Ableitungen

18.12.2006, 17:04

beachboy

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Ableitungen

Huhu,

folgende Funktionen sind gegeben und abzuleiten.

1. $\begin{eqnarray*} y=x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$ Update statt + ein mal

2. $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x^2+\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

1.

habe versucht die Wurzel erstmal wegzubekommen also so:

$\begin{eqnarray*} y=x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x(x^{\frac{1}{3} } \cdot x^{\frac{1}{9} }) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= x^{\frac{13}{9} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=y=\frac{13}{9} x^{\frac{4}{9} } \end{eqnarray*}$

stimmt das? verwirrt

verwirrt

zu 2.

Hier das selbe Spiel:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x^2+\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x+ x^{\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=1+ \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4} } \end{eqnarray*}$

hmm? verwirrt

verwirrt

hoffe mir kann jmd helfen danke!

lg
beach

18.12.2006, 17:07

Lazarus

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nein.
summandenweise radizieren ist genauso böse wie in Brüchen Summen und Differenzen zu kürzen.

18.12.2006, 17:08

uwe-b

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Versuche dies mal mit den Ableitungsregeln:

Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel,...

18.12.2006, 17:39

beachboy

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mhh mir wurde halt gesagt, wenn ich die wurzeln anders schreibe wirds viel leichter?! wohl nicht oder wie?

lg
beach

18.12.2006, 17:43

zt

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RE: Ableitungen
zu 1.)

Du schreibst:

$\begin{eqnarray*} y=x\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x(x^{\frac{1}{3} } \cdot x^{\frac{1}{9} }) \end{eqnarray*}$

Aber das ist irgendwie.. Schrott. Überdenke nochmal die Potenzgesetze.

18.12.2006, 17:45

marioaldag

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RE: Ableitungen
y=x(x^1/3 + x^1/9)

und dann die summe für sich ableiten und dann produktregel.

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18.12.2006, 17:52

Musti

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RE: Ableitungen
Bin zwar nciht der Threadsteller aber könnte man nicht auch ausmultiplizieren und danach mit dieser regel ableiten $\begin{eqnarray*} f'(x)=n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

18.12.2006, 17:54

marioaldag

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jein

Die summe ja aber das ist ein Produkt

( u(x)*v(x) )'=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)

!!!

18.12.2006, 17:55

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Durch ausmutliplizieren kann man doch daraus eine summe machen oder nicht?

ich möchte hier ungerne meinen Rechenschritt zeigen da ich nciht der Threadsteller bin.

18.12.2006, 18:01

beachboy

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$\begin{eqnarray*} y=x(x^{\frac{1}{3} } \cdot x^{\frac{1}{9} }) \end{eqnarray*}$

warum ist das schrott?
hab mich daran gehalten

http://upload.wikimedia.org/math/a/5/f/a5f5696f141b793e077aafe2383f0499.png

ahhh großes Missverständnis siehe Update 1. Beitrag !!!!!!

stimmt 1. denn nun? und wie vereinfache ich generell wurzeln, ohne in die Bredouille zu kommen?

18.12.2006, 18:37

zt

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitungen
Na dann brauchst du lediglich:

$\begin{eqnarray*} y=x\cdot{\sqrt[3]{x\cdot{\sqrt[3]{x}}}}=x\cdot{\left(x^{\frac{1}{3}}\cdot{x^{\frac{1}{9}}}\right)}=x\cdot{x^{\frac{4}{9}}}=x^{\frac{13}{9}} \end{eqnarray*}$

ableiten..

Edit: Ups. Hammer

Hammer

Ja, 1.) Stimmt nun. smile

smile

18.12.2006, 18:39

beachboy

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guut danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

und was ist nun bei 2. mein Fehler? unglücklich

unglücklich

18.12.2006, 18:41

Lazarus

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nur schade das mein beitrag oben jetzt garnichtmehr verständlich ist.

Liegt das gleiche Problem auch bei Aufgabe 2 vor ?

18.12.2006, 18:43

zt

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Mh... hast du dich bei Augabe 2 nicht auch vertippt?

Wenn nicht.. dann hast du die Potenzgesetze nicht richtig angewandt.

18.12.2006, 19:33

PG

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Wende einfach Kettenregel an und das wars Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.12.2006, 20:37

Musti

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Also hatte ich doch recht.

Gut zu wissen. smile

smile

18.12.2006, 20:43

beachboy

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich bei 1. die wurzeln vereinfachen kann, kann ich es bei 2. nicht auch so machen? oder wo kommt es da dann zu widersprüchen?

(übrigens kein tippfehler bei 2. die stimmt so)

also kann ich die wurzeln umschreiben un dann kettenregel oder wenigstens die wurzel in der wurzel umformen? oder wie mach ich das?

lg
beach

danke an die vielzähligen Helfer Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.12.2006, 20:58

Musti

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bei 2 ist das ja eine Summe deswegen wäre es hier von Vorteil wenn du die Kettenregel benutzen würdest

18.12.2006, 21:50

PG

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Ich werde es dir mal veranschaulichen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+2x^3+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2+6x^2+1=9x^2+1 \end{eqnarray*}$

ist das gleiche wie
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+2x^3+x=3x^3+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=9x^2+1 \end{eqnarray*}$

Man kann es sich schnell selber an solchen Beispielen beibringen smile

smile

edit: Man kann eine Summe dieser Art nach den Potenzgesetzen nicht vereinfachen.

18.12.2006, 21:54

Musti

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Gute veranschaulichung PG Freude

Freude

Ich glaub er kann damit viel anfangen

18.12.2006, 22:43

beachboy

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@pg erstmal danke Freude

Freude

aber es kommt doch bei beidem das gleiche raus? also ist es doch egal ob ich es addiere oder nicht? verwirrt

verwirrt

so ich habs nun mal so versucht:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x^2+\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (x^2+x^{\frac{1}{2} })^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

kettenregel:

$\begin{eqnarray*} u=(x^2+x^{\frac{1}{2} }) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=(2x+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} }) \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \cdot \frac{1}{2} (2x+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} }) \cdot (x^2+x^{\frac{1}{2} })^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{x+\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2} } }{(x^2+x^{\frac{1}{2} })^{-\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

irgendwas kommt mir da spanisch vor?? verwirrt

verwirrt

19.12.2006, 09:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von beachboy
= $\begin{eqnarray*} \frac{x+\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2} } }{(x^2+x^{\frac{1}{2} })^{-\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

Der Nenner ist falsch. Wenn man eine Potenz vom Zähler in den Nenner verschiebt (und umgekehrt), dann wird das Vorzeichen des Exponenten umgedreht. Ansonsten wäre das richtig.

19.12.2006, 14:05

beachboy

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hups ja klar +1/2 eben

so müsste es dann stimmen

y'= $\begin{eqnarray*} \frac{x+\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2} } }{(x^2+x^{\frac{1}{2} })^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

kann mir viell. noch jmd sagen, wie ich die veranschaulichung von pg oben verstehen kann, ist doch beides mal das selbe? also spielt es doch keine rolle ob ich davor addiere un dann ableite oder bnicht?

habe nun noch ein problem bei folgender ableitung:

3. $\begin{eqnarray*} y=ln\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx} } \end{eqnarray*}$

mein ansatz:

erstmal umformen:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2}~( ln (\frac{1-sinx}{1+sinx} )) \end{eqnarray*}$

und nun wie mach ich das?

bringt das was wenn ich das ganze noch so schreibe?
$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2}~ (ln (1-sinx)-ln(1+sinx)) \end{eqnarray*}$

mich verwirrt dieses ln, ich weiß nicht wie ich das dann ableiten soll?!

lg
beach

19.12.2006, 15:07

klarsoweit

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Die Ableitung von f(x)=ln(x) sollte aber allgemein bekannt sein:
f'(x)=1/x Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.12.2006, 15:29

beachboy

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ja die ist mir (wenn auch sonst so wenig Big Laugh

Big Laugh

) sogar bekannt gewesen, mich hats nur trotzdem verwirrt hab aber nochmal rumprobiert und habs nun so versucht:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2}~( ln (\frac{1-sinx}{1+sinx} )) \end{eqnarray*}$

erstmal kettenregel:

=> $\begin{eqnarray*} y'=\frac{1+sinx}{2(1-sinx)}\cdot\frac{d}{dx}(\frac{1-sinx}{1+sinx} ) \end{eqnarray*}$

und dann das $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}(\frac{1-sinx}{1+sinx} ) \end{eqnarray*}$

mit quotientenregel:

u= 1-sinx u'=-cosx
v= 1+sinx v'= cosx

=> $\begin{eqnarray*} \frac{(-cos\cdot 1+sinx)-(1-sinx\cdot cosx)}{(1+sinx)^2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(-cos)-(1-sinx\cdot cosx)}{(1+sinx)} \cdot \frac{1+sinx}{2(1-sinx)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(-cos\cdot 1+sinx)-(1-sinx\cdot cosx)}{2(1-sinx) \cdot (1+sinx)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} -sec(x) \end{eqnarray*}$

wie komme ich auf das -sec(x)??? und stimmt die rechnung bis dahin?

lg
beach

19.12.2006, 16:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von beachboy
=> $\begin{eqnarray*} \frac{(-cos\cdot 1+sinx)-(1-sinx\cdot cosx)}{(1+sinx)^2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(-cos)-(1-sinx\cdot cosx)}{(1+sinx)} \cdot \frac{1+sinx}{2(1-sinx)} \end{eqnarray*}$

Deine Rechenkünste sind wirklich phänomenal. unglücklich

unglücklich

Wahrscheinlich wäre es besser gewesen, die version der Funktion zu nehmen, wo der ln auseinander gezogen ist.

Also: in der 1. Zeile oben fehlen etliche Klammern. Was wird denn da jetzt mit wem multipliziert? (Und statt cos solltest du wenigstens cos(x) schreiben.)

Wie du dann von der falschen 1. Zeile auf die nächste Zeile kommst, bleibt ein Rätsel. Ich vermute mal, daß du irgendwie 1+sin(x) rausgekürzt hast. Aber vermutlich nach dem Motto: oben steht was, was ich unten auch wiederfinde, also weg damit. Bei dir wäre vermutlich auch $\begin{eqnarray*} \frac{123}{2} = 13 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.12.2006, 17:29

beachboy

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ja stimmt der ansatz schon nicht oder was?

=> $\begin{eqnarray*} \frac{(-cos(x)\cdot (1+sin(x))-((1-sin(x))\cdot cos(x))}{(1+sin(x))^2} \end{eqnarray*}$

ich hab das $\begin{eqnarray*} (1+sin(x))^2 \end{eqnarray*}$ mit (1+sin(x))
gekürzt:

= $\begin{eqnarray*} \frac{(-cos(x))-(1-sin(x))\cdot cos(x))}{(1+sin(x))} \cdot \frac{1+sin(x)}{2(1-sin(x))} \end{eqnarray*}$

also hätte ich nicht kürzen dürfen oder gibts noch mehr fehler? vergesse halt immer beim umschreiben in den latex code die ein oder andere klammer smile

smile

hab nun mal das abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} 1/2\cdot (ln(1-sin(x))-ln(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$

kettenregel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ((\frac{1}{1-sin(x)} \cdot -cos(x)) -( \frac{1}{1+sin(x)} \cdot cos(x))) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ((\frac{-cos(x)}{1-sin(x)} ) -( \frac{cos(x)}{1+sin(x)} )) \end{eqnarray*}$

stimmt das denn nun wenigstens :-( traurig

traurig

wenn ja wie komme ich von der letzten gleichung dann auf $\begin{eqnarray*} -sec(x) \end{eqnarray*}$

19.12.2006, 18:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von beachboy
ja stimmt der ansatz schon nicht oder was?

=> $\begin{eqnarray*} \frac{(-cos(x)\cdot (1+sin(x))-((1-sin(x))\cdot cos(x))}{(1+sin(x))^2} \end{eqnarray*}$

ich hab das $\begin{eqnarray*} (1+sin(x))^2 \end{eqnarray*}$ mit (1+sin(x))
gekürzt:

= $\begin{eqnarray*} \frac{(-cos(x))-(1-sin(x))\cdot cos(x))}{(1+sin(x))} \cdot \frac{1+sin(x)}{2(1-sin(x))} \end{eqnarray*}$

Der obere Teil ist noch richtig. Aber beim Kürzen gilt der alte Spruch: "Aus der Summe kürzt nur der ...."

Die Rechnung mit der anderen Variante ist ok. Da mußt du jetzt die Brüche auf den Hauptnenner bringen.

19.12.2006, 19:06

beachboy

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= $\begin{eqnarray*} (\frac{-cos(x)}{2(1-sin(x))} ) -( \frac{cos(x)}{2(1+sin(x))} ) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (\frac{-cos(x)-cos(x)}{2(1-sin(x))-(2(1+sin(x))} ) \end{eqnarray*}$

so?

20.12.2006, 08:43

klarsoweit

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unglücklich

Als in der Schule Bruchrechnung dran war, hast du wohl länger gefehlt. Weder beim Kürzen noch beim Addieren von Brüchen verfügst du über fundierte Kenntnisse. Was muß man denn machen, bevor man 2 Brüche addieren kann?

20.12.2006, 20:46

beachboy

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ein gemeinsamer nenner...

ok nur wie stelle ich das in dem fall an

wie bekomme ich den gemeinsamen nenner?

wenn ich $\begin{eqnarray*} (1-sin(x))\cdot (1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ mache

oder in dem ich einen bruch im zählen und im nenner mit 1-sinx und den anderen bruch mit 1+sinx erweitere?

21.12.2006, 08:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von beachboy
oder in dem ich einen bruch im zählen und im nenner mit 1-sinx und den anderen bruch mit 1+sinx erweitere?

Genau so!

Freude

1

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