Primzahl als Summe von 2 Quadraten

18.12.2006, 16:28

Spieky

Primzahl als Summe von 2 Quadraten

Hallo zusammen,
wir sollen folgende Aussagen beweisen:
Sei p Primzahl.
a) gibt es $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit 0<a<b und $\begin{eqnarray*} p=a^{2} + b^{2} \end{eqnarray*}$ , dann sind a,b eindeutig bestimmt

b) Gilt $\begin{eqnarray*} p\equiv 3 mod 4 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es kein $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb Z/p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^{2} = -1 \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte einer Tipps geben, wie man das zeigt?
Danke schon mal im voraus
Spieky

18.12.2006, 17:21

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Was ist denn an Vorwissen da? Quadratisches Reziprozitätsgesetz oder ähnliches? Ich will jetzt nicht "Nichts" hören, dann können wir nämlich sofort aufhören.

18.12.2006, 17:45

Spieky

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hi,
ja das Reziprozitätsgesetz ist bekannt aus der ZT Vorlesung. Die Aufgabe ist eigentlich eine Algebra- Aufgabe, aber ich denke mal nur mitt ZT Mitteln zu lösen. Was ZT Mittel angeht, ist das Wissen bekannt, was man so nach einem Semester ZT wissen sollte. Ich hoffe, damit kannst du jetzt was anfangen.

18.12.2006, 17:54

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Also b) ist die direkte Anwendung des 1.Ergänzungssatzes zum Quadratischen Reziprozitätsgesetz, in Legendre-Symbolen:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} \end{eqnarray*}$ für alle ungeraden Primzahlen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$

Da steht dann b) direkt da, wenn man die Legendre-Symbole zu lesen weiß.

18.12.2006, 21:11

Spieky

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ok, danke so weit. Hast du zufällig auch noch ne Idee zu a??

18.12.2006, 21:14

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Tja, ich kenne einen Standardbeweis dazu. Der sieht ganz pfiffig aus, weiß nicht, ob ich selber auf den gekommen wäre. Augenzwinkern

18.12.2006, 21:16

sqrt4

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braucht man für die a) Hochschulmathmatik?? oder gehts auch so

18.12.2006, 21:18

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Es geht auch so, mit elementaren Teilbarkeitsbetrachtungen. Aber wie gesagt, pfiffig kombiniert.

18.12.2006, 22:06

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Tja, ich kenne einen Standardbeweis dazu. Der sieht ganz pfiffig aus, weiß nicht, ob ich selber auf den gekommen wäre. Augenzwinkern

Welcher ist denn "der"?

Gruß MSS

18.12.2006, 22:42

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Na Ok, ist ja nicht mein Beweis:

Angenommen, es gibt zwei unterschiedliche solche Darstellungen, also $\begin{eqnarray*} p = a^2+b^2 = c^2+d^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a,b)\neq (c,d) \end{eqnarray*}$ .

Klar ist zunächst die Teilerfremdheit $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(a,b) = \operatorname{ggT}(c,d) = 1 \end{eqnarray*}$ , das kann sich jeder klarmachen, dass der gegenteilige Fall zum Widerspruch zur Primzahleigenschaft von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ führt. Jetzt bildet man das Produkt

$\begin{eqnarray*} p^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Von der Richtigkeit der beiden Quadratsummendarstellungen rechts überzeuge sich ebenfalls jeder selbst. Augenzwinkern

Jetzt kommt aber erst der eigentliche Clou: Es ist

$\begin{eqnarray*} (ac+bd)(ad+bc) = (a^2+b^2)cd + ab(c^2+d^2) = p(ab+cd) \end{eqnarray*}$ ,

also teilt die Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ entweder den Faktor $\begin{eqnarray*} (ac+bd) \end{eqnarray*}$ oder aber den Faktor $\begin{eqnarray*} (ad+bc) \end{eqnarray*}$ .

Im ersteren Fall folgt aus (*)

$\begin{eqnarray*} p^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 \geq p^2+(ad-bc)^2 \end{eqnarray*}$

und somit $\begin{eqnarray*} (ad-bc)^2\leq 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} ad=bc \end{eqnarray*}$ . Die o.g. Teilerfremdheit $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(a,b) = \operatorname{ggT}(c,d) = 1 \end{eqnarray*}$ führt dann unweigerlich zu $\begin{eqnarray*} a=c,b=d \end{eqnarray*}$ , Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} (a,b)\neq (c,d) \end{eqnarray*}$ .

Der zweite Fall führt mit analoger Argumentation zu $\begin{eqnarray*} a=d,b=c \end{eqnarray*}$ , ebenfalls Widerspruch. qed

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Darauf muss man erstmal kommen. Aber wirklich elementar. smile

EDIT: Schreibfehler noch und nöcher...

20.12.2006, 19:08

Spieky

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aha, danke, das sieht wirklich gut aus. Ich bin ehrlich, ich wäre nicht drauf gekommen. Ich habe mittlerweile auch noch einen Tipp bekommen, allerdings finde ich ihn nicht so toll, denn dann muss man das ganze in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [i] \end{eqnarray*}$ betrachten, die Norm nehmen und dann soll es angeblich da stehen. Ich finde deinen Beweis allerdings besser, denn elementar ist immer gut.
DANKEb

20.12.2006, 19:11

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Wie gesagt, es ist nicht meiner. Da will ich mal noch eine ordentliche Quellenangabe nachreichen:

E.Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981

Also schon etwas älter. Augenzwinkern

Gutes Buch für Zahlentheorieeinsteiger, es gibt davon aber wohl leider keine Nachauflagen.

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