Rechteck in Ellipse einbeschrieben

03.08.2011, 19:03

Simi008

Rechteck in Ellipse einbeschrieben

Meine Frage:
In die Ellipse E: $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{36} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{y^{2}}{18} \end{eqnarray*}$ = 1 soll ein Rechteck einbeschrieben werden, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.
Bestimmen Sie seine Eckpunkte so, dass sein Flächeninhalt maximal wird.

Meine Ideen:
Also ich betrachte jetzt nur den 1. Quadranten, damit es einfacher ist. Ich habe eine Hauptbedingung aufgestellt:

A = x $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ f(x) und wollte dann einfach einsetzen und den Extremwert berechnen.

Problem war dann, dass ich erstmal an f(x) kommen muss. Dafür hab ich die Gleichung E: ... nach y aufgelöst. Das lässt sich auch alles prima berechnen, nur kommt ein falsches Ergebnis raus.

Mein Ergebnis: P $\begin{eqnarray*} \left(3 | \frac{3\sqrt{2} }{2} \right) \end{eqnarray*}$

In der Lösung steht: P: $\begin{eqnarray*} \left(3\sqrt{2} | 3 \right) \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Ellipsengleichung nach y auflöse, bekomme ich eine Geradengleichung. Ist das richtig? Ich denke nicht, dass ich einen Rechenfehler habe, weil ich es mehrfach durchgerechnet habe. Der Fehler liegt wohl im Ansatz oder?

03.08.2011, 19:21

Herma

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Wie lautet denn deine Auflösung der Gleichung nach y?

03.08.2011, 19:39

riwe

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RE: Rechteck in Ellipse einbeschrieben
die lösung stimmt.
untersuche die funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\cdot(36-x^2) \end{eqnarray*}$

03.08.2011, 23:27

Simi008

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Zitat:

Original von Herma
Wie lautet denn deine Auflösung der Gleichung nach y?

y = - $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2} }{2} \end{eqnarray*}$ x + $\begin{eqnarray*} 3\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

04.08.2011, 08:42

Herma

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Deine Auflösung nach y ist falsch!
y kann doch keine Gerade sein.

Rechne also nochmal nach.

04.08.2011, 11:14

Simi008

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Dass da eine Gerade rauskommt hat mich auch gewundert. Allerdings hab ich das grad nochmal durchgeschaut und finde meinen Fehler nicht. Um nach y aufzulösen, muss ich doch irgendwann die Wurzel ziehen. Dabei verliert x auch das Quadrat und dann ists eine Gerade...

04.08.2011, 11:32

klarsoweit

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Du wirst doch nicht etwa sowas rechnen: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Wenn ja, schnell vergessen.

04.08.2011, 14:29

Simi008

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Okay...

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} }{36} + \frac{y^{2} }{18} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{2} + y^{2} = 18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{2} = 18 - \frac{1}{2} x^{2} \end{eqnarray*}$

soweit in Ordnung?

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{18} - \sqrt{\frac{1}{2} x^{2}} \end{eqnarray*}$

das geht nicht, hab ich das richtig verstanden?

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{18 - \frac{1}{2}x^{2} } \end{eqnarray*}$

das würde funktionieren?

Das hilft mir aber auch nicht wirklich weiter, weil ich keine Ahnung habe wie ich diese Wurzel berechnen sollte.
Ich finde keinen Weg das vernünftig nach y aufzulösen.

04.08.2011, 15:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Simi008
$\begin{eqnarray*} y^{2} = 18 - \frac{1}{2} x^{2} \end{eqnarray*}$

soweit in Ordnung?

Ja.

Zitat:

Original von Simi008
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{18} - \sqrt{\frac{1}{2} x^{2}} \end{eqnarray*}$

das geht nicht, hab ich das richtig verstanden?

Das hast du richtig verstanden.

Zitat:

Original von Simi008
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{18 - \frac{1}{2}x^{2} } \end{eqnarray*}$

das würde funktionieren?

Ja, wobei es eigentlich $\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{18 - \frac{1}{2}x^{2} } \end{eqnarray*}$ heißen muß. Es sei denn, man ist nur an positiven Lösungen interessiert.

Zitat:

Original von Simi008
Das hilft mir aber auch nicht wirklich weiter, weil ich keine Ahnung habe wie ich diese Wurzel berechnen sollte.
Ich finde keinen Weg das vernünftig nach y aufzulösen.

Wieso? Das ist doch jetzt nach y aufgelöst.

04.08.2011, 15:26

Herma

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Du brauchst keine Wurzel zu ziehen (und auch kein Negativzeichen).
Du willst doch die Fläche A= x*y und die soll ein Minimum werden.

Dann muss doch auch (A)^2 ein Minimum sein.

Also, den Inhalt der Wurzel differenzieren und gleich Null setzen -- fertig.

04.08.2011, 15:28

Simi008

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Ach man...stimmt Hammer

Ich habs jetzt richtig gelöst.
Vielen Dank für eure Hilfe! smile

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