Nullvektor von der Matrix auf den Nullvektor abgebildet wird. Völlig logisch. Es kann definitiv auch andere Lösungen für den Kern geben. Bei deiner Matrix hast du ja folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} z=0 y=0 x=-d \end{eqnarray*}$

Diese Belegung erfüllt ja schon die Bedingung Ax=0. Dann überleg mal, welche Vektoren du
nun damit erzeugen kannst. Das ist dann dein Kern.

Wenn die einzige Lösung x=0 ist, dann gilt dim(Kern) = 0!!! Oder überleg mal welche Dimension ein Punkt im Raum hat...

Zitat:

Bleibt dann noch die Unsicherheit, was "m" im Kern-Bild-Satz darstellt. Aus meiner Mathe-Mitschrift geht hervor:

m ist der Rang der Matrix. Wenn du ein f hast, welches vom R^n in den R^m abbildet, dann ist dieses f über eine m x n Matrix realisierrbar. Hier wird scheinbar vom R^4 in den R^3 abgebildet.

Bitte schön^^

02.08.2011, 19:35

dub89

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Danke stevewilson, vieles ist jetzt schon wesentlich klarer!

Zitat:

Original von stevewilson
Diese Belegung erfüllt ja schon die Bedingung Ax=0. Dann überleg mal, welche Vektoren du nun damit erzeugen kannst. Das ist dann dein Kern.

Irgendwie finde ich keinen anderen Vektor (außer den Nullvektor), welcher $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Egal was für x gewählt wird (zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ ), ich erhalte keine 0. unglücklich

Oder kommt folgender Ansatz der Lösung näher:
Du hast geschrieben: z = 0, y = 0, x = -d > klar.
Da x = -d, kann man für x jede beliebige Zahl nehmen. Damit erhält man zum Beispiel: ..., 1 = -1, 2 = -2, 3 = -3, .... > das ergibt grafisch eine Gerade und eine Gerade hat (siehe unten) Dimension 1.
Irgendwie denke ich, dass ich da jetzt komplett falsch liege ... verwirrt

Zitat:

Original von stevewilson
Wenn die einzige Lösung x=0 ist, dann gilt dim(Kern) = 0!!! Oder überleg mal welche Dimension ein Punkt im Raum hat...

Hmm, soweit mir bekannt hat (wie du schon geschrieben hast) ein Punkt Dimension 0, eine Gerade Dimension 1 und eine Ebene Dimension 2.

02.08.2011, 21:42

Auli

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Hallo, bei dir geht einiges durcheinander.
Der Kern sind Elemente aus dem Definitionsbereich, das heisst ein Vektor aus dem R^4!du musst also deine erste Matrix untersuchen, die du auf Zeilenform gebracht hast, daraus kannst du recht schnell den Kern ablesen.

Gruß,
Christian

02.08.2011, 22:45

stevewilson

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Was Auli sagt stimmt natürlich. Du musst deine
3x4-Matrix auf den Kern untersuchen. Und ja, Dimension 1
wäre eine Gerade. Das würde bedeuten, dass alle Vektoren, die auf der Geraden liegen
von der Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden.

Bei deiner 3x3-Einheitsmatrix findet sich tatsächlich kein Vektor außer
dem Nullvektor selber, der auf den Nullvektor abgebildet wird. Weil eine
Einheitsmatrix aus einem Vektor wieder denselben Vektor macht.

Aber wie Auli und ich dir schon sagen, musst du die 3x4-Matrix auf den
Kern untersuchen...

Probier es weiter und schreib wenn du noch Fragen hast.

LG

03.08.2011, 09:12

dub89

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Ah ...

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_{11} \\ 0 \\ 0 \\ -a_{41} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \\ -5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Einträge $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{41} \end{eqnarray*}$ können beliebige Zahlen sein, es muss nur gelten, dass $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -a_{41} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -a_{11} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a_{41} \end{eqnarray*}$ . Aber steht "x" dann für alle Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?
Wie erkennt man nun die Dimension des Kerns? Eventuell indem man die Punkte $\begin{eqnarray*} a_{41} \end{eqnarray*}$ / $\begin{eqnarray*} -a_{41} \end{eqnarray*}$ grafisch zeichnet > das sollte dann eigentlich eine Gerade (= Dimension 1) ergeben.

03.08.2011, 09:49

stevewilson

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Man schreibt es dann so:

$\begin{eqnarray*} ker(f)=<\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$

Das steht für diesen Vektor und alle seine Vielfachen. Die Dimension des Kerns ist die Anzahl der Vektoren, die du rausbekommst.

03.08.2011, 10:17

Dustin

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Ganz kurz eingemischt: dub89, bei deinem letzten Post sind die Vektoren auf der rechten Seite dreidimensional!! Also nur drei Nullen, nicht vier!

03.08.2011, 10:40

dub89

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Zitat:

Original von stevewilson
Das steht für diesen Vektor und alle seine Vielfachen. Die Dimension des Kerns ist die Anzahl der Vektoren, die du rausbekommst.

Danke!

Zitat:

Original von Dustin
Ganz kurz eingemischt: dub89, bei deinem letzten Post sind die Vektoren auf der rechten Seite dreidimensional!! Also nur drei Nullen, nicht vier!

Stimmt, ein Tippfehler, danke.

03.08.2011, 11:18

dub89

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Sorry für's Doppelpost.
Kann man aus dem Kern-Bild-Satz schlussfolgern, dass sobald es ein x gibt, welches Ax=0 erfüllt, das lineare Gleichungssystem auch lösbar sein muss?

Eine Frage noch: Ist der Dimensionssatz etwas anderes als der Kern-Bild-Satz?
Kern-Bild-Satz: m = dim Kern(A) + dim Bild(A)
Dimensionssatz: dim(V) = dim Kern(f) + dim Bild(f)

03.08.2011, 11:25

stevewilson

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Doppelpost ist kein Problem, man kann ja nur innerhalb von 15 Minuten seine Beiträge editieren. Ich hatte gerade einen Dreifachpost^^

Eigentlich gibts keinen Kern und Bild zu einer Matrix, sondern zu einer Abbildung. Deswegen ist Kern(f) und Bild(f) die "richtigere" Bezeichnung. Da aber die Matrix kann ja als Abbildungsvorschrift betrachtet werden. Die beiden Aussagen bedeuten das Gleiche.

03.08.2011, 20:45

dub89

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Nochmals vielen Dank für eure Hilfe! smile

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